完整版等腰三角形三线合一专题练习1Word文件下载.docx

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变3：

△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°

AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：

（1）DM＝DN。

A

⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。

问DM和DN有何数量关系。

（1）已知：

如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：

DE=DF．

（2）已知：

如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：

BE=CF．

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?

CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）

A17B22C17或22D13

根据等腰三角形的性质寻求规律

11

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小

22

与∠A的大小有什么关系？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

33

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

nn

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?

将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，

求这个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?

以BP为边作∠PBQ=60°

，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）

A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定

例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。

例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说明DB=DE。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形

例6、

（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。

（2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为；

（3）若直角三角形三边为1，2，c，则c=。

例7、下列说法：

①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；

0222②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；

③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。

正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）

（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个

例9.四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°

，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）

13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设

另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）

解题方法指导】

例1.已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：

∠B＝2∠D

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°

角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中

经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。

典型例题分析】

例1.（2005年苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°

，腰长为10，则底边上的高AD＝

例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°

，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°

，求CD的长。

例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD

与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

3.已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：

AD＝AE

4.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：

DF＝EF

E

5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：

AD＝CE

6.

已知，如图，△ABC中，∠B＝90°

，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15EC＝10，求AB的长。

∵∠EDF＝90°

，∴∠EDA＋∠ADF＝90°

，

又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°

，∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF，∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.

思考：

四边形AEDF的面积是否也是定值呢？

为什么？

请同学们试试用另外的方法来证明本题

证明：

延长AO交BC于点D，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，

∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，

∴AD⊥BC，即AO⊥BC.

点E，求证：

PD＋PE是一个定值.

说明：

本例的结论可用文字语言叙述为：

等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高

有怎样的关系呢？

即,PDPECF（定值）.

即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值基础训练：

1、填空题：

（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。

（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；

如果等腰三角形的两

边长分别是4、8，那么它的周长是。

（3）等腰三角形的对称轴最多有条。

2、填空题：

（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）

A、三条边长分别是5，5，11B、三条边长分别是4，4，8

C、周长为14，其中两边长分别是4，5D、周长为24，其中两边长分别是6，12

（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（）

A、3B、2C、1.5D、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。

4、已知：

如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。

1）等腰三角形的顶角平分线、

2）等腰三角形有一个角是120°

，那么其他两个角的度数是和。

3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C=。

4）在等腰三角形中，设底角为x°

，顶角为y°

，则用含x的代数式表示y，得y=；

用含y的代数式表示x，得x=。

2、选择题：

（1）等腰三角形的一个外角为140°

，那么底角等于（）

A、40°

B、100°

C、70°

D、40°

或70°

2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）

A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半

3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）

A、100°

B、75°

C、150°

D、75°

或100°

4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）

A、4B、3C、2D、1

3、如图，已知△ABC中，D在BC上，

4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。

请说明BD=CE的理由。

1、填空题：

1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°

，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=

2）在一个三角形中，等角对；

等边对。

3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是

4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°

，∠ADB=72

3、如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。

4、如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。

5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。

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