小学数学奥数习题抽屉原理1 通用版含答案.docx

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小学数学奥数习题抽屉原理1通用版含答案

抽屉原理1

　　如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

　　同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。

抽屉原理1：

将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

　　说明这个原理是不难的。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。

这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，

每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。

从最不利原则也可以说明抽屉原理1。

为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。

这就说明了抽屉原理1。

例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友

分析与解：

1996年是闰年，这年应有366天。

把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。

这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。

因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除

分析与解：

因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。

我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。

一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。

将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。

这两个数的差必能被3整除。

例3在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数

分析与解：

根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。

现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。

　　第一种情形。

有三

个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。

因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。

　　第二种情形。

至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。

因此这三个数之和能被3整除。

综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米

分析与解：

把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）。

　　将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。

现在将这11个点放到这10个抽屉中去。

根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。

由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。

　　所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。

例5有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的

总数与桔子的总数都是偶数

分析与解：

由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。

　　对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：

　　（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

　　其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。

将这4种情形看成4个抽屉，现

有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。

由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉

中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。

例6用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。

是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同

分析与解：

用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

　　将上面的四种情形看成四个“抽屉”。

根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

在上面的几个例子中，例1用一年的366天作为366个抽屉；例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0，1，2作为3个抽屉；例4将一条线段的10等份作为10个抽屉；例5把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉；例6将每列中

两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。

由此可见，利用抽屉原

理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。

 练习

　　1某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友

　　2班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书

　　3在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数

　　4幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞

机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的

　　5学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。

能否找到一种插法，使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米

　　6用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。

是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

　　7一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。

不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子

抽屉原理2

　　这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。

先看一个例子：

如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。

道理很简单。

如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。

剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。

这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。

抽屉原理2：

将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m1。

　　说明这一原理是不难的。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。

这与多于m×n件物品的假设相矛盾。

这说明一开始的假定不能成立。

所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。

　　从最不利原则也可以说明抽屉原理2。

为了使抽屉中的

物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。

这就说明了抽屉原理2。

　　不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。

即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。

例1某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具

分析与解：

将40名小朋友看成40个抽屉。

今有玩具122件，122=3×40＋2。

应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：

至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。

也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。

问：

一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块

分析与解：

将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。

要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。

所以一次至少

要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。

例3六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。

问：

至少有多少名学生订阅的杂志种类相同

分析与解：

首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

　　订一种杂志有：

订甲、订乙、订丙3种情况；

　　订二种杂志有：

订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；

　　订三种杂志有：

订甲乙丙1种情况。

　　总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。

我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。

因为100＝14×7＋2。

根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。

例4篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的

分析与解：

首先应弄清不同的水果搭配有多少种。

两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：

苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、

桃和桔子。

所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。

将这10种搭配作为10个“抽屉”。

　　81÷10=8……1（个）。

　　根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。

例5学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。

问：

至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况

完全相同加学习班有多少种不同情况。

不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。

共有1＋3＋3＝7（种）情况。

将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5名同学参加学习班的情况

相同，要有学生

　　7×（5-1）＋1＝29（名）。

练习30

　　1礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同

　　2一兴趣小组有10名学生，他们都订阅甲、乙两种杂志中的一种或两种。

问：

至少有多少名学生订阅的杂志种类相同

　　3把130件玩具分给幼儿园小朋友，如果不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友

　　4体育组有足球、篮球和排球，

上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个。

问：

至少有几名同学拿球的情况完全一样

　　5口袋里放有

足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。

要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场