小学奥数计算专题数列与数表.docx

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小学奥数计算专题数列与数表

2021年小学奥数计算专题——数列与数表

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、解答题

1．下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项：

（1）1，5，11，19，29，___，55；

（2）1，2，6，16，44，___，328．

2．有一列由三个数组成的数组，它们依次是（1，5，10）；（2，10，20）；（3，15，30）；……．问第99个数组内三个数的和是多少?

3．0，1，2，3，6，7，14，15，30，___，___，___．

上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的，他第一次先写出0，1，然后第二次写出2，3，第三次接着写6，7，第四次又接着写14，15，依此类推．那么这列数的最后3项的和应是多少?

4．仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．

5．图中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数a和b．

6．将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和．如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少?

7．1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．

上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？

8．如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：

12345678910111213…996997998999．

那么在这个多位数里，从左到右的第2000个数字是多少?

9．标有A，B，C，D，E，F，G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯各安装着一个开关．现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯是灭的．小方先拉一下A的开关，然后

拉B，C，……，直到G的开关各一次，接下去再按从A到G的顺序拉动开关，并依此循环下去．他这样拉动了1990次后，亮着的灯是哪几盏?

10．在l，2两数之间，第一次写上3；笫二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到

l4352

以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和．这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少?

11．有一列数：

l，1989，l988，l，l987，…．

从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差．那么第1989个数是多少?

12．在l，9，8，9后面顺次写出一串数字，使得每个数字部等于它前面两个数字之和的个位数字，即得到

l，9，8，9，7，6，3，9，2，l，3，4，…．

那么这个数串的前398个数字的和是多少?

13．有一列数：

2，3，6，8，8，…．

从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数中的第80个数是多少?

14．1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：

如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．现在让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少?

15．将从l至60的60个自然数排成一行，成为1l1位自然数，即

12345678910111213…5960．

在这111个数字中划去100个数字，余下数字的排列顺序不变，那么剩下的11位数最小可能是多少?

16．填在图的三个正方形内的数具有相同的规律．请你依据这个规律，确定出A，B，C．

17．图是一个由整数组成的三角形．试研究它的组成规律，从而确定出x的数值．

18．如图所示的数阵中的数字是按一定规律排列的．那么这个数阵中第100行左起笫5个数字是多少?

19．如图所示，把自然数中的偶数2，4，6，8，…，依次排成5列，如果各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，那么，数1986出现在第几列?

20．在图所示的数表中，第100行左边第一个数是多少?

21．在图所示的数表中第n行有一个数A，它的下面一行，即第n+1行有一个数B，并且A和B在同一竖列．如果A+B＝391，那么n等于多少？

22．如图，自然数按某种方式排列起来，其中数3排在第二行第一列，13排在第三行第三列．问：

1993排在第几行第几列?

23．图按照一定规律组成的三角形数阵，其中第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，…，最后一排有10个数．如果把这55个数相加，问：

所得到的和的十位数字是几?

24．如图，将自然数1，2，3，4，…，按箭头所指方向顺序排列，拐弯位置处的数依次是2，3，5，7，10，…．

（1）如果认为2位于第一次拐弯处，那么第45次拐弯处的数是多少?

（2）从1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是多少?

25．有一张写着自然数l至100的数表，可以在表中相邻两行内各取连续的3个数，然后用长方框围起来．例如，图17-10中所示长方框内的6个数之和是108．如果某个按上述方式形成的长方框所围出的6个数之和是480，那么其中最大的数应该是多少?

26．有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？

27．自然数的平方按从小到大的顺序．排列成14916253649…．问第612个位置上的数字是几?

28．把除1外的所有奇数依次按一项，二项，三项，四项循环的方式进行分组：

（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，3l，33），（35，37，39，41），（43），……．那么，第1994个括号内的各数之和是多少?

29．一堆球，如果球的总数是10的倍数，就平均分成10堆并拿走9堆；如果球的总数不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数成为10的倍数，再平均分成10堆并拿走9堆．这个过程称为一次“均分”．若球仅为一个，则不做“均分”．如果最初有球1234…19961997个，问经过多少次“均分”和添加多少个球后，这堆球便仅余下一个球?

二、其他计算

30．如图，有一系列图形：

当n＝l时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计可数出5条边：

当n=2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计可数出16条边；当n＝3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计可数出33条边．问：

当n=100时，长方形ABCD应分为多少个直角三角形?

总共可数出多少条边?

参考答案

1．

（1）41

（2）120

【解析】在数列

（1）中，相邻两项的差分别为4、6、8、10．容易看出相邻两项的差每次增加2，因此下一个差应该是10+2＝12，补填的数应该是29+12＝41．而41+14＝55，亦满足此规律．

在数列

（2）中，从第二项开始，出现的项都是偶数，可以发现：

（1+2）×2＝6，（2+6）×2＝16，（6+16）×2＝44．即从第三项开始，数列的每一项都是它前面两项和的2倍，应补填的数为（16+44）×2＝120．而（44+120）×2＝328，亦满足此规律．

2．1584

【解析】这些数组的第一个数等于项数，第二个数等于项数的5倍，第三个数等于项数的10倍．

显然这个数组的第99个数字的第一个数字为99，则第二个数字为99×5＝495，第三个数字为99×10＝990，所以这三个数字的和为99+495+990＝1584．

3．156

【解析】（0，1），（2，3），（6，7），（14，15），（30，___），（___，___）

注意到从第二组数开始，每组数的第一个数是前一组最后一个数的2倍，而每组内的两个数字连续，所以30后面为31，下一组的第一个数为31×2＝62，下一组的第二个数为62+1＝63，所以这列数的最后3项为31+62+63＝156．

4．79,19

【解析】

（1）第二行的数均比第一行对应的数大21，所以58下面第二行数为58+21＝79，即空格内填79．

（2）每行的第一、二列数的和比第三列数大17，如14+9－17＝5，21+8－13＝17，所以第一行的第三列数为28+9－17＝19．

即空格内填19．

5．a=24,b=28

【解析】考察相邻圆周及它们公共区域上所填入的数字后发现如下关系：

10+20＝30＝15×2，20+40＝60＝30×2，即两圆的公共部分上的数字是它旁边两个区域中数字的平均数，于是应该有a＝20×2－16＝24，b＝（16+40）÷2＝28，验证后发现此规律成立．

6．5

【解析】显然，我们可以倒推，每个数都是后面的第二个数与后面第一个数的差，有第6个数为131－81＝50，第5个数为81－50＝31，第4个数为50－31＝19，第3个数为31－19＝12，第2个数为19－12＝7，第1个数为12－7＝5．

7．365

【解析】我们注意到（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），…

每组数的第一个等于项数，而101÷3＝33……2，即第101个数为第34组的第2个数，而第34组数为（34，35，36），所以第101个数至110个数为（__，35，36），（35，36，37），（36，37，38），（37，38，__），

所以这10个数的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38＝2×35+3×36+37×3+38×2＝365．

即其中第101个数至第110个数之和是365．

8．0

【解析】

其中一位数字有9个，两位数从10～99有90个，占有90×2＝180个数字，三位数为100～999有900个，占有900×3＝2700个，

而2000－9－180＝1811，所以第2000个数字是从100的1开始的第1811个数字，有1811÷3＝603……2，即第100+603＝703的第2个数字，为0．

9．BCDG

【解析】小方循环地从A到G拉动开关，一共拉了1990次．由于每一个循环拉动了7次开关，1990÷7＝284……2，故一共循环了284次．然后又拉动A和B的开关一次．每次循环中A到G的开关各被拉动一次，因此A和B的开关被拉动248+1＝285次，C到G的开关被拉动284次，A和B的状态会改变，而C到G的状态不变，而C到G的状态不变．

开始时亮着的灯为A、C、D、G，故最后A变灭而B变亮，C到G的状态不变，亮着的灯为B、C、D、G．

10．9843

【解析】第一次写上3后，和增加了3＝3；第二次再写上4，5后，和增加了4+5＝9；第三次再写上5，7，8，7，和增加了5+7+8+7＝27；…

和依次增大了3，9，27，…

不难看出，接下来应该增大81，243，729，2187，6561，

所以重复8次后，比开始的1+2＝3，和增大了3+9+27+81+243+729+2187+6561＝9840，所以现在这些数的和为3+9840＝9843．

11．664

【解析】

根据题目中给出的数列的形成办法，我们不难写出数列的前几项为：

1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，…，

通过观察发现，每隔3个数就出现1个1，而划去全部的1之后，数列变为：

1989，1988，1987，1986，1985，…，

它是一个递减的数列，每次减少1，由于有1989÷3＝663，即原数列一共划去了663个“1”，相当于求划去1之后的原数列的第1989－663＝1326项．

应该为：

1989－（1326－1）＝664．原数列的第1989项为664．

12．1990

【解析】

我们不妨再写出几项：

l，9，8，9，7，6，3，9，2，l，3，4，7，1，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，…

不难看出，从第3个数开始存在8，9，7，6，3，9，2，l，3，4，7，1这样的每12个数的循环，有（398－2）÷12＝33，所以存在33组8，9，7，6，3，9，2，l，3，4，7，1这样的数．

于是，前398个数字的和为（8+9+7+6+3+9+2+l+3+4+7+1）×33+1+9＝60×33+1+9＝1990．

13．8

【解析】

我们可以接着写出数列的后几项为：

2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6…

不难看出数列从第4项开始出现周期循环，重复出现8，8，4，2，8，6这6个数．

而（80－3）÷6＝12……5，即数列的第80项出现在第13次循环中的第5个数，故第80项为8．

14．17

【解析】

我们先写出几项，有1，10，6，17，13，9，18，14，10，6，17，…

不难看出从第2个数开始，每7个数存在10，6，17，13，9，18，14这样的循环．

而（1999－1）÷7＝285……3，所以最后一个同学报的是第285组数的第3个数，即17．

15．10000012340

【解析】

剩下的11位数首位最小为1，后面的几位尽量为0，而12345678910111213…5960中只含有6个0，但是最后一个0出现在个位，不可能出现在高位上．

故我们考虑再选其余5个0放在高位上，而剩下的5个数字就只能从51525354……60这20个数字中选取．仍然是要使高位尽量小，故接下来应该依次选1、2、3、4、0．最后剩下的这位11位数应该是10000012340．

16．B＝4，C＝5，A＝（3+B）×C＝35．

【解析】

各方框中右上、左下、右下的数分别为1，2，3；2，3，4；3，4，5；所以B＝4，C＝5，A＝（3+B）×C＝35．

17．178

【解析】

第二行起，每行都包含一个数字0，而且一行在左边，一行在右边．确切地说，偶数行的第一个数字为0，奇数行（第一行除外）地最后一个数字为0．

偶数行，每一个数等于它左边地数加上它左上方地数．奇数行，每一个数等于它右边的数加上它右上方的数．这样第8行应当是0，61，122，178，…

所以x为178．

18．6

【解析】

100行左起第5个数，是第99×7+5＝698号，

在1～9占有9个位置，10～99占有90×2＝180个位置，100～999占有900×3＝2700个位置；

698－180－9＝509，509÷3＝169……2，即为第170个三位数的第2个数字，即269的十位，即6．

19．2

【解析】

相差为16的两个数在同一列．

1996＝16×124+2，所以1986出现在第2行．

20．301

【解析】

每行3个数，所以第100行左边的第一个数就是从2起的第300个自然数，即301．

21．13

【解析】

相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第1行开始，相邻两行第一列的两个数的和依次是31，61，91，121，…

每项比前一项多30，因此391是上一列数中的第（391－31）÷30+1＝13个数，即n为13．

22．第63斜行第40位

【解析】

奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增．第n斜行中最大的数是：

Sn＝[n（n+1）]÷2．

第62斜行中最大的数是[62×63]÷2＝1953．第63斜行中最大的数是1953+63＝2016．所以1993位于第63斜行．

第63斜行中数是由下向上递增，左边第一位数字是1954．因此，1993位于第63斜行由上向下数第1993－1954+1＝40位．

即1993排在原阵列的第63－40+1＝24行，第40列．

23．9

【解析】

我们将每个数除以1991有：

有第1行和为1，第2行和为2，第三行和为4，第4行和为8，…

则10行数的和为（1+2+4+8+…+512）＝1023，所以原三角阵的数字和为1023×1991＝2036793，其十位数字为9．

24．

（1）530

（2）88

【解析】

（1）我们看拐弯处的数字2，3，5，7，10，13，17，21，26，…

相邻两项的差为1，2，2，3，3，4，4，5，…

于是第45次拐弯，相当于第45项，与第2项存在累计的差有44个，44÷2＝22，即与2相差2×（1+2+3+4+…+22）－1+23＝2×23×11+22＝528，于是第45次拐弯处的数为2+528＝530．

（2）对于一般项有：

第2n个拐弯数为：

2×（1+2+…+n）+2－1＝n×（n+1）+1；

第2n+1拐弯数为2×（1+2+…+n）+（n+1）+2－1＝（n+1）2+1（上面两个式子中n均为可取0的自然数）．

而在1978到2010之间，只有1981＝44×45+1，所以1981是拐弯数，是第2×44＝88个拐弯数．

25．85

【解析】

设方框内第一行左起第一个数为A，则方框内和为A+（A+1）+（A+2）+（A+8）+（A+9）+（A+10）＝6A+30．

现在有6A+30＝480，A＝75，则最大的数为75+10＝85．

26．91

【解析】

依次写出前几项，为105，85，95，90，92.5，91.25，91.875，91.5625，…

第九数在第七、第八个数之间，第七、八个数的整数部分均是81，所以第九个数的整数部分也为91．

也就是说以后的两个数足够接近，它们的整数部分将都是91，所以第19个数的整数部分为91．

27．0

【解析】

1～3的平方是一位数，占去3个位置；

4～9的平方是两位数，占去6×2＝12个位置；

10～31的平方是三位数，占去22×3＝66个位置；

32～99的平方是四位数，占去68×4＝272个位置；

将1到99的平方排成一行，共占去3+12+66+272＝353个位置，从612减去353，还有259个位置．

259＝51×5+4，从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去259位置中的255个．151×151＝22801，从左到右的第4个位置上是0，这就本题的答案，即第612个位置上的数0．

28．19932

【解析】

我们把每4个括号组成一个周期，1994÷4＝498……2，在前498个周期内有奇数（1+2+3+4）×498＝4980个，而第1993个括号内有2个奇数，即第4980+1+1＝4982个奇数，第4982+1＝4983个奇数．

而4982×2+1＝9965，4983×2+1＝9967，9965+9967＝19932．

即第1994个括号内的各数之和是19932．

29．33985

【解析】

设最初有N个球，

N＝ak-110k-1+ak-210k-2+…+a110+a0，a0≠0，ak-1≠0．

第一次添加（10－a0）个，分成10堆，拿走9堆后留下的球数是：

ak-110k-2+ak-210k-3+…+a210+a1+1．

若a1＝9，不必添加，就可以分成10堆．若a1＜9，则添加10－（a1+1）个，再分成10堆．

无论a1＝9还是a1＜9，两次“均分”，共需要添加（10－a0）+（9－a1）个球，余下小堆的球数是：

ak-110k-3+ak-210k-4+…+a310+a2+1．

同样道理，第三次“均分”，需添加10－（a2+1）个球，连同第一、二次“均分”时添加的球共添加了（10－a0）+（9－a9）+（9－a2）个球．

并且，“均分”一次，k位数N就少一位．经过k-1次均分，余下ak-1+1＞1个球．所以，经过k次“均分”后，就余下1个球．

总共添加的球数是：

10+9（k-1）－（a0+a1+…+ak-2+ak-1）个．

当N＝1234…19961997时，N的位数k＝1×9+2×90+3×900+4×（1997－999）＝9+180+2700+4000－8＝6881．

N的数字和也就是1，2，3，…，1996，1997中所有数字的和．

如果在后面再添加上1998，1999，那么1在千位出现1000次；0，1，2，…，9在百位，十位，个位都各出现200次，所以N的数字和为：

1×1000+3×200×（1+2+3+…+9）－（1+9+9+8+1+9+9+9）＝27945．

因此所加的球数时10+9×6880－27945＝33985个．

所以“均分”6881次，添加了33985个球．

30．30200

【解析】

n＝1时，直角三角形2×1×1个，边数为2×1×（1+1）+12＝5；

n＝2时，直角三角形2×22个，边数＝2×2×（2+1）+22＝16；

n＝3时，直角三角形2×32个，边数＝2×3×（3+1）+32＝33；

对于一般的n，共分为2×n2个直角三角形，总计数出2n（n+1）+n2条边．

所以，n＝100时，共分为2×1002＝20000个直角三角形，总计数出2×100×（100+1）+1002＝30200条边．