北师版数学八年级上上第一章勾股定理导学案.docx
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北师版数学八年级上上第一章勾股定理导学案
第一章勾股定理导学案
第1课时探索勾股定理
（1）
一、1.学习内容：
教材P1-7
2.学习目标：
掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。
二、预习设计：
1、三角形按角的大小可分为：
、、。
2、三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；
4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：
。
5、自学感知：
探索直角三角形三边的特殊关系：
（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；
直角三角形1
直角边a
直角边b
斜边c
三边关系满足关系
3
4
直角三角形2
直角边a
直角边b
斜边c
三边关系满足关系
5
13
（2）猜想：
直角三角形的三边满足什么关系?
（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想：
三、课堂探究：
：
如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：
你是怎样得到的？
图形
A的面积
B的面积
C的面积
A、B、C面积的关系
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
思考：
每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？
归纳得出勾股定理。
勾股定理：
直角三角形等于；
几何语言表述：
如图1.1-1，在RtΔABC中，
C＝90°，则：
；
若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：
。
课堂练习：
1、求下图中字母所代表的正方形的面积
2、求出下列各图中x的值。
3.如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。
旗杆折断之前有多高？
3、师生互动：
例题.在△ABC中,AB=AC=5cm，BC=6cm,求△ABC的面积.
四、训练达标：
基础巩固：
1．在△ABC中，∠C=90°，
（1）若BC=5，AC=12，则AB=；
（2）若BC=3，AB=5，则AC=；
（3）若BC∶AC=3∶4，AB=10，则BC=，AC=.
（4）若AB=8.5，AC=7.5，则BC=。
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为.
3．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC=,该直角三角形的面积为。
4．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为.
5.若直角三角形的两直角边之比为3：
4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为。
能力提升：
6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
7.一个直角三角形的三边长为3、4和a，
则以a为半径的圆的面积是。
8.如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，∠ACB=90°，
AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是。
9．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则其面积为．
10．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，求△ABC的周长。
第2课时探索勾股定理
（2）
一、1.学习内容：
教材P8-11
2.学习目标：
能用拼图验证勾股定理,能利用勾股定理解决实际问题。
二、学习探究：
知识回顾：
1、勾股定理：
2、求下列直角三角形的未知边的长
3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为
，
，斜边为
：
（1）如果
，
，则
，面积为；
（2）如果
，
，则三角形的周长为，面积为；
活动探究：
利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）：
活动一：
用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：
1．拼成的图1中有_______个正方形，
___个直角三角形。
2．图中大正方形的边
长为_______，小正方形的边长为_______。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？
活动二：
你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？
活动三:
请利用图3验证勾股定理.
思考：
用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，你还有那些方法？
3、师生互动：
例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？
四、训练达标：
基础巩固：
1、如右图，AD=3，AB=4，BC=12，则CD=________；
2、如图，阴影部分的面积为；
3、一个直角三角形的三边分别为3，4，
，则
4、若等腰三角形的腰为10cm，底边长为16cm，则它的面积为；
5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有米。
6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为；
7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是；
8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为；
能力提升：
9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距
10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？
11.如图，AB是电线杆，从距离地面12M高的A处，向离电杆5M的B处埋线，并埋入地下1.5M深，求拉线长多少米
12、．如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的。
13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长
15、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？
第3课时探索勾股定理（3）
一、1.学习内容：
教材P12-16
2.学习目标：
欣赏几种常见的勾股定理的验证方法，加深对勾股定理的认识，体会勾股定理的的文化价值。
2、
课前准备：
制作“五巧板”两幅
步骤：
做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，延长BC交DE于I，作DF⊥BI，在AC上截取CG=BC，作HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分：
①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得到一幅五巧板。
3、活动探究：
活动一：
利用五巧板拼“朱青出入图”
（1）取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形。
（2）你能拼出“朱青出入图”来吗？
（3）利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？
与同伴交流。
活动二：
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。
4、师生互动：
下面几个图是勾股定理的“无字证明”法，你能看懂吗？
五、训练达标：
基础巩固：
1、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积
为
2、等腰直角三角形三边的平方比为
3、长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是
4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．
5、Rt
ABC中，
，AB=2，则AB2+BC2+CA2=.
6、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m）。
7、一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．
8、等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则它的面积是cm2.
9.直角三角形两直角边的比为3：
4，面积是24，求这个三角形的周长.
能力提升：
10.某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？
11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置，连接CC’，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC’D’的面积证明勾股定理。
12.如图,有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
13、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25㎞，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少㎞处？
14、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？
15、以Rt△ABC三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系？
说明理由。
第4课时能得到直角三角形吗
一、1.学习内容：
教材P17-21
2.学习目标：
掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。
二、预习设计：
1、勾股定理：
条件：
结论：
2、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?
（1）3,4,5,
（2）6,8,10（3）9,12,15
勾股逆定理：
条件：
结论：
3、勾股数：
。
下列几组数是否为勾股数？
说说你的理由。
（1）12，18，22
（2）9,12,15（３）12，35，36（4）15,36,39
三、师生互动：
例１、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。
工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？
例２、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
例3、
（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？
填写下表，并验证。
2倍
3倍
4倍
3,4,5
6,8,10
5,12,13
15,36,39
8,15,17
32,60,68
7,24,25
（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c（c是斜边长），将三边长都扩大k倍（k为任意正整数）后，得到的还是直角三角形吗？
说明理由。
四、训练达标：
基础巩固：
1.下列说法正确的是（）
A.若a、b、c是
的三边，则
B.若a、b、c是
的三边，则
C.若a、b、c是
的三边
，则
D.若a、b、c是
的三边
，则
2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
Ａ、８，15，17； Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40
3、下列几组数中，是勾股数的是（）
A、4，5，6B、12，16，20C、-10，24，26D、2.4，4.5，5.1
4、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（ ）
Ａ、等腰三角形Ｂ、直角三角形
Ｃ、等腰直角三角形 Ｄ、等腰三角形或直角三角形
5、有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙﹚
A．13，12，12；B．12，12，8；C．13，10，12；D．5，8，4
6、三角形的三边长a,b,c满足等式（a+b）
-c
=2ab,则此三角形的是三角形。
7、如图，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的面积为
8、当m=时，以m+1，m+2，m+3的长为
边的三角形是直角三角形。
9.一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为，这个三角形的面积为。
10、如果三条线段a、b、c满足a2=c2?
b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？
为什么？
能力提升：
11、如图，在?
DEF中，DE=17cm,EF=30cm,EF边上的中线DG=8cm，问?
DEF是等腰三角形吗？
为什么？
12、已知：
在△ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1（n＞1）。
试判断△ABC的形状.
13、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。
14、如图，有一零件是等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC=20，D是AB上的一点，且CD=16，BD=12，⊿ACD的形状，并求⊿ABC的周长。
15、若⊿ABC三边长分别为a,b,c,且满足条a
+b
+c
+338=10a+24b+26c,试判断⊿ABC的形状，并证明为什么。
第5课时蚂蚁怎样走最近
一、1.学习内容：
教材P22-24
2.学习目标：
应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。
二、预习设计：
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）
A.1.5,2,3;B.7,24,25;C.6,8,10;D.9,12,15
2、若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为时，这三条线段才能组成直角三角形。
3、圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。
4、圆的周长公式是___。
5、在一个圆柱石凳上，，恰好一只在A处的蚂蚁想吃到B处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？
自己做一个圆柱进行思考探索。
三、学习探究：
活动一：
如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（π的值取3）.
活动二：
一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？
蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
小结：
解决曲面上两点最短路线问题的方法是：
___________.
活动三：
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗？
四、训练达标：
基础巩固：
1、下列说法正确的是（）
A.若a、b、c是
的三边，则
B.若a、b、c是
的三边，则
C.若a、b、c是
的三边
，则
D.若a、b、c是
的三边
，则
2、在△ABC中,∠C=90°，c=25,b=15,则a=.
3、三角形的三个内角之比为：
１：
２：
３，则此三角形是．
4、三条线段m,n,p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为
5、.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别是5，11，则b的面积为。
6、编制一个底面周长为8、高为6的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的
，…则每一根这样的竹条的长度最少是_________。
7、一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有240cm高，宽100cm．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？
说明理由．
8、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？
9、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？
能力提升：
10、如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走
最近？
并求出最近距离．
11、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题：
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
12、如图所示，有一高4㎝，底面直径为6㎝的圆锥。
现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？
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