三角函数九类经典题型.docx

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三角函数九类经典题型

三角函数九种经典类型题

类型一　同角三角函数关系式的应用

1、

（1）已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.

（2）已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为________．

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ

＝

＝

＝＝＝.

（2）∵＜α＜，

∴cosα＜0，sinα＜0且cosα>sinα，

∴cosα－sinα＞0.

又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，

∴cosα－sinα＝.

思维升华　

（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．

（2）应用公式时注意方程思想的应用：

对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．（3）注意公式逆用及变形应用：

1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

2、已知sinα－cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝________.

答案　－1

解析　由

消去sinα得：

2cos2α＋2cosα＋1＝0，

即（cosα＋1）2＝0，

∴cosα＝－.

又α∈（0，π），

∴α＝，

∴tanα＝tan＝－1.

类型二　诱导公式的应用

1、已知sin＝，则cos的值为________．

解析　

（1）cos＝cos

＝－sin＝－.

思维升华　

（1）诱导公式用法的一般思路

①化大角为小角．

②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

（2）常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：

－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．

②常见的互补的角：

＋θ与－θ；＋θ与－θ等．

2、已知sin＝，则cos＝________.

解析∵＋＝，

∴cos＝cos

＝sin＝.

变式：

已知sin＝，则

＝________.

类型三　三角函数的单调性

1、

（1）函数f（x）＝tan的单调递增区间是________________．

（2）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．

答案　

（1）（k∈Z）　

（2）

解析　

（1）由kπ－＜2x－＜kπ＋（k∈Z）得，

－＜x＜＋（k∈Z），

所以函数f（x）＝tan的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）由＜x＜π，ω＞0得，

＋＜ωx＋＜ωπ＋，

又y＝sinx在上递减，

所以

解得≤ω≤.

思维升华　

（1）已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中ω＞0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

2、

（1）函数f（x）＝sin的单调减区间为________．

（2）已知ω＞0，函数f（x）＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是______________．

答案　

（1），k∈Z　

（2）

解析　

（1）由已知函数为y＝－sin，

欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所给函数的单调减区间为（k∈Z）．

（2）函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，

则k∈Z，

解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，

又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，

得k＝1，所以ω∈.

类型四三角函数的周期性、对称性

1、

（1）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期是π，若将f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f（x）的图象，下列叙述正确的有________（填正确的序号）．

①关于直线x＝对称；②关于直线x＝对称；

③关于点对称；④关于点对称．

（2）已知函数y＝2sin的图象关于点P（x0,0）对称，若x0∈，则x0＝________.

解析　

（1）由题意知＝π，∴ω＝2；

又由f（x）的图象向右平移个单位后得到y＝sin[2＋φ]＝sin，此时关于原点对称，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴＜，

∴k＝－1，φ＝－，∴f（x）＝sin.当x＝时，

2x－＝－，∴①、③错误；当x＝时，2x－＝，∴②正确，④错误．

（2）由题意可知2x0＋＝kπ，k∈Z，故x0＝－，k∈Z，又x0∈，∴k＝0时，x0＝－.

2、　若函数y＝cos（ω∈N*）图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．

答案　2

解析　由题意知＋＝kπ＋（k∈Z）⇒ω＝6k＋2（k∈Z），又ω∈N*，∴ωmin＝2.

思维升华　

（1）对于函数y＝Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点（x0,0）是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断．

（2）求三角函数周期的方法：

①利用周期函数的定义．

②利用公式：

y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.

3、

（1）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），对于任意x都有f＝f，则f的值为________．

（2）已知函数f（x）＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为________．

答案　

（1）2或－2　

（2）－解析　

（1）∵f＝f，∴x＝是函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的一条对称轴．∴f＝±2.

（2）由x＝是f（x）图象的对称轴，可得f（0）＝f，解得a＝－.

类型五函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换

1、

（1）把函数y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为（填正确的序号）．

①x＝－；②x＝－；③x＝；④x＝.

（2）设函数f（x）＝cosωx（ω>0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于．

解析　

（1）将y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2（x－）＋]＝sin（2x－），故x＝－是其图象的一条对称轴方程．

（2）由题意可知，nT＝（n∈N*），

∴n·＝（n∈N*），

∴ω＝6n（n∈N*），∴当n＝1时，ω取得最小值6.

类型六由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

1、

（1）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象上一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6,0），则此函数的解析式为．

（2）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为．

解析　

（1）由题意得A＝，＝6－2，所以T＝16，ω＝＝.又sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ（k∈Z）．又因为|φ|<，所以φ＝.

（2）由题图可知A＝，＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f（x）＝sin（2x＋φ），

又为最小值点，∴2×π＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，

又|φ|＜π，∴φ＝.故f（x）＝sin（2x＋）．

2、函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ＝.

答案　－

解析　∵＝π－π，

∴T＝π.又T＝（ω＞0），∴＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x＝π时，ωx＋φ＝，

即2×π＋φ＝，∴φ＝－.

类型七：

三角函数图象性质的应用

1、已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是．

答案　（－2，－1）

解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x

＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，

∴题目条件可转化为＝sint，t∈，有两个不同的实数根．

∴y＝和y＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的范围为（－1，－），故m的取值范围是（－2，－1）．

类型八角的变换问题

1、

（1）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α＋β）＝，则cosβ＝.

（2）已知cos（α－）＋sinα＝，则sin（α＋）的值是．

答案　

（1）　

（2）－

解析　

（1）依题意得sinα＝＝，cos（α＋β）＝±＝±.

又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos（α＋β）．因为>>－，所以cos（α＋β）＝－.于是cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－×＋×＝.

（2）∵cos（α－）＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，（cosα＋sinα）＝，

sin（＋α）＝，∴sin（＋α）＝，∴sin（α＋）＝－sin（＋α）＝－.

2、若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝.

答案　

解析　cos＝cos＝coscos＋sinsin，

∵0＜α＜，∴＜＋α＜，

∴sin＝.又－＜β＜0，则＜－＜，∴sin＝.

故cos＝×＋×＝.

3、

（1）已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，则cos（α＋β）的值为．

（2）已知在△ABC中，sin（A＋B）＝，cosB＝－，则cosA＝.

易错分析　

（1）角－β，α－的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．

（2）对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角．

解析　

（1）∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，

∴cos（α＋β）＝2cos2－1＝2×－1＝－.

（2）在△ABC中，∵cosB＝－，∴＜B＜π，sinB＝＝.

∵＜B＜A＋B＜π，sin（A＋B）＝，∴cos（A＋B）＝－＝－，

∴cosA＝cos[（A＋B）－B]＝cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB

＝×＋×＝.

类型九

三角函数的求角问题

1、　

（1）已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝________.

（2）已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈，则α＋β＝________.

解析　

（1）由sinα＝，cosβ＝且α，β为锐角，可知cosα＝，sinβ＝，

故cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，

又0<α＋β<π，故α＋β＝.

（2）依题意有∴tan（α＋β）＝＝＝1.

又∴tanα＜0且tanβ＜0.∴－＜α＜0且－＜β＜0，

即－π＜α＋β＜0，结合tan（α＋β）＝1，得α＋β＝－.

2、

（1）若α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tanβ＝－，则2α－β＝________.

（2）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C＝________.

解析　

（1）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]＝

＝＝>0，又α∈（0，π）．∴0<α<，又∵tan2α＝＝＝>0，

∴0<2α<，∴tan（2α－β）＝＝＝1.

∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.

（2）由已知可得tanA＋tanB＝（tanA·tanB－1），

∴tan（A＋B）＝＝－，

又0