312用二分法求方程的近似解教案.docx

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312用二分法求方程的近似解教案

3.1.2　用二分法求方程的近似解

学习目标

　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．

知识点一　二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．

知识点二　用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε；

（2）求区间（a，b）的中点c；

（3）计算f（c）；

①若f（c）＝0，则c就是函数的零点；

②若f（a）·f（c）<0，则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））；

③若f（c）·f（b）<0，则令a＝c（此时零点x0∈（c，b））．

（4）判断是否达到精确度ε：

即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复

（2）～（4）．

以上步骤可简化为：

定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？

精确度上来判断．

1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．（　√　）

2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．（　√　）

3．用二分法最后一定能求出函数零点．（　×　）

4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．（　√　）

类型一　二分法的适用条件

例1　以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（　　）

考点　二分法的概念

题点　判断是否能用二分法求解零点

答案　C

解析　使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f（a）·f（b）<0，但C中找不到这样的区间．

反思与感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件

（1）函数图象在零点附近连续不断．

（2）在该零点左右函数值异号．

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．

跟踪训练1　观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（　　）

考点　二分法的概念

题点　判断是否能用二分法求解零点

答案　A

类型二　二分法的操作

例2　用二分法求函数f（x）＝x3－3的一个零点（精确度0.02）．

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法求方程的近似解

解　由于f（0）＝－3＜0，

f

（1）＝－2＜0，f

（2）＝5＞0，

故可取区间（1,2）作为计算的初始区间．

用二分法逐次计算，列表如下：

区间

中点的值

中点函数值（或近似值）

（1,2）

1.5

0.375

（1,1.5）

1.25

－1.047

（1.25,1.5）

1.375

－0.400

（1.375,1.5）

1.4375

－0.030

（1.4375,1.5）

1.46875

0.168

（1.4375,1.46875）

1.453125

0.068

（1.4375,1.453125）

因为|1.453125－1.4375|＝0.015625＜0.02，

所以函数f（x）＝x3－3的零点的近似值可取为1.4375.

反思与感悟　用二分法求函数零点的近似值关键有两点：

一是初始区间的选取，符合条件（包括零点），又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．

跟踪训练2　借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确度0.1）．

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法求方程的近似解

解　原方程即2x＋3x－7＝0，令f（x）＝2x＋3x－7，

用计算器或计算机作出函数f（x）＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

…

f（x）＝2x＋3x－7

－6

－2

3

10

21

40

75

142

273

…

观察图或表可知f

（1）·f

（2）＜0，说明这个函数在区间（1,2）内有零点x0.

取区间（1,2）的中点x1＝1.5，用计算器算得f（1.5）≈0.33.因为f

（1）·f（1.5）＜0，

所以x0∈（1,1.5）．

再取区间（1,1.5）的中点x2＝1.25，用计算器算得f（1.25）≈－0.87.

因为f（1.25）·f（1.5）＜0，所以x0∈（1.25,1.5）．

同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375,1.4375）．

由于|1.375－1.4375|＝0.0625＜0.1，

所以原方程的近似解可取为1.4375.

类型三　二分法思想的考查

例3　函数f（x）＝lnx＋x2－3的零点x0与

的大小关系为________．

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　

解析　在同一坐标系内画出y＝lnx，y＝3－x2的图象如图．

由图可知，y＝lnx与y＝3－x2有唯一的交点x0∈（1，

）．

即f（x）＝lnx＋x2－3有唯一的零点x0∈（1，

）．

代入区间中点x＝

，

则ln

2＝2－

>1.

∴ln

<3－

2.

∴

反思与感悟　在实际考查中，不一定要求把二分法进行多少次，但可以要求利用二分法缩小零点所在区间．

跟踪训练3　函数f（x）＝2x＋x3－2在（0,1）内有无零点？

若有，该零点是在

内还是在

内？

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

解　∵f（x）为R上的增函数且f（0）＝20＋03－2<0，f

（1）＝21＋13－2>0，

∴f（x）在（0,1）内有且仅有1个零点x0.

又f

＝

＋

3－2＝

＝

<0，

∴x0∈

.

1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是（　　）

A．y＝x＋7B．y＝5x－1

C．y＝log3xD．y＝

x－x

考点　二分法的概念

题点　判断是否能用二分法求解零点

答案　D

2．下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是（　　）

考点　二分法的概念

题点　判断是否能用二分法求解零点

答案　C

3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为（　　）

A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）

考点　用二分法求函数的近似解

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　C

4．定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的曲线，已知函数f（x）在区间（a，b）上有一个零点x0，且f（a）f（b）<0，用二分法求x0时，当f 

＝0时，则函数f（x）的零点是________．

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法求方程的近似解

答案　

5．用二分法求函数y＝f（x）在区间（2,4）上的唯一零点的近似值时，验证f

（2）·f（4）<0，取区间（2,4）的中点x1＝

＝3，计算得f

（2）·f（x1）<0，则此时零点x0所在的区间是________．

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　（2,3）

1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．二分法求方程近似解的适用范围：

在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．

3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．

一、选择题

1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（　　）

考点　二分法的概念

题点　判断是否能用二分法求解零点

答案　C

解析　只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续，可以利用二分法求解．

2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（　　）

A．ε越大，零点的精确度越高

B．ε越大，零点的精确度越低

C．重复计算次数就是ε

D．重复计算次数与ε无关

考点　二分法的概念

题点　二分法的概念

答案　B

解析　依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．

3．设f（x）＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈（1,2）内近似解的过程中得f

（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间（　　）

A．（1.25,1.5）B．（1,1.25）

C．（1.5,2）D．不能确定

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　A

解析　易知f（x）在R上是增函数．由题意可知f（1.25）·f（1.5）＜0，故函数f（x）＝3x＋3x－8的零点落在区间（1.25,1.5）内．故选A.

4．用二分法求函数f（x）＝lnx－

的零点时，初始区间大致可选在（　　）

A．（1,2）B．（2,3）C．（3,4）D．（e，＋∞）

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　B

解析　由于f

（2）＝ln2－1＜0，f（3）＝ln3－

＞0，

f

（2）·f（3）＜0，故初始区间可选（2,3）．

5．已知函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且在区间（a，b）内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间（a，b）等分的次数至少为（　　）

A．1B．2C．3D．4

考点　二分法的概念

题点　分析二分法计算的次数

答案　B

6．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

f

（1）＝－2

f（1.5）＝0.625

f（1.25）＝－0.984

f（1.375）＝－0.260

f（1.438）＝0.165

f（1.4065）＝－0.052

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度0.05）为（　　）

A．1.5B．1.375C．1.438D．1.25

考点　用二分法求函数的近似解

题点　用二分法求方程的近似解

答案　C

解析　∵f（1.4065）<0，f（1.438）>0，

∴f（1.4065）·f（1.438）<0，

∴该方程的根在区间（1.4065,1.438）内，

又∵|1.4065－1.438|＝0.0315＜0.05，

∴方程的近似根为1.4065或1.438.故选C.

7．设a是函数f（x）＝2x－

的零点，若x0>a，则f（x0）的值满足（　　）

A．f（x0）＝0B．f（x0）>0

C．f（x0）<0D．以上都有可能

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　B

解析　画出y＝2x与y＝

的图象（图略），可知当x0>a时，2x0>

，故f（x0）>0.

8．函数f（x）＝log3x－

在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（　　）

A.

B.

C.

D.

考点　用二分法求函数的近似解

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　C

解析　f

（1）＝－

<0，f（3）＝

>0，f

（2）＝log32－

＝log32－

＝log3

＝log3

<0，f

＝log3

－

＝log3

－

＝log3

>log3

＝log3

>0，因此，函数f（x）的零点在区间

内，故选C.

二、填空题

9．用二分法求函数f（x）在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．（填序号）

①f（x）在[a，b]上连续不断；②f（a）·f（b）<0；

③f（a）·f（b）>0；④f（a）·f（b）≥0.

考点　二分法的概念

题点　二分法的概念

答案　①②

解析　由二分法适用条件直接可得．

10．若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）>0，f

（1）·f

（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是________．（填序号）

①函数f（x）在区间（0,1）内有零点；

②函数f（x）在区间（1,2）内有零点；

③函数f（x）在区间（0,2）内有零点；

④函数f（x）在区间（0,4）内有零点．

考点　二分法的概念

题点　二分法的概念

答案　④

解析　∵f（0）>0，而由f

（1）·f

（2）·f（4）<0，知f

（1），f

（2），f（4）中至少有一个小于0，∴函数f（x）在（0,4）内有零点．

11．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间（1,2）内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　

解析　令f（x）＝x3－x2－1，则f

（1）＝－1＜0，f

（2）＝3＞0，f 

＝

＞0，所以f 

f

（1）＜0，

故可断定该实数根所在的区间为

.

三、解答题

12．用二分法求方程x2－2＝0的一个正实数解的近似值．（精确到0.1）

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法求方程的近似解

解　令f（x）＝x2－2，由于f（0）＝－2＜0，f

（2）＝2＞0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：

端点或中点横坐标

计算端点或中点的函数值

定区间

a0＝0，b0＝2

f（0）＝－2，f

（2）＝2

[0,2]

x0＝1

f（x0）＝－1＜0

[1,2]

x1＝1.5

f（x1）＝0.25＞0

[1,1.5]

x2＝1.25

f（x2）≈－0.438＜0

[1.25,1.5]

x3＝1.375

f（x3）≈－0.109＜0

[1.375,1.5]

x4＝1.4375

f（x4）≈0.066＞0

[1.375,1.4375]

由上表的计算可知，区间[1.375,1.4375]的长度为1.4375－1.375＝0.0625＜0.1.

故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．

13．（2017·山东莱芜期中）已知函数f（x）＝ax3－2ax＋3a－4在区间（－1,1）上有一个零点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若a＝

，用二分法求方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根．

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法求方程的近似解

解　

（1）若a＝0，则f（x）＝－4，与题意不符，∴a≠0.

由题意，得f（－1）·f

（1）＝8（a－1）（a－2）<0，

即

或

∴1

故实数a的取值范围为（1,2）．

（2）若a＝

，

则f（x）＝

x3－

x＋

，

∴f（－1）＝

>0，f（0）＝

>0，f

（1）＝－

<0，

∴函数f（x）的零点在区间（0,1）上，又f 

＝0，

∴方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根为

.

四、探究与拓展

14．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为（n，n＋1），则n＝________.

考点　用二分法求函数零点的近似值

题点　用二分法判断函数零点所在的区间

答案　2

解析　设f（x）＝2x＋2x－10，则f（x）在R上为单调增函数，又f（0）＝－9，f

（1）＝－6，f

（2）＝－2，f（3）＝4，∴f

（2）·f（3）＜0，∴β∈（2,3），n＝2.

15．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量比真金的略轻）．现只有一台天平，请问：

利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？

考点　二分法的概念

题点　二分法在实际问题中的应用

解　利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币．第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组（13枚金币）含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组，6,6,1，把6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币（称量结束），如果不平衡，轻的一组（6枚金币）含假币；第三次把含假币的6枚金币分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组（3枚金币）含假币；第四次把含假币的3枚金币中的两枚放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币，如果不平衡，轻的一边是假币．