分式方程的解题方法.docx

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【知识精读】

1.解分式方程的基本思想：

把分式方程转化为整式方程。

2.解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根：

把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】

例1.解方程：

分析：

首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根

解：

方程两边都乘以，得

例2.解方程

分析：

直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：

原方程变形为：

方程两边通分，得

经检验：

原方程的根是

例3.解方程：

分析：

方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：

由原方程得：

即

例4.解方程：

分析：

此题若用一般解法，则计算量较大。

当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。

解：

原方程变形为：

约分，得

方程两边都乘以

注：

分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。

因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。

5、中考题解：

例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）

A. B.

C. D.

分析：

分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是：

化简原方程为：

把代入解得，故选择D。

例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？

分析：

利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：

设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，

由题意得：

答：

甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。

说明：

在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6、题型展示：

例1.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。

求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

分析：

在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：

设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时

由题意，得

答：

水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

例2.m为何值时，关于x的方程会产生增根？

解：

方程两边都乘以，得

整理，得

说明：

分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根