最新江苏省苏中三市南通泰州扬州届高三第二次调研测试数学试题优秀名师资料.docx
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最新江苏省苏中三市南通泰州扬州届高三第二次调研测试数学试题优秀名师资料
江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三第二次调研测试数学试题
名校资料，名师设计
江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三调研测试
数学?
参考公式:
nn2211sxx,,（）xx,
（1）样本数据，，„，的方差，其中.xxx,,ii12nnni,,11i
（2）函数的导函数，其中都是常数.fxx（）sin,，,,fxx（）cos,,,,,，,,，，，，，
一、填空题:
本大题共14小题，每小题5分，共70分（请把答案直接填写在答题卡相应位（（（（（（置上（（（
221（在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为?
.yx,,1xOya1,
b2,
i2（若复数z满足（是虚数单位），则z=?
.12i34i，,,，z，，c3,
ca,3（在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是?
.ab,
bc,4（一组数据9.8，9.9，10，a，10.2的平均数为10，则该组数据的方差
Printa，b
为?
.（第3题）
2ðA,U,5（设全集Z，集合，则?
.（用列举法表示）Axxxx,,,,20?
，Z,,U
1,ab,,6（在平面直角坐标系中，已知向量a=（1，2），ab,（3，1），则?
.xOy2
7（将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2
号盒子中各有1个球的概率为?
.
yxx,，18.设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，，
,，则
的取值范围是?
.
x122y,yx,log9（如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数，，的yx,，，222
图象上，
且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为?
.10（观察下列等式:
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
y
311,，
BA332，129，,
333，12336，，,1
3333DC，1234100，，，,1Ox
„„（第9题）
3333*猜想:
?
（）.123，，，,,,，,nn,N
EF11（在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点GABCDABCD,AADC1111111为正方形
AEFG的中心.则空间四边形在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面BBCC11
积的最大
值为?
.
π，，12（若对任意的都成立，则的最小值为?
.axxax?
?
sinaa,x,0，1221,,2，，
y13（如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别为椭圆12
B22yx，,1（ab,,0）的左、右焦点，B，C分别为椭22ab
D圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一交点为.2
FFOx127cos，,FBFCD若，则直线的斜率为?
.12D25
14（各项均为正偶数的数列a，a，a，a中，前三项依次成1234C
（第13题）公差为d（d>0）的等差数列，后三项依次成公比为q的
等比数列.若，则q的所有可能的值构成的集合为?
.aa,,8841
二、解答题:
本大题共6小题，共90分（请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字（（（（（（（说明、证
明过程或演算步骤（
15（（本小题满分14分）
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.在斜三角形ABC
a1）若，求的值;（2sincossinACB,c
tanA
（2）若，求的值.sin
（2）3sinABB，,tanC
16（（本小题满分14分）
ABAD,如图，在六面体中，，，.求证:
ABCDABCD,AACC//ABAD,11111111
D1
（1）;AABD,1C1A1
（2）.BBDD//11B1
DC
AB17（（本小题满分14分）（第16题）
将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆
沙棘树苗（假定A，B两组同时开始种植.
2
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用5
1时小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短,2
（2）在按
（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍2为小时，5
2而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加3
入B组继
续种植，求植树活动所持续的时间.
18（（本小题满分16分）
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
22如图，在平面直角坐标系中，已知圆:
，圆:
（1）1xy，，,CxOyC12
22（（3）（4）1xy,，,,
（1）若过点的直线被圆截得的弦长为lC（10）,，Cy12
.C62，求直线的方程;l5
（2）设动圆C同时平分圆的周长、圆的周长（CC12
?
证明:
动圆圆心C在一条定直线上运动;.OCx1?
动圆C是否经过定点,若经过，求出定点的
坐标;若不经过，请说明理由（（第18题）
19（（本小题满分16分）
已知函数（fxxx（）sin,，
（1）设P，Q是函数图象上相异的两点，证明:
直线PQ的斜率大于0;fx（）
π，，0，
（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立（fxaxx（）cos?
a，，2
20.（本小题满分16分）
2**aaa,,设数列{}的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，an,Nk,N，，nknnk2n
则称
数列{}为“J型”数列.akn
（1）若数列{}是“J型”数列，且，，求;a,8a,1aa2n282n
（2）若数列{}既是“J型”数列，又是“J型”数列，证明:
数列{}是等比数列.aa34nn取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
数学?
（附加题）
21（【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作（（（（（（（（（（（（（（（（（（答（（
若多做，则按作答的前两题评分（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（
A（选修4—1:
几何证明选讲
（本小题满分10分）
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC，CD切半圆O于点D，DE?
AB，,3
垂足D
为E（若AE?
EB3?
1，求DE的长（
?
CAOEB（第21,A题）
B（选修4—2:
矩阵与变换
（本小题满分10分）
01，，在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点ykx,,,10，，
，P（41）,
k求实数的值（
C（选修4—4:
坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
a,0在极坐标系中，已知圆（）与直线相切，求实数a的值（,,cos1，,,,,asin，，,
取长补短，学习借鉴
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D（选修4—5:
不等式选讲
（本小题满分10分）
已知正数，，满足，求证:
（babc,1
（2）
（2）
（2）27abc，，，?
ac
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分（请在答题卡指定区域内作答，解答时（（（（（（（应写出文
字说明、证明过程或演算步骤（
22（（本小题满分10分）
2a*1n,,N已知数列{}满足:
，（an（）a,a，1n1n，2a1n
（1）求，的值;aa23
*
（2）证明:
不等式对于任意都成立（0,,aan,Nnn，1
23（（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）（过抛物线xOy
在轴上x
ABBDDACCAC方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与xBD交于
MADBCN点，直线与直线交于点（y
A
（1）求抛物线的标准方程;
M,MN
（2）求证:
轴;x
BMN（3）若直线与轴的交点恰为F（1，0），xN
OCDFxAB求证:
直线过定点（
（第23题）取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
数学?
参考答案及评分建议
一、填空题:
本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法（每小题5分，共70分（
221（在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为?
.yx,,1xOya1,
b2,答案:
2c3,
i2（若复数z满足（是虚数单位），则z=?
.12i34i，,,，z，，ca,
ab,答案:
1+2ibc,3（在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是?
.Printa，b
（第3题）答案:
2，1
4（一组数据9.8，9.9，10，a，10.2的平均数为10，则该组数据的方差为?
.
答案:
0.02
2ðA,U,5（设全集Z，集合，则?
（用列举法表示）.Axxxx,,,,20?
，Z,,U
答案:
{0，1}
1,6（在平面直角坐标系中，已知向量a=（1，2），（3，1），则ab,,?
.ab,xOy2
答案:
0
7（将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2
号盒子中各有1个球的概率为?
.
2答案:
9
8.设P是函数yxx,，
（1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为,,，则
的取值范围是?
.
ππ，答案:
，y，,32，
9（如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数BA2x122y,yx,log，，的图象上，且矩形yx,，，2212
DCO1x
（第9题）取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则
点D的坐标为?
.
11答案:
，，，24
10（观察下列等式:
311,，
33，129，,
333，12336，，,
3333，1234100，，，,
„„
3333*猜想:
?
（）.123，，，,,,，,nn,N
2nn
（1），，，答案:
,2，，
EF11（在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点GABCDABCD,AADC1111111
为正方形
AEFG的中心.则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，BBCC11
面积的最
大值为?
.
答案:
12
π，，12（若对任意的都成立，则的最小值为?
.axxax?
?
sinaa,x,0，1221,,2，，
y21,答案:
πB
13（如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别为椭圆12
22yx，,1ab,,0（）的左、右焦点，B，C分别为椭圆22abFFOx12
D的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一交点为.若D2
7cos，,FBFCD，则直线的斜率为?
.12C25
（第13题）12答案:
25
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计14（各项均为正偶数的数列a，a，a，a中，前三项依次成公差为d（d>0）的等差数列，1234
后三项
若，则q的所有可能的值构成的集合为依次成公比为q的等比数列.aa,,8841
?
.
58答案:
，,,37
二、解答题
15（本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知
识，考查
运算求解能力（满分14分（
在ABC斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
a
（1）若2sincossinACB,，求的值;c
tanA
（2）若，求的值.sin
（2）3sinABB，,tanC
sinAa,解:
（1）由正弦定理，得（sinBb
从而2sincossinACB,可化为2cosaCb,（„„„„„„„„„„3分
222abc，,由余弦定理，得（2ab，,2ab
a,1整理得，即.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分ac,c
ABCABC，，,,
（2）在斜三角形中，，
sin3sin,，,,,,，ACAC，，，，所以可化为，sin
（2）3sinABB，,，，，，，，，，
,,，sin3sinACAC即（„„„„„„„„„„„„„„10分，，，，
故（,，,，sincoscossin3（sincoscossin）ACACACAC
4sincos2cossinACAC,,整理，得，„„„„„„„„„12分
0因为?
ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC，
tan1A,,所以（„„„„„„„„„„„„„„„14分tan2C
16（本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
力（满分
14分（
ABAD,如图，在六面体中，，，.求证:
ABCDABCD,AACC//ABAD,11111111D1
C
（1）;AABD,11A1
（2）.BBDD//B111
BDMAM证明:
（1）取线段的中点，连结、，AM1
DCMADAB,因为，，ADAB,11
AB（第16题）
BDAM,所以，（„„„„„„„„„„3分BDAM,1
BD,又，平面，所以平面（AMAMM,AMAM、,AAMAAM1111
而平面，AA,AAM11
所以.„„„„„„„„„„„„„„„7分AABD,1
（2）因为，AACC//11
平面，平面，AA,DDCCCC,DDCC111111
所以平面（„„„„„„„„„„„„9分AA//DDCC111
又平面，平面平面，„„„11分AA,AADDAADDDDCCDD,11111111
所以（同理得，AADD//AABB//1111
所以（„„„„„„„„„„„„„„„„14分BBDD//11
17（本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问
题的能力（满分14分（
将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆
沙棘树苗（假定A，B两组同时开始种植（
2
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用5
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
1时小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短,2
（2）在按
（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍
2为小时，5
2而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加3入B组继
续种植，求植树活动所持续的时间.
*解:
（1）设A组人数为，且052,,x，，xx,N
2150，605则A组活动所需时间fx（）,,;„„„„„„„„„„2分xx
1200，1002gx（）,,（„„„„„„„„„4分B组活动所需时间5252,,xx
6010039,令，即，解得（x,fxgx（）（）,xx52,2
所以两组同时开始的植树活动所需时间
*60,，?
，，xx19,N,x„„„„„„„„„„„„„6分Fx（）,,*100,，?
，xx20.,N52,x,
6025F（19）,，F（20）,，而故（FF（19）（20）,198
2032，所以当A、B两组人数分别为时，使植树活动持续时间最
短（„„„„„„8分
2150201，,，65,3
（2）A组所需时间为1+（小时），„„„„„„„10分2067,
2200321，,，2313，,B组所需时间为（小时），„„„„„„12分3263，
63所以植树活动所持续的时间为小时（„„„„„„„„„14分7
18（本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
知识，考
查运算求解、分析探究及推理论证的能力（满分16分（
22中，已知圆:
，圆:
如图，在平面直角坐标系
（1）1xy，，,CxOyC12
22（（3）（4）1xy,，,,
y
（1）若过点的直线l被圆截得的弦长为C（10）,，C12l1
6，求直线的方程;llC252
（2）设动圆C同时平分圆的周长、圆的周长（CC12
C?
证明:
动圆圆心C在一条定直线上OCx才1运动;
?
动圆C是否经过定点,若经过，求出定点的
（第18题）
坐标;若不经过，请说明理由（
解:
（1）设直线l的方程为，即（ykx,，
（1）kxyk,，,0
6l因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，CC225
所以圆心l到:
的距离为C（34），kxyk,，,02
44k,4,（„„„„„„„„„„3分25k，1
432k,化简，得，解得或（k,1225120kk,，,34
l所以直线的方程为或4340xy,，,
（„„„„„„„„„„„„„6分3430xy,，,
（2）?
证明:
设圆心，由题意，得，CCCC,Cxy（），12
2222即（
（1）（3）（4）xyxy，，,,，,
化简得，xy，,,30
即动圆圆心C在定直线上运xy，,,30动（„„„„„„„„„„„„„„„„10分
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
?
圆过定点，设，CCmm（3），,
22211
（1）（3），,，，，,CCmm则动圆C的半径为（1
2222于是动圆C的方程为（（）（3）1
（1）（3）xmymmm,，,，,，，，,
整理，得
22（„„„„„„„„„„„„„„„„14分xyymxy，,,,,，,622
（1）0
33,,x,，12，x,,12，xy,，,10，,,,22由得或,,,2233620xyy，,,,，,,,22y,，;22.y,,,2,2
33所以定点的坐标为，1222,,，，，22
33（„„„„„„„„„16分1222，，，，，22
19（本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论
的思想方
法进行探究、分析与解决问题的能力（满分16分（
已知函数（fxxx（）sin,，
（1）设P，Q是函数图象上相异的两点，证明:
直线PQ的斜率大于0;fx（）
π，，0，
（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立（fxaxx（）cos?
a，，2
解:
（1）由题意，得（fxx（）1cos0,，?
所以函数在R上单调递增（fxxx（）sin,，
yy,12,0设，，则有，即Qxy（），Pxy（），1122xx,12k,0（„„„„„„„„„„„„6分PQ
a?
0
（2）当时，恒成fxxxaxx（）sin0cos,，?
?
立（„„„„„„„„„„„„„„„8分
a,0当时，令，gxfxaxxxxaxx（）（）cossincos,,,，,
g'xxaxxx（）1cos（cossin）,，,,
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
（,，,，1
（1）cossinaxaxx
，即时，，?
当10,a?
01,a?
g'xaxaxx（）11cossin0,，,，,，，
π，，0，所以在上为单调增函数（gx（），，2
所以，符合题gxga（）（0）0sin00cos00?
，,，，,意（„„„„„„„„„„„10分
?
当10,,a，即a,1时，令，hxg'xaxaxx（）（）1
（1）cossin,,，,，
于是（h'xaxaxx（）（21）sincos,,，
因为a,1，所以210a,,，从而（h'x（）0?
π，，0，所以在上为单调增函数（hx（），，2
ππ所以，即，2（）1,，ahxa?
?
hhxh（0）（）?
?
，，22
亦即
π（„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分2（）1,，ag'xa?
?
2
20,a?
12,a?
（i）当，即时，，g'x（）0?
π，，0，所以在上为单调增函数（于是，符合题意（„„„„gx（）gxg（）（0）0?
，，2
14分
π20,,aa,2（ii）当，即时，存在，使得x,0，0，，2
当时，有，此时在上为单调减函数，xx,（0），（0），xg'x（）0,gx（）00
从而，不能使恒成立（gxg（）（0）0,,gx（）0,
综上所述，实数的取值范围为aa?
2（„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16分
20（本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及
推理论证
的能力（满分16分（
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
2**设数列{}的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，aaa,,an,Nk,N，，nknnk2n
则称
数列{}为“J型”数列（akn
（1）若数列{}是“J型”数列，且，，求;aa,8a,1a2n282n
（2）若数列{}既是“J型”数列，又是“J型”数列，证明:
数列{}是等比数列.aa34nn
13a18解:
（1）由题意，得，，，，„成等比数列，且公比，q,,aaaa2468，，a22
所以
n,4n,11aaq,,（„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分22n，，2
（2）证明:
由{}是“型”数列，得aJn4
，，，，，，„成等比数列，设公比为.„„„„„„„„„„aaaaaat159131721
6分
由{}是“型”数列，得aJn3
，，，，，„成等比数列，设公比为;aaaaa,14710131
，，，，，„成等比数列，设公比为;aaaaa,25811142
，，，，，„成等比数列，设公比为;aaaaa,36912153
aaa434343131721,,,,,,,,,t则，t，t（123aaa159
，不妨记，且所以,,,,,,,,,,,,123123
43（„„„„„„„„„„„12分t,,
（32）1k,,k,13aaa,,,,于是，，，3211k,
2（31）1k,,k,kk,,2233aaataa,,,,,,,,，，，315111k,
131k,k,kk,,32333aaataa,,,,,,,,，，，39111k
取长补短，学习借鉴
名校资料，名师设计
n,13aa,,所以，故{}为等比数a，，n1n
列（„„„„„„„„„„„„„„„„„16分
数学?
附加题参考答案及评分建议
21（【选做题】
A（选修4—1:
几何证明选讲
本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力（满分10分（
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC，CD切半圆O于点D，DE?
AB，,3
D垂足
为E（若AE?
EB3?
1，求DE的长（
解:
连接AD、DO、DB（?
CAOEB
DOOE,由AE?
EB3?
1，得?
2?
1（（第21,A题）
又DE?
AB，所以（，,DOE60
故?
ODB为正三角形（„„„„„„„„„„„5分
于是（，,,，DACBDC30
而，故（，,,，CBDC30，,ABD60
所以（DBB
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