一元一次方程整章教案.docx
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一元一次方程整章教案
3．1 从算式到方程
3．1.1 一元一次方程
1．通过现实生活中的例子，体会方程的意义，领悟一元一次方程的概念，并会进行简单的辨别；（重点）
2．初步学会找实际问题中的等量关系，设出未知数，列出方程．（重点，难点）
一、情境导入
问题：
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A，B两地间的路程是多少？
1．若用算术方法解决应怎样列算式？
2．如果设A，B两地相距xkm，那么客车从A地到B地的行驶时间为________，货车从A地到B地的行驶时间为________．
3．客车与货车行驶时间的关系是____________．
4．根据上述关系，可列方程为____________．
5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？
如果能，你依据的是哪个相等关系？
二、合作探究
探究点一：
方程的概念
判断下列各式是不是方程；若不是，请说明理由．
（1）4×5＝3×7－1；
（2）2x＋5y＝3；
（3）9－4x＞0； （4）
＝
； （5）2x＋3.
解析：
根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
解：
（1）不是，因为不含有未知数；
（2）是方程；
（3）不是，因为不是等式；
（4）是方程；
（5）不是，因为不是等式．
方法总结：
本题考查的是方程的概念，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
探究点二：
一元一次方程的概念
【类型一】一元一次方程的辨别
下列方程中是一元一次方程的有（ ）
A．x＋3＝y＋2
B．1－3（1－2x）＝－2（5－3x）
C．x－1＝
D.
－2＝2y－7
解析：
A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．故选D.
方法总结：
判断一元一次方程需满足三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1；（3）是整式方程．
【类型二】利用一元一次方程的概念求字母次数的值
方程（m＋1）x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则（ ）
A．m＝±1 B．m＝1
C．m＝－1D．m≠－1
解析：
由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以
，
解得m＝1.故选B.
方法总结：
解决此类问题要明确：
若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可求方程中相关字母的值．
探究点三：
方程的解
下列方程中，解为x＝2的方程是（ ）
A．3x－2＝3 B．－x＋6＝2x
C．4－2（x－1）＝1 D.
x＋1＝0
解析：
A.当x＝2时，左边＝3×2－2＝4≠右边，错误；B.当x＝2时，左边＝－2＋6＝4，右边＝2×2＝4，左边＝右边，即x＝2是该方程的解，正确；C.当x＝2时，左边＝4－2×（2－1）＝2≠右边，错误；D.当x＝2时，左边＝
×2＋1＝2≠右边，错误．故选B.
方法总结：
检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．
探究点四：
列方程
某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）
A．1.2×0.8x＋2×0.9（60＋x）＝87
B．1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）＝87
C．2×0.9x＋1.2×0.8（60＋x）＝87
D．2×0.9x＋1.2×0.8（60－x）＝87
解析：
设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：
x支铅笔的售价＋（60－x）支圆珠笔的售价＝87，据此列出方程为1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）＝87.故选B.
方法总结：
解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，列方程．
三、板书设计
1．方程的定义
2．一元一次方程：
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程．
3．列方程解决实际问题的步骤：
①设未知数（用字母）
②找等量关系（表示出相关的量）
③列出方程
本课首先用实际问题引入课题，然后运用算术的方法给出解答．在各环节的安排上都设计成一个个的问题，使学生能围绕问题展开思考、讨论．通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想．使学生体会到数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决；从而激发学生学习数学的热情．
第三章一元一次方程
3.1从算式到方程
3.1.2等式的性质
学习目标
1.利用等式的基本性质对等式进行变形.
2.会用等式的性质解简单的一元一次方程；
教学过程
一、情境导入
同学们，你们玩过跷跷板吗?
它有什么特征?
翘翘板的两边增加的量之间到底满足什么关系时，翘翘板才能保持平衡?
二、合作探究
探究点一：
应用等式的性质对等式进行变形.
例1：
用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．
（1）如果2x+7=10，那么2x=10-_______；
（2）如果-3x=8，那么x=________；
（3）如果x−
＝y−
，那么x=_____；
（4）如果
＝2，那么a=_______．
解析：
（1）根据等式的基本性质
（1），在等式两边同时减去7可得2x=10-7；
（2）根据等式的基本性质
（2），在等式两边同时除以-3可得x=
；
（3）根据等式的基本性质
（1），在等式两边同时加上
可得x=y；
（4）根据等式的基本性质
（2），在等式两边同时乘以4可得a=8．
故答案为：
7，-83，y，8．
方法总结：
运用等式的性质，可以将等式进行变形，变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算，否则就会破坏原来的相等关系。
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂练习”第2题
例2：
已知mx=my，下列结论错误的是（ ）
A．x=yB．a+mx=a+my
C．mx-y=my-yD．amx=amy
解析：
A、等式的两边都除以m，根据等式性质2，m≠0，而A选项没有说明，故A错误；B、符合等式的性质1，正确．C、符合等式的性质1，正确．D、符合等式的性质1，正确．故选A．
方法总结：
本题主要考查等式的基本性质．在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂练习”第2题
探究点二：
利用等式的性质解方程
例3：
用等式的性质解下列方程：
（1）4x+7=3；
（2）
x-
x=4．
解析：
（1）在等式的两边都加或都减7，再在等式的两边都除以4，可得答案；
（2）在等式的两边都乘以6，在合并同类项，可得答案．
解：
（1）方程两边都减7，得4x=-4．
方程两边都除以4，得x=-1．
（2）方程两边都乘以6，得3x-2x=24，
x=24．
方法总结：
解方程时，一般先将方程变形为ax=b的形式，然后再变形为x=c的形式。
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂练习”第2题
三、板书设计
1.等式的性质1：
等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式．
即如果a＝b，那么a±c＝b±c．
2.等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.
即如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么
.
3.利用等式的基本性质解一元一次方程
教学反思
本节课采用从生活中的跷跷板入手，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。
利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。
3．2 解一元一次方程
（一）——合并同类项与移项
第1课时 用合并同类项的方法解一元一次方程
1．会利用合并同类项的方法解一元一次方程；（重点）
2．通过对实例的分析、体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用．（难点）
一、情境导入
1．等式的基本性质有哪些？
2．解方程：
（1）x－9＝8；
（2）3x＋1＝4.
3．下列各题中的两个项是不是同类项？
（1）3xy与－3xy；
（2）0.2ab与0.2ab；
（3）2abc与9bc;（4）3mn与－nm；
（5）4xyz与4xyz;（6）6与x.
4．能把上题中的同类项合并成一项吗？
如何合并？
5．合并同类项的法则是什么？
依据是什么？
二、合作探究
探究点一：
利用合并同类项解简单的一元一次方程
解下列方程：
（1）9x－5x＝8；
（2）4x－6x－x＝15.
解析：
先将方程左边的同类项合并，再把未知数的系数化为1.
解：
（1）合并同类项，得4x＝8.
系数化为1，得x＝2.
（2）合并同类项，得－3x＝15.
系数化为1，得x＝－5.
方法总结：
解方程的实质就是利用等式的性质把方程变形为x＝a的形式．
探究点二：
根据“总量＝各部分量的和”列方程解决问题
足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比为3∶5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？
解析：
遇到比例问题时可设其中的每一份为x，本题中已知黑、白皮块数目比为3∶5，可设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，然后利用相等关系“黑色皮块数＋白色皮块数＝32”列方程．
解：
设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，
根据题意列方程3x＋5x＝32，
解得x＝4，
则黑色皮块有3x＝12（个），
白色皮块有5x＝20（个）．
答：
黑色皮块有12个，白色皮块有20个．
方法总结：
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．此题的关键是要知道相等关系为：
黑色皮块数＋白色皮块数＝32，并能用x和比例关系把黑皮与白皮的数量表示出来．
三、板书设计
1．用合并同类项的方法解简单的一元一次方程．
解方程的步骤：
（1）合并同类项；
（2）系数化为1（等式的基本性质2）．
2．找等量关系列一元一次方程．
列方程解应用题的步骤：
（1）设未知数；
（2）分析题意找出等量关系；
（3）根据等量关系列方程；
（4）解方程并作答．
本节从复习入手，帮助学生回顾合并同类项的相关知识，为学习用合并同类项解方程做好铺垫．教学中采用引导发现的方法，课堂训练中鼓励自己动手，体现学生在课堂上的主体地位；整个教学过程中充分调动学生学习积极性，培养学生合作学习，主动探究的习惯．
第2课时 用移项的方法解一元一次方程
1．掌握移项变号的基本原则；（重点）
2．会利用移项解一元一次方程；（重点）
3．会抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题．（难点）
一、情境导入
上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：
一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．那么像3x＋7＝32－2x这样的方程怎么解呢？
二、合作探究
探究点一：
移项法则
通过移项将下列方程变形，正确的是（ ）
A．由5x－7＝2，得5x＝2－7
B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋x
C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8
D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9
解析：
A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故选项错误；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故选项错误；C.由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8，故选项正确；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故选项错误．故选C.
方法总结：
①所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置．②移项时要变号，不变号不能移项．
探究点二：
用移项解一元一次方程
解下列方程：
（1）－x－4＝3x；
（2）5x－1＝9；
（3）－4x－8＝4;（4）0.5x－0.7＝6.5－1.3x.
解析：
通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．
解：
（1）移项得－x－3x＝4，
合并同类项得－4x＝4，
系数化成1得x＝－1；
（2）移项得5x＝9＋1，
合并同类项得5x＝10，
系数化成1得x＝2；
（3）移项得－4x＝4＋8，
合并同类项得－4x＝12，
系数化成1得x＝－3；
（4）移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，
合并同类项得1.8x＝7.2，
系数化成1得x＝4.
方法总结：
将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．
探究点三：
根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题
把一批图书分给七年级（11）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则缺25本，这个班有多少学生？
解析：
根据实际书的数量可得相应的等量关系：
3×学生数量＋20＝4×学生数量－25，把相关数值代入即可求解．
解：
设这个班有x个学生，根据题意得
3x＋20＝4x－25，
移项得3x－4x＝－25－20
合并得－x＝－45
解得x＝45.
答：
这个班有45人．
方法总结：
列方程解应用题时，应抓住题目中的“相等”、“谁比谁多多少”等表示数量关系的词语，以便从中找出合适的等量关系列方程．
三、板书设计
1．移项的定义：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
2．移项法则的依据：
移项法则的依据是等式的基本性质1.
3．用移项解一元一次方程．
4．列一元一次方程解决实际问题．
本节课先利用等式的基本性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项的方法来解方程．学生在移项过程中，大致会遇到以下几种比较常见的情况：
①含未知数的项不知道如何处理；②移项没有变号；③没移动的项也改变了符号；第一种情况在授课过程中强调不够，后面的两种情况出现最多，因此在教学设计当中应给学生进行针对性训练．引导学生正确地解方程．
3．3 解一元一次方程
（二）——去括号与去分母
第1课时 利用去括号解一元一次方程
1．掌握用一元一次方程解决实际问题的方法，会用分配律去括号解含括号的一元一次方程；（重点）
2．经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．（难点）
一、情境导入
复习提问：
1．解一元一次方程时，最终结果一般是化为哪种形式？
2．我们学了哪几种一元一次方程的解法？
3．移项，合并同类项，系数化为1，要注意什么？
4．一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．
（1）题目中的等量关系是______________．
（2）根据题意可列方程为______________．
你能解这个方程吗？
二、合作探究
探究点一：
利用去括号解一元一次方程
【类型一】用去括号的方法解方程
解下列方程：
（1）4x－3（5－x）＝6；
（2）5（x＋8）－5＝6（2x－7）．
解析：
先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．
解：
（1）去括号得4x－15＋3x＝6，
移项合并同类项得7x＝21，
系数化为1得x＝3；
（2）去括号得5x＋40－5＝12x－42，
移项、合并得－7x＝－77，
系数化为1得x＝11.
方法总结：
解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.在具体解方程时，不论进行到哪一步，只要得出方程的解，下面的步骤就不用再进行了．
【类型二】根据已知方程的解求字母系数的值
已知关于x的方程3a－x＝
＋3的解为2，求代数式（－a）2－2a＋1的值．
解析：
此题可将x＝2代入方程，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值，再把a的值代入所求代数式计算即可．
解：
∵x＝2是方程3a－x＝
＋3的解，
∴3a－2＝1＋3，
解得a＝2，
∴原式＝a2－2a＋1＝22－2×2＋1＝1.
方法总结：
此题考查方程解的意义及代数式的求值．将未知数x的值代入方程，求出a的值，然后将a的值代入整式即可解决此类问题．
探究点二：
应用方程思想求值
当x为何值时，代数式2（x2－1）－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6.
解析：
先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
解：
依题意得2（x2－1）－x2－（x2＋3x－2）＝6，
去括号得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，
移项、合并得－3x＝6，
系数化为1得x＝－2.
方法总结：
先按要求列出方程，然后按照去括号，移项，把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边，然后合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
探究点三：
去括号解方程的应用题
今年5月，在中国东莞举办了苏迪曼杯羽毛球团体赛．在17日的决赛中，中国队战胜日本队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
解析：
设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了（8－x）张，根据题意建立方程，求出方程的解就可以得出结论．
解：
设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了（8－x）张，由题意得
300x＋400×（8－x）＝2700，
解得x＝5，
∴买400元每张的门票张数为：
8－5＝3（张）．
答：
每张300元的门票买了5张，每张400元的门票买了3张．
方法总结：
解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤：
①根据题意找出等量关系；②列出方程；③解方程；④作答．
三、板书设计
解一元一次方程——去括号：
1．去括号的顺序：
先去小括号，再去中括号，最后去大括号．简单地说，由内向外去括号，也可以由外向内去括号．
2．去括号的规律：
（1）将括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体，利用分配律将它与括号内的项相乘，即a（b＋c）＝ab＋ac；
（2）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识，复习巩固方程的解法，让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的，后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成．然后通过一个实际问题，列出一个有括号的方程，大胆放手让学生去探索、猜想各种方法，去尝试各种解题的途径，启发学生探索新的解题方法．
第2课时 利用去分母解一元一次方程
1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；（重点）
2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的步骤．（难点）
一、情境导入
1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？
2．求下列几组数的最小公倍数：
（1）2，3；
（2）2，4，5.
3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？
4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？
那么这一节课我们来共同解决这样的问题．
二、合作探究
探究点一：
用去分母解一元一次方程
【类型一】用去分母解方程
（1）x－
＝
－3；
（2）
－
＝
.
解析：
（1）先方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程．
（2）先方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3（x－3）－2（x＋1）＝6，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程．
解：
（1）x－
＝
－3，
去分母得15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，
去括号得15x－3x＋6＝10x－25－45，
移项得15x－3x－10x＝－25－45－6，
合并同类项得2x＝－76，
把x的系数化为1得x＝－38.
（2）
－
＝
去分母得3（x－3）－2（x＋1）＝6，
去括号得3x－9－2x－2＝6，
移项得3x－2x＝1＋9＋2，
合并同类项得x＝12.
方法总结：
解方程应注意以下两点：
①去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．
【类型二】两个方程解相同，求字母的值
已知方程
＋
＝1－
与关于x的方程x＋
＝
－3x的解相同，求a的值．
解析：
求出第一个方程的解，把求出的x的值代入第二个方程，求出所得关于a的方程的解即可．
解：
＋
＝1－
2（1－2x）＋4（x＋1）＝12－3（2x－1）
2－4x＋4x＋4＝12－6x＋3
6x＝9，
x＝
.
把x＝
代入x＋
＝
－3x，
得
＋
＝
－
，
9＋18－2a＝a－27，
－3a＝－54，
a＝18.
方法总结：
此类问题的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程求解．
探究点二：
应用方程思想求值
（1）当k取何值时，代数式
的值比
的值小1?
（2）当k取何值时，代数式
与
的值互为相反数？
解析：
根据题意列出方程，然后解方程即可．
解：
（1）根据题意可得
－
＝1，
去分母得3（3k＋1）－2（k＋1）＝6，
去括号得9k＋3－2k－2＝6，
移项得9k－2k＝6＋2－3，
合并得7k＝5，
系数化为1得k＝
；
（2）根据题意可得
＋
＝0，
去分母得2（k＋1）＋3（3k＋1）＝0，
去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，
移项得2k＋9k＝－3－2，
合并得11k＝－5，
系数化为1得k＝－
.
方法总结：
先按要求列出方程，然后按照去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
探究点三：
列一元一次方程解应用题
某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位．
（1）该单位参加旅游的职工有多少人？
（2）如同时租用这两种客车若干辆，问有无可能使每辆车刚好坐满？
如有可能，两种车各租多少辆？
（此问可只写结果，不写分析过程）
解析：
（1）先设该单位参加旅游的职工有x人，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；
（2）可根据租用两种汽车时，利用假设一种车的数量，进而得出
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