二次函数的实际应用典型例题分类.docx

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二次函数的实际应用典型例题分类

二次函数与实际问题

1、理论应用（基本性质的考查：

解析式、图象、性质等）

2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）

类型一：

最大面积问题

例一：

如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积

（㎡）与路宽

（m）之间的关系？

并求出绿地面积的最大值？

变式练习1：

如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积

（㎡）与它与墙平行的边的长

（m）之间的函数关系式？

当x为多长时，花园面积最大？

类型二：

利润问题

例二：

某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:

在某一时间内,单价是元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:

销售单价是多少时,可以获利最多?

设销售单价为x元，（0＜x≤13.5）元，那么

（1）销售量可以表示为____________________；

（2）销售额可以表示为____________________；

（3）所获利润可以表示为__________________；

（4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________

变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

变式训练3：

某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．

（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量

（件）与销售单价

（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求

与

之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额

总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：

当x取何值时，P的值最大？

最大值是多少？

类型三:

实际抛物线问题

例三：

某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。

（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；

（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？

并说明理由。

变式练习3：

如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽

米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽

米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

变式练习4：

如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为。

（精确到0.1米）

变式：

1如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当时，球能否越过球网？

球会不会出界？

请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

课后练习：

一，利润问题：

1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

二，面积问题：

2，如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

（1）设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？

（2）设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？

最大值是多少？

3.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，

现把它的示意图放在平面直角坐标系中，

如图该抛物线的解析式为。

4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝－

（x－4）2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.

5、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B（8，9），则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米（精确到0.1m）．

6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离

水面的高是多少？

2.3二次函数的应用

教学目标:

　　了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．

教学重点:

是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．

教学难点:

本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．建立直角坐标系。

教学方法:

在教师的引导下自主教学。

教学过程:

一、情境创设

1、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－

x2＋10x．

（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？

最高点的高度是多少？

（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

二、例题教学

1、解决书27页问题二：

学生自主学习，相互探究解决问题的方案。

2、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度m.

（1）如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与

（1）相同,水池的半径为,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m（精确到）？

例3、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

问题2

一个涵洞成抛物线形，它的截面如图现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？

是否会超过1m？

三、练习

（1）河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=-x2，当水位线在AB位置时，水面宽AB=30米，这时水面离桥顶的高度h是（）

A、5米B、6米；C、8米；D、9米

2）一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?

（结果精确到）.

（3）某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

四、小结本节课你有那些收获？

五、作业