线性方程组的无穷解=对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。
这类问题的求法分为两类：
一类主要用于解低阶稠密矩阵——直接法；另一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。
1、利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）
方程：
AX=b
解法：
X=A\b
例4-1求方程组
的解
解：
在Matlab编辑器中建立M文件：
LX0716.m
A=[56000
15600
01560
00156
00015];
B=[10001]';
R_A=rank（A）%求秩
X=A\B%求解
运行后结果如下
R_A=
5
X=
2.2662
-1.7218
1.0571
-0.5940
0.3188
这就是方程组的解。
例4-2求方程组
的一个特解
解：
在Matlab编辑器中建立M文件：
LX0717.m
A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];
B=[140]';
X=A\B
X=
0
0
-0.5333
0.6000
2、利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解
（1）LU分解：
LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。
即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。
则：
A*X=b变成L*U*X=b
∴X=U\（L\b）这样可以大提高运算速度。
命令[L，U]=lu（A）
例4-3求方程组
的一个特解
解
在Matlab编辑器中建立M文件：
LX0718.m
A=[42-1;3-12;1130];
B=[2108]';
D=det（A）
[L,U]=lu（A）
X=U\（L\B）
在Matlab命令窗口建入LX0718，回车后显示结果如下：
D=
0
L=
0.3636-0.50001.0000
0.27271.00000
1.000000
U=
11.00003.00000
0-1.81822.0000
000.0000
Warning:
Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.
Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.018587e-017.
>InD:
\Matlab\pujun\lx0720.matline4
X=
1.0e+016*
-0.4053
1.4862
1.3511
说明：
结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。
可以通过A*X验证其正确性。
3.Cholesky分解
若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：
其中R为上三角阵。
方程A*X=b变成
所以
命令R=chol（A）
3.QR分解
对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：
A=QR
方程A*X=b变形成QRX=b
所以X=R\（Q\b）
命令[Q,R]=qr（A）
上例中[Q,R]=qr（A）
X=R\（Q\B）
说明：
这三种分解，在求解大型方程组时很有用。
其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。
（四）特征值与特征向量
工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常归结为求一个方阵的特征值和特征向量。
设A为n阶方阵，如果数入和n维列向量x使得关系式
成立，则称
为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值入的特征向量。
在Matlab中，用如下几种调用格式来求A的特征值和特征向量。
1.d=eig（A）%d为矩阵A的特征值排成的向量
2.[V,D]=eig（A）%D为A的特征值对角阵，V的列向量为对应特征值的特征向量（且为单位向量）
3.[V,D]=eig（A，
）%当A中有小到和截断误差相当的元素时，用nobalance选项，其作用是减少计算误差
求矩阵
的特征值和特征向量
解：
在Matlab编辑器中建立M文件：
LX0722.m
A=[-211;020;-413];
[V,D]=eig（A）
运行后结果显示：
V=
-0.7071-0.24250.3015
000.9045
-0.7071-0.97010.3015
D=
-100
020
002
即：
特征值-1对应特征向量（-0.70710-0.7071）T
特征值2对应特征向量（-0.24250-0.9701）T和（-0.30150.9045-0.3015）T
求矩阵
的特征值和特征向量
解：
在Matlab编辑器中建立M文件：
LX0723.m
A=[-110;-430;102];
[V,D]=eig（A）
运行后结果显示为
V=
00.4082-0.4082
00.8165-0.8165
1.0000-0.40820.4082
D=
200
010
001
说明：
当特征值为1（二重根）时，对应特征向量都是k（0.40820.8165-0.4082）Tk为任意常数。
（五）关系操作
关系运算示例。
A=1:
9,B=10-A,r0=（A<4）,r1=（A==B）
A=
123456789
B=
987654321
r0=
111000000
r1=
000010000
（六）逻辑操作
注意逻辑运算和关系运算之间的优先级次序。
（详见下节的表2.13-5）
A=-3:
3;
L1=~（A>0）
L2=~A>0
L3=~A
L4=A>-2&A<1
L1=
1111000
L2=
0001000
L3=
0001000
L4=
0011000
三、实验仪器、设备
1．主要设备是电脑，
2．软件环境为MATLAB6.5以上版本。
四、实验原理
1．数组是有序数据的集合，在大多数编程语言中，数组的每一个成员（元素）都属于同一种数据类型，它们使用同一个数组名称和不同的下标惟一确定数组中的成员（元素）。
其中，下标是指数组元素在数组中的序号。
2．向量就是一维数组，可以是行向量或列向量。
3．在MATLAB中矩阵就是线性代数中定义的矩阵的概念——矩阵就是用一对圆括号或者方括号扩起来，符合一定规则的数学对象。
五、实验步骤
1．首先进入MATLAB6.5环境，熟悉MAYLAB的工作环境以及工作空间。
2．用不同的方法创建矩阵和数组。
3．对创建的矩阵进行各种操作，如：
矩阵旋转、矩阵转置、矩阵运算等。
4．根据线性方程组系数矩阵的不同情况，分析是否存在惟一精确解，如果存在就对其求解。
5．练习求特征值和特征向量
6．对矩阵或向量进行关系运算或逻辑运算
六、实验报告要求
1．要求验证课本上关于矩阵各种运算的实验内容，写出命令窗口的操作过程，将运行结果如实记录，根据运行结果进行分析归纳；
2．写出通过本次对课堂授课内容有哪些促进和提高，总结出哪些规律。
得到哪些结论；
3．写出本次实验的心得和体会，并提出今后应注意的问题和改进的方向。
七、实验注意事项
1．实验内容在命令窗口进行直接操作，也可以在M文件中进行编程；
2．可以充分利用历史工作期进行重复指令操作和指令修改；
3．随时查看工作空间中的变量的内容、类型等信息，注意新变量和已经存在的变量的区别。
4．注意在操作过程中可以充分利用矩阵生成函数创建矩阵。
八、思考题
1．如何把当前工作空间保存成一个二进制文件？
2．如何在当前工作空间中恢复以前保存过的工作空间？
3．如何保存当前工作空间中的某些变量？
实验二、符号对象的创建及符号运算
一、实验目的
1.理解符号对象和数值对象之间的差别，以及它们之间的互相转换。
2.了解符号运算和数值运算的特点、区别和优缺点。
3.掌握符号对象的基本操作和运算，以及符号运算的基本应用。
二、实验内容
1.MATLAB工作环境Desktop的启动
双击桌面上的MATLAB6.5快捷方式，启动MATLAB环境。
2.设置当前工作目录
运用实验一提供的方法，将当作工作目录设置为D盘自建的文件夹。
3.课堂内容练习
◆符号对象的生成和使用
（1）符号常数形成中的差异
a1=[1/3,pi/7,sqrt（5）,pi+sqrt（5）]%a1是数值常数
a2=sym（[1/3,pi/7,sqrt（5）,pi+sqrt（5）]）%最接近的有理表示
a3=sym（'[1/3,pi/7,sqrt（5）,pi+sqrt（5）]'）%绝对准确的符号数值表示
a24=a2-a3
a1=
0.33330.44882.23615.3777
a2=
[1/3,pi/7,sqrt（5）,6054707603575008*2^（-50）]
a3=
[1/3-eps/12,pi/7-13*eps/165,sqrt（5）+137*eps/280,6054707603575008*2^（-50）]
a4=
[1/3,pi/7,sqrt（5）,pi+sqrt（5）]
a24=
[0,0,0,189209612611719/35184372088832-pi-5^（1/2）]
（2）把字符表达式转换为符号变量
y=sym（'2*sin（x）*cos（x）'）%把字符表达式转换为符号变量
y=simple（y）%按规则把已有的y符号表达式化成最简形式
y=
2*sin（x）*cos（x）
y=
sin（2*x）
（3）用符号计算验证三角等式
。
symsfai1fai2;y=simple（sin（fai1）*cos（fai2）-cos（fai1）*sin（fai2））
y=
sin（fai1-fai2）
（4）求矩阵
的行列式值、逆和特征根
symsa11a12a21a22;A=[a11,a12;a21,a22]
DA=det（A）,IA=inv（A）,EA=eig（A）
A=
[a11,a12]
[a21,a22]
DA=
a11*a22-a12*a21
IA=
[a22/（a11*a22-a12*a21）,-a12/（a11*a22-a12*a21）]
[-a21/（a11*a22-a12*a21）,a11/（a11*a22-a12*a21）]
EA=
[1/2*a11+1/2*a22+1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
[1/2*a11+1/2*a22-1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
◆识别对象类别的指令
（1）生成三种不同类型的矩阵，给出不同的显示形式
clear,a=1;b=2;c=3;d=4;%产生四个数值变量
Mn=[a,b;c,d]%利用已赋值变量构成数值矩阵
Mc='[a,b;c,d]'%字符串中的a,b,c,d与前面输入的数值变量无关
Ms=sym（Mc）%Ms是一个符号变量，它与前面各变量无关
Mn=
12
34
Mc=
[a,b;c,d]
Ms=
[a,b]
[c,d]
（2）三种矩阵的大小不同
SizeMn=size（Mn）,SizeMc=size（Mc）,SizeMs=size（Ms）
SizeMn=
22
SizeMc=
19
SizeMs=
22
（3）用class获得每种矩阵的类别
CMn=class（Mn）,CMc=class（Mc）,CMs=class（Ms）
CMn=
double
CMc=
char
CMs=
sym
（4）用isa判断每种矩阵的类别（若返回1，表示判断正确）
isa（Mn,'double'）,isa（Mc,'char'）,isa（Ms,'sym'）
ans=
1
ans=
1
ans=
1
（5）利用whos观察内存变量的类别和其它属性
whosMnMcMs%观察三个变量的类别和属性
NameSizeBytesClass
Mc1x918chararray
Mn2x232doublearray
Ms2x2408symobject
Grandtotalis21elementsusing458bytes
◆符号表达式中自由变量的确定
（1）生成符号变量
symsabxXY;k=sym（'3'）;z=sym（'c*sqrt（delta）+y*sin（theta）'）;
EXPR=a*z*X+（b*x^2+k）*Y;
（2）找出EXPR中的全部自由符号变量
findsym（EXPR）%除常数符号k外的所有独立符号变量都被列出
ans=
X,Y,a,b,c,delta,theta,x,y
（3）在EXPR中确定一个自由符号变量
findsym（EXPR,1）
ans=
x
（4）在EXPR中确定2个和3个自由变量时的执行情况
findsym（EXPR,2）,findsym（EXPR,3）
ans=
x,y
ans=
x,y,theta
◆符号表达式的操作：
简化
symsx;f=（1/x^3+6/x^2+12/x+8）^（1/3）;
g1=simple（f）,g2=simple（g1）
g1=
（2*x+1）/x
g2=
2+1/x
◆符号数值精度控制和任意精度计算
digits%显示省缺符号数值计算相对精度
Digits=32
p0=sym（'（1+sqrt（5））/2'）;%p0为（1+sqrt（5））/2准确值
p1=sym（（1+sqrt（5））/2）%p1是（1+sqrt（5））/2在数值环境下的近似值
e01=vpa（abs（p0-p1））%在符号环境32位省缺精度下，观察p0,p1间误差
p1=
7286977268806824*2^（-52）
e01=
.54321152036825
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