九年级数学上册 242 相似三角形的判定教案 沪科版.docx

九年级数学上册 242 相似三角形的判定教案 沪科版.docx

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九年级数学上册242相似三角形的判定教案沪科版

2019-2020年九年级数学上册24.2相似三角形的判定教案沪科版

学习目标要求

1、掌握相似三角形的概念。

2、掌握两个三角形相似的条件。

3、能用两个三角形相似的条件解决问题。

教材内容点拨

知识点1

相似三角形：

1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。

2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。

3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置，例如，△ABC与△DEF中，A点与E点对应，B点与D点对应，C点与F点对应，则应记作△ABC∽△EDF。

4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。

5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。

知识点2

相似三角形判定方法：

相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。

1、“AA”：

如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。

可简单的说成：

两角对应相等的两个三角形相似。

2、“SAS”：

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、“SSS”：

如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：

三边对应成比例的两个三角形相似。

4、“HL”：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。

典型例题点拨

例1、已知:

如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:

ΔABC∽ΔEAD。

点拨：

题中提供了两个条件，一个是关于边的，一个是关于角的，而关于边的条件可转换为角之间的关系，从而可得两个角之间的关系，联系到要求证的结论，可联想到用“AA”来证。

解答：

∵AD＝DB，∴∠3＝∠B，又∵∠1＝∠2，∠4＝∠B＋∠2，∠BAC＝

∠３＋∠１，∴∠4＝∠BAC，在△ABC和△EAD中，

∠3＝∠B

∠4＝∠BAC

∴ΔABC∽ΔEAD。

例2、已知：

如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，ΔADQ与ΔQCP是否相似？

为什么？

点拨：

根据条件“BP＝3PC，Q是CD的中点”可知，结合∠C＝∠D＝90°，可用“SAS”求证。

解答：

∵BP＝3PC，Q是CD的中点，∴，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，在ΔADQ与ΔQCP中，

∠C＝∠D

∴ΔADQ∽ΔQCP。

例3、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

解答：

（1）∵∠ACP＝∠PDB＝120°，当＝，即＝，也就是CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB。

（2）∵△ACP∽△PDB。

∴∠A＝∠DPB，

∴　∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB

＝∠APC＋∠A＋∠CPD

＝∠PCD＋∠CPD

＝120°。

例4、（xx年福建省南平市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。

请探究：

（1）线段AE与CG是否相等？

请说明理由：

（2）若设，，当取何值时，最大？

（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

点拨：

本题主要考察对全等三角形和相似三角形的理解与应用，根据条件注意到

△ABE∽△DEH，并由此得到，从而得到关于x、y的一个条件式，进而得到y与x的一个函数，这是解决第

（2）小题的关键；在第（3）小题中，则要从果溯源，要使△BEH∽△BAE，则必须，由此得到关于x的一个方程，解这个方程即可。

解答：

（1）AE＝CG，∵四边形ABCD、EBGF都是正方形，∴∠1＝∠2，且AB＝AC、BE＝BG，∴△ABE≌△CBG，∴AE＝CG（全等三角形的对应边相等）。

（2）在△ABE和△DEH中，∠D＝∠A＝90°，∠1＝∠3＝90°－∠AEB，∴△ABE∽△DEH，∴，即，得，∴当时，。

（3）若△BEH∽△BAE，则，即，解得，∴当E点运动到中点时，△BEH∽△BAE。

考点考题点拨

1、中考导航

中考中对相似三角形的考察往往结合其他内容例如平行线、平行四边形来进行，要熟练掌握相似三角形的四种判定方法，特别是“AA”。

2、经典考题追踪

例1、（06天门）点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有（）。

A、2对B、3对C、4对D、5对

点拨：

将△BCG、△ADG、△ABC、△ACD分别标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，则有Ⅰ和Ⅱ、Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅱ和Ⅳ五对相似三角形。

解答：

选D。

例2、（06苏州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M。

（1）求证：

△EDM∽△FBM；

（2）若DB＝9，求BM。

点拨：

由条件“AB＝2CD，E是AB的中点”可得BE＝CD，从而可知四边形

DEBC是平行四边形，由此可证

（1），在

（1）中结论成立的前提下，利用

相似三角形“对应边成比例”的性质，可求BM。

解答：

（1）∵AB＝2CD，且E是AB的中点，∴BE＝CD，又∵BE∥CD，

∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△EDM∽△FBM；

（2）∵△EDM∽△FBM，∴（相似三角形的对应边对应成比例），∵F是CD的中点，∴，∴，令BM＝x，则DM＝2x，∴BD＝3x＝9，∴x＝3，∴BM＝3。

例3、（06年锦州）点D是△ABC中AB边上的一点，过点D作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线最多有____条。

点拨：

要使所截得的三角形与△ABC相似，则所截三角形的三个内角与△ABC的三个角对应相等，如果所截三角形与△ABC以∠A为公共角，则以有一个角已经相等，只要另一个角对应相等即可，由此有∠1＝∠B、∠2＝∠C或∠3＝∠B、∠ADF＝∠C两种情况；如果所截三角形与△ABC以∠B为公共角，则同理也有两种情况，所以经过D点共有4种不同直线可截三角形与△ABC相似。

解答：

4。

易错点点拨

易错点1、相似三角形识别不准确。

易错点导析：

两个相似三角形中对应角相等，对应边对应成比例，然而不对应的角和不对应的边之间并没有特别的关系，在应用相似三角形的性质时要特别注意边、角的对应，不能随便得出角相等，边成比例。

例1、如图，△ABC是等边三角形，AB＝3cm，分别延长BC、CB至E、D，使得CE＝2cm，∠EAC＝∠D，求BD的长。

错解：

BD＝2cm。

错解点拨：

由题中条件可知△ABD∽△ECA，其中A点与E点对应，D点与A点对应，B点与C点对应，∴，而不是。

解答：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠EAC＝∠D，∴△ABD∽△ECA，∴，即，解得BD＝4.5cm。

例2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______。

错解：

△DAC。

错解点拨：

由题中条件可知∠EAB＝∠DAC，容易使人设想△AEB与△ACD相似，但是∠E与∠C不一定相等，∴△AEB与△ACD不一定相似，实际上，由于∠E是△AEB与△CEA的公共角，∴应该有△AEB∽△CEA。

正解：

△CEA。

易错点2、考虑问题不全面，思维不谨慎。

例：

如图，Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，则与△ABD相似的三角形有几个？

分别是哪几个？

错解：

△ADC。

错解点拨：

通过图形观察，容易得到△ABD∽△CAD，但是还有△ABD∽△CBA应引起我们的注意。

正解：

与△ABD相似的三角形有2个，分别是△CAD和△CBA。

易错点3、考虑问题时思维无序，方法混乱。

例：

如图，平行四边形ABCD中，C是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似

三角形（不包括全等）共有（）。

A．3对B．4对C．5对D．6对

错解：

B

错解点拨：

在做这类题时，如果不按照一定的方法，思维很容易混乱，造成少解或重复计数，可以先去掉BD，考虑较简单的情况（如图所示），此时有△CFG∽△DFA、△CFG∽△BAG、△BAG∽△DFA三对，添加了BD后，又增加了△ADE∽△GBE和△ABE∽△FDE两对，所以共有5对。

正解：

5。

拓展与创新

1、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：

（1）图中共有个三角形。

（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？

如果有，就把它们一一写出来。

点拨：

（1）中三角形的个数可以按照单个三角形和复合三角形两类来分开数；

（2）中注意到∠DAE＝45°，∴有△ADE∽△BAE、△ADE∽△DAC两对。

解答：

（1）图中有△ABD、△ADE、△AEC、△ABE、△ADC、△ABC、△AFG共7个三角形。

（2）图中共有两对相似三角形，分别是△ADE∽△BAE、△ADE∽△DAC。

2、如图，在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与ΔAOB相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）。

点拨：

要使△BOC∽△AOB，因为∠O是公共角，根据“SAS”，只要即可，由此可得，解得OC＝1，∴C点的横坐标可为±1。

解答：

（1，0）、（-1，0）

3、如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，BP⊥CM于P，N在BC上且BN＝BM，连结PD。

求证：

DP⊥NP。

点拨：

要证DP⊥NP，只要能证明∠BPN＝∠CPD即可，可考虑证明△BPN∽△CPD，利用Rt△BPM∽Rt△CPB，得比例式，等量代换后得，再完成∠PCD＝∠PBN的证明，即可得证。

证明：

∵BP⊥CM于P，∴∠BPM＝∠CPB＝90°，又∵∠CBM＝90°，∴∠PBM＝∠BCP＝90°—∠CBP，∴Rt△BPM∽Rt△CPB，∴，∵BC＝CD，∴，∵∠PCD＝∠PBN＝90°—∠BCP，∴△BPN∽△CPD，∴∠DPC＝∠NBP，∴∠DPN＝∠CPB＝90°，∴DP⊥NP。

学习方法点拨

注意相似三角形的对应顶点及对应边，即两个相似三角形是通过什么样的变换对应在一起的，在学习的初始阶段，可以制作一些模型，帮助形成相应的几何直观。

随堂演练

1、如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽。

第

（1）题第

（2）题第（3）题第（4）题

2、如图，

cm，则cm。

3、如图，在中，AC是BC、DC的比例中项，则∽____。

4、如图，在四边形ABCD中，cm，cm，cm，cm，则CD的长为__________cm。

5、如图，在正方形网格上有6个三角形：

①，②

，③，④，⑤，⑥，其中②-⑥

中与①相似的是。

第（5）题

6、在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝。

7、如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有__________对。

8、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）

A、1对　　B、2对C、3对　　D、4对

9、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）

A.∠B＝∠CB.∠ADC＝∠AEB

C.BE＝CD，AB＝ACD.AD∶AC＝AE∶AB

第（7）题第（8）题第（9）题

10、如图，D是△ABC的边AB上一点，在条件

（1）∠ACD＝∠B，

（2）AC2＝AD·AB，（3）AB边上与点C距离相等的点D有两个，（4）∠B＝∠ACB中，一定使△ABC∽△ACD的个数是（　　）

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

11、如图，E是平行四边形ABCD边BC延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（）。

A．1对B．2对C．3对D．4对

第（10）题第（11）题第（13）题

12、有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（）

A．全等B．相似C．既不全等与也不相似D．无法确定

13、已知：

ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：

ΔEAC∽ΔCBF。

14、如图，在中，，，；在中，，，，试判断这两个三角形是否相似。

第（14）题第（15）题第（16）题

15、如图，在梯形ABCD中，，求AB的长。

16、已知：

如图所示，D在△ABC上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且，

求证：

△AEF∽△ACD。

17、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。

随堂演练答案

1、∠B，∠ACB

2、1.5cm

3、△BAC

4、13.5cm

5、③、④、⑤

6、或

7、6对

8、C。

9、C

10、B

11、C

12、B

13、∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠E＋∠ACE＝45°，又∵∠ECF＝45°，∴

∠E＋∠F＝45°，∴∠ACE＝∠F，同理∠BCF＝∠E，∴ΔEAC∽ΔCBF。

14、∵∠A＝∠E＝47°，且，∴，△ABC∽△EFD。

15、在梯形ABCD中，△OAB∽△OCD，∴，∴，解得AB＝4.5。

16、∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，又∵，∴，∴，∵∠A是公共角，∴△AEF∽△ACD。

17、

（1）△ADE∽△ABC，“AA”

（2）△AED∽△ABC，“AA”（3）△CDE∽△CAB，“AA”（4）△ABE∽△CDE“SAS”（5）不存在相似三角形。

24

2019-2020年九年级数学上册24.2相似三角形的判定

（一）说课稿沪科版

一、说教材

1、教材地位和作用

本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．本节课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，这三个判定定理都需要借助它来完成，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．

2、教育教学目标

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

知识与技能目标：

（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．

（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．

过程与方法目标：

（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．

（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．

情感与态度目标：

（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．

（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．

3、教学重点、难点

依据课程标准，在把握教材的基础上，确立如下的教学重点、难点：

（1）教学重点：

相似三角形判定定理的预备定理的探索

（2）教学难点：

相似三角形判定定理的预备定理的有关证明

突破重难点的方法是充分运用多媒体教学手段，设置问题、合作交流、猜想论证、课后小结直至布置作业，突出主线，层层深入，逐一突破重难点．

二、说教学方法

1、教法分析

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用以探究法的教学模式．设计“实验——观察——讨论”的教学方法，以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解．本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率．

2、学法指导

《数学新课程标准纲要》指出：

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式．为了充分体现《数学课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课课前让学生允分的预习，课堂上主要采用动手实践、自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学全过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解类比、转化、数形结合等数学思想方法．

三、说教学过程

（一）、课前准备

1、全等三角形的基础知识

2、三角形中位线定理及其证明方法

3、平行四边形的判定和性质

4、相似多边形的定义

5、比例的性质

（二）、复习引入

Ⅰ、复习1、相似图形指的是什么？

2、什么叫做相似三角形？

Ⅱ、引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似．图1

记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”．

[注意]：

两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．

[问题]：

将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1与k2有什么关系?

k1＝k2能成立吗?

（三）、探索交流

Ⅰ、［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？

（1）“角”∠BAC＝∠DAE．∵DB∥BC,∴∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C．

（2）“边”要证明对应边的比相等，有哪些方法？

直接运用三角形中位线定理及其逆定理

图2图3

利用全等三角形和平行四边形知识过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．

2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？

由

（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．

过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,易证明△AD1E1∽△ABC．

∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．

[思考]：

上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？

过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．

则四边形D2F2CE2为平行四边形，

且△AD1E1≌D2BF2,（ASA）∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．

易证△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．

Ⅱ、［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：

当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．

图6

Ⅲ、［归纳］定理平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．

这个定理可以证明，这里从略．

（四）、应用迁移

[操作]：

课本第53～54页练习1、3

练习1、如图案，点D在△ABC的边AB上，DB∥BC交AC于点E．

写出所有可能成立的比例式．

练习3、在第1题中，如果＝，AC＝8cm．求AE长．

（五）、整理反思图7

（一）小结内容总结思想归纳

（二）反思

（六）、布置作业

课本第53～54页练习2．

《数学基础训练》第41～42页练习2、3．

思考题：

如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，

那么＝．图8

四、说教学评价：

为了实现教学目标，优化教学过程，提高课堂效率，在教学上采用以探究法的教学模式．组织学生参与“创设情境——探索交流——应用迁移——整理反思”教学全过程，这符合现代教学理论的观点，把素质教育落到实处．另一方面对学生暴露思维过程，先特殊再一般，由边上到延长线，实验、猜想、探索、证明，培养了学生的动手操作能力、直觉思维能力和发散思维能力，

渗透类比、转化的数学思想方法．通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．

从学生课堂上的反映来看，学生参与意识很强，回答问题踊跃，特别是数学成绩一般的学生发言也很积极，很想表现自己，希望得到教师和同学们的认可，看来，如果平时经常多关心他们，多给他们成功的机会，调动他们的学习积极性，那么他们一定会愿意学数学的，并且也一定会学好数学的．从课后反馈情况看，发现有少数较差的学生，虽然能用“预备定理”进行有关判断及计算,但对定理证明过程的难以理解，看来，教师的备课不仅着眼于如何教，还要着眼于引导学生如何学，努力寻找教师与学生的契合点，从而真正把教和学结合起来．

新课程提出，学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课堂设计应由“给出知识”转向“引起活动”得到“经历体验”．在课堂中，教师也积极地创设出有利于学生主动参与的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题．这节课的教学中，教师的角色由过去的那种课堂教学的主宰者转变为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，让学生充当数学学习的主人．