名师整理高中数学名校考前回归基础知识必备全案.docx
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名师整理高中数学名校考前回归基础知识必备全案
考前回归知识必备
*1集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语
集合
概念
一组对象的全体.。
元素特点：
互异性、无序性、确定性。
关系
子集
。
；
个元素集合子集数。
真子集
相等
运算
交集
并集
补集
常用逻辑用语
命题
概念
能够判断真假的语句。
四种
命题
原命题：
若，则
原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。
互为逆否的命题等价。
逆命题：
若，则
否命题：
若，则
逆否命题：
若，则
充要
条件
充分条件
，是的充分条件
若命题对应集合，命题对应集合，则等价于，等价于。
必要条件
，是的必要条件
充要条件
，互为充要条件
逻辑
连接词
或命题
，有一为真即为真，均为假时才为假。
类比集合的并
且命题
，均为真时才为真，有一为假即为假。
类比集合的交
非命题
和为一真一假两个互为对立的命题。
类比集合的补
量词
全称量词
，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
存在量词
，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
*2.复数
复数
概念
虚数单位
规定：
；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。
。
复数
形如的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。
时叫虚数、时叫纯虚数。
复数相等
共轭复数
实部相等，虚部互为相反数。
即，则。
运算
加减法
，。
乘法
，
除法
几何意义
复数复平面内的点向量
向量的模叫做复数的模，
3.平面向量
平面向量
重要概念
向量
既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
向量
长度为，方向任意的向量。
【与任一非零向量共线】
平行向量
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
向量夹角
起点放在一点的两向量所成的角，范围是。
的夹角记为。
投影
，叫做在方向上的投影。
【注意：
投影是数量】
重要法则定理
基本定理
不共线，存在唯一的实数对，使。
若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标。
一般表示
坐标表示（向量坐标上下文理解）
共线条件
（共线存在唯一实数，
垂直条件
。
。
各种运算
加法
运算
法则
的平行四边形法则、三角形法则。
。
算律
，
与加法运算有同样的坐标表示。
减法
运算
法则
的三角形法则。
分解
。
。
数乘
运算
概念
为向量，与方向相同，
与方向相反，。
。
算律
，，
与数乘运算有同样的坐标表示。
数量积运算
概念
。
主要性质
，。
，
算律
，，
。
与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。
*4.算法、推理与证明
算法
逻辑结构
顺序结构
依次执行
程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。
条件结构
根据条件是否成立有不同的流向
循环结构
按照一定条件反复执行某些步骤
基本语句
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
推理与
证明
推理
合情推理
归纳推理
由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。
类比推理
由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。
演绎推理
根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．
数学证明
直接证明
综合法
由已知导向结论的证明方法。
分析法
由结论反推已知的证明方法。
间接证明
主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。
数学
归纳法
数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。
分两步：
首先证明当n取第一个值n0（例如n0=1）时结论正确；然后假设当n=k时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确．
*5.不等式、线性规划
不等式的性质
（1）；
两个实数的顺序关系：
（2）；
（3）；
（4）；
的充要条件是。
（5）；
（6）
一元二次不等式
解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．
基本
不等式
（）
（）；（）；≤≤≤（）；。
二元一次不等式组
二元一次不等式的解集是平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。
二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分。
简单的
线性规划
基本
概念
约束条件
对变量的制约条件。
如果是的一次式，则称线性约束条件
目标函数
求解的最优问题的表达式。
如果是的一次式，则称线性目标函数。
可行解
满足线性约束条件的解叫可行解。
可行域
所有可行解组成的集合叫可行域。
最优解
使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫最优解。
线性规划
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或者最大值的问题。
问题
解法
不含
实际背景
第一步
画出可行域。
注意区域
边界的虚实。
第二步
根据目标函数几何意义确定最优解。
第三步
求出目标函数的最值。
含
实际背景
第一步
设置两个变量，建立约束条件和目标函数。
注意实际问题对变量的限制。
第二步
同不含实际背景的解法步骤。
*6.计数原理与二项式定理
排列组合二项式定理
基本原理
分类加法计数原理
完成一件事有类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．
分步乘法计数原理
完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
排列
定义
从个不同元素中取出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
排列数
公式
，规定．
组合
定义
从个不同元素中，任意取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。
组合数
公式
，．
性质
（）；（）．
二项式定理
定理
（叫做二项式系数）
通项公式
（其中）
系数和
公式
；；
*7.函数﹑基本初等函数I的图像与性质
函数概念及其表示
概念
本质：
定义域内任何一个自变量对应唯一的函数值。
两函数相等只要定义域和对应法则相同即可。
表示方法
解析式法、表格法、图象法。
分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集。
性质
单调性
对定义域内一个区间，，
是增函数，
是减函数。
偶函数在定义域关于坐标原点对称的区间上具有相反的单调性、奇函数在定义域关于坐标原点对称的区间上具有相同的单调性。
奇偶性
对定义域内任意，是偶函数，是奇函数。
偶函数图象关于轴对称、奇函数图象关于坐标原点对称。
周期性
对定义域内任意，存在非零常数，
基本初等函数Ⅰ
指数函数
单调递减，时，时
函数图象过定点
单调递增，时，时
对数函数
在单调递减，时，时
函数图象过定点
在单调递增，时，时
幂函数
在在单调递增，图象过坐标原点
函数图象过定点
在在单调递减
*8.函数与方程﹑函数模型及其应用
函数零点
概念
方程的实数根。
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
存在定理
图象在上连续不断，若，则在内存在零点。
二分法
方法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
步骤
第一步
确定区间，验证，给定精确度。
第二步
求区间的中点；
第三步
计算：
（1）若，则就是函数的零点；
（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．（4）判断是否达到精确度即若，则得到零点近似值（或）；否则重复
（2）～（4）．
函数建模
概念
把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。
解题步骤
阅读审题
分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
数学建模
弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。
解答模型
利用数学方法得出函数模型的数学结果。
解释模型
将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。
*9.导数及其应用
导数及其应用
概念与几何意义
概念
函数在点处的导数。
几何
意义
为曲线在点处的切线斜率，切线方程是。
运算
基本
公式
（为常数）；；
；
（，且）；
（，且）．
；
。
运算
法则
；
，；，．
复合函数求导法则。
研究
函数
性质
单调性
的各个区间为单调递增区间；的区间为单调递减区间。
极值
且在附近左负（正）右正（负）的为极小（大）值点。
最值
上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。
定积分
概念
在区间上是连续的，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（），。
基本
定理
如果是上的连续函数，并且有，则．
性质
（为常数）；
；
．
简单
应用
区间上的连续的曲线，和直线所围成的曲边梯形的面积。
*10.三角函数的图像与性质
三角函数的图象与性质
基本问题
定义
任意角的终边与单位圆交于点时，．
同角三角
函数关系
。
诱导公式
，，，“奇变偶不变，符号看象限”．
三角函数的性质与图象
值域
周期
单调区间
奇偶性
对称中心
对称轴
（）
增
减
奇函数
（）
增
减
偶函数
（）
增
奇函数
无
图象变换
平移变换
上下平移
图象平移得图象，向上，向下。
左右平移
图象平移得图象，向左，向右。
伸缩变换
轴方向
图象各点把横坐标变为原来倍得的图象。
轴方向
图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象。
对称变换
中心对称
图象关于点对称图象的解析式是
轴对称
图象关于直线对称图象的解析式是。
*11.三角恒等变换与解三角形
变换公式
正弦
和差角公式
倍角公式
余弦
正切
三角恒等变换与解三角形
正弦
定理
定理
。
射影定理：
变形
（外接圆半径）。
类型
三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。
余弦
定理
定理
。
变形
等。
类型
两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。
面积
公式
基本
公式
。
导出
公式
（外接圆半径）；（内切圆半径）。
实际
应用
基本思想
把要求解的量归入到可解三角形中。
在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。
常用术语
仰角
视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
俯角
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
方向角
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）。
方位角
某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
*12.等差数列﹑等比数列
数列、等差数列等比数列
一般数列
概念
按照一定的次序排列的一列数。
分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。
通项公式
数列中的项用一个公式表示，
前项和
简单的递推数列解法
累加法
型
解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列----等差数列、等比数列求解。
累乘法
型
转化法
待定
系数法
。
比较系数得出，转化为等比数列。
等差数列
概念
满足（常数），递增、递减、常数数列。
通项
公式
。
。
前项
和公式
为等差数列。
等比数列
概念
满足（的常数），单调性由的正负，的范围确定。
通项
公式
，
前项
和公式
公比不等于时，成等比数列。
*13.数列求和及其数列的简单应用
数列求和及数列的简单应用
常用求和公式
等差数列
，特别。
等比数列
，特别。
自然数
平方和
。
自然数
立方和
。
常用求和方法
公式法
如。
常用裂项方法：
；
；
；
。
分组法
如，。
裂项法
如。
错位
相减法
如。
倒序
相加法
如。
数列模型
等差数列
基本特征是均匀增加或者减少。
等比数列
基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。
一个简单
递推数列
基本特征是指数增长的同时又均匀减少。
如年收入增长率为，每年年底要拿出（常数）作为下年度的开销，即数列满足。
注：
表中均为正整数
*14.空间几何体（其中为半径、为高、为母线等）
空间几何体
三视图
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。
正视图与侧视图高平齐；
侧视图与俯视图宽相等；
俯视图与正视图长对正。
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
直观图
画法
使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。
面积
关系
水平放置的平面图形的面积为，使用斜二测画法画出的直观图的面积为，则。
表面积和体积
表面积
体积
棱柱
表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和。
棱锥
棱台
圆柱
圆锥
圆台
球
*15.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：
空间点、直线、平面的位置关系
基本公理
公理1
。
用途
判断直线在平面内。
公理2
不共线确定平面。
确定平面。
确定两平面的交线。
公理3
两直线平行。
公理4
∥，∥∥
位置关系
线线
共面和异面。
共面为相交和平行。
不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
点线面
；。
线面
。
分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。
面面
∥，。
分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。
平行关系
……
判定定理
性质定理
线面
线线平行线面平行
∥，，∥
线面平行线线平行
面面
线面平行面面平行
面面平行线线平行
垂直关系
线面
线线垂直线面垂直
∥
线线垂直线线平行
面面
线面垂直面面垂直
面面垂直线面垂直
空间角
……
定义
特殊情况
范围
线线角
把两异面直线平移到相交时两相交直线所成的角。
两直线平行时角为
所成角为时称两直线垂直
线面角
平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角。
线面平行或线在平面内时线面角为
线面垂直时线面角为
二面角
在二面角的棱上一定向两个半平面内作垂直棱的垂线，这两条射线所成角。
两个半平面重合时为
两个半平面成为一个平面时为
当二面角为时称两个平面垂直
空间距离
点面距
从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。
线面距和面面距转化为点面距。
线面距
直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。
面面距
两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离。
*16.空间向量与立体几何
空间向量与立体几何
空间向量
重要概念
共面向量
一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。
空间基底
空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底。
基本定理
共线定理
（共线存在唯一实数，。
共面定理
与、（不共线）共面存在实数对，使．
基本定理
不共面，空间任意向量存在唯一的，使。
立体几何中的向量方法
线面标志
方向向量
所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫做直线的方向向量。
法向量
所在直线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。
位置关系
线线平行
方向向量共线。
线面平行
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。
面面平行
判定定理；两个平面的法向量平行。
线线垂直
两直线的方向向量垂直。
线面垂直
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。
面面垂直
判定定理；两个平面的法向量垂直。
空间角
线线角
两直线方向向量为，。
线面角
直线的方向向量为，平面的法向量为，。
二面角
两平面的法向量分别为和，则。
空间距离
点线距
直线的方向向量为，直线上任一点为，点到
直线的距离。
两平行线距离转化为点线距。
点面距
平面的法向量为，平面内任一点为，点
到平面的距离。
线面距、面面距转化为点面距。
*17.直线与圆的方程
直线与圆的方程
直线与方程
概念
倾斜角
轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与轴平行或重合时倾斜角为
斜率
倾斜角为，斜率（），在直线上。
直线方程
点斜式
在轴截距为时。
两点式
在轴截距分别为时。
一般式
（），时斜率，纵截距。
位置关系
平行
当不重合的两条直线和的斜率存在时，；如果不重合直线和的斜率都不存在，那么它们都与轴垂直，则//．
垂直
当两条直线和的斜率存在时，；若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，它们垂直．
交点
两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。
距离公式
点点距
两点之间的距离。
点线距
点到直线的距离。
线线距
到距离．
圆与方程
圆
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。
定点叫做圆心、定长叫做半径。
标准
方程
圆心坐标，半径，
方程。
标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。
一般方程中圆心坐标为，半径。
一般
方程
（其中）
……
……
相交
相切
相离
直线与圆
代数法
方程组有两组解
方程组有一组解
方程组无解
几何法
圆与圆
代数法
方程组有两解
方程组有一组解
方程组无解
几何法
或
或
【注：
标准根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】
18.圆锥曲线的定义、方程与性质
圆锥曲线的定义、方程与性质
定义
标准方程
几何性质
范围
顶点
焦点
对称性
离心率
椭圆
平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
【，】
轴
轴
坐标原点
椭圆中
双曲线中
双曲线
平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．
【】
抛物线
平面内到一个定点和一条定直线（定点不在定直线）距离相等的点的轨迹是抛物线。
【焦点到准线的距离等于，，焦参数】
轴
【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】
轴
注：
1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为，。
2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是。
*19.圆锥曲线的热点问题
曲线方程与
圆锥曲线热点问题
曲线
与
方程
概念
曲线上点的坐标都是方程的解，以的解为坐标的点都在曲线上，则称曲线为方程的曲线、方程为曲线的方程。
求法
直接法
把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。
定义法
已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。
代入法
动点随动点运动，在曲线上，以表示，代入曲线的方程得到动点轨迹方程的方法。
参数法
把动点坐标用参数进行表达的方法。
此时，消掉即得动点轨迹方程。
交规法
轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数即得轨迹方程的方法。
热点问题
定点
含义
含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。
解法
把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点。
定值
含义
不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。
解法
建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。
范围
含义
一个量变化时的变化范围。
解法
建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或者解不等式。
最值
含义
一个量在变化时的最大值和最小值。
解法
建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。
*20.概率
概率
定义
如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即。
事件关系
基本关系
①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件.
类比集合关系。
互斥事件
事件和事件在任何一次实验中不会同时发生
对立事件
事件和事件，在任何一次实验中有且只有一个发生。
性质
基本性质
，，。
互斥事件
事件互斥，则。
对立事件
事件与它的对立事件的概率满足.
古典概型
特征
基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性
计算公式
，基本事件的个数、事件所包含的基本事件个数。
几何概型
特征
基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。
计算公式
*21.离散型随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布
随机变量及其分布列
概念
随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量。
分布列
离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格。
性质
（1）；
（2）。
事件的独立性
条件概率
概念：
事件发生的条件下，事件发生的概率，。
性质：
．互斥，．
独立事件
事件与事件满足，事件与事件相互独立。
次独立
重复试验
每次试验中事件发生的概率为，在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为。
典型
分布
超几何
分布
，，其中，且，且．＂
二项分布
分布列为：
，。
数学期望、方差【时为两点分布】
正态分布
图象称为正态密度曲线，随机变量满足，则
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