上海市初中数学学科学业历考试题难还是不难.docx
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上海市初中数学学科学业历考试题难还是不难
2012年上海市初中数学学科学业考试卷“难”还是“不难”
——为什么符合要求的试卷大家都喊“难”
黄浦区教育学院李建国
2012年上海市初中数学学科学业考试结束以后，很多学生、教师和家长都说今年的试卷比往年要难，更有某网站爆料：
数学考试刚一结束，便有网友在抱怨：
“难爆了”，更有网友打趣道：
中考两天陪考结束，目睹考生离场状态：
语文考完美滋滋，理化考完苦哈哈，英语考完乐呵呵，数学考完泪汪汪。
那么我们客观地来看看问题出在什么地方？
我们先来分析一下试卷。
我们对数学学科学业考试卷进行认真的学习和分析。
我们认为这套试卷出得非常的好，因为它落实了二期课改的理念，深化课程改革，发挥和完善初中学业考试的评价、导向和选拔功能，推动初中毕业与普通高中招生制度改革工作的进程，2012年的数学试卷基本上能依据《课程标准》和《上海市初级中学数学学科教案基本要求》的内容范围与要求进行命题。
试卷能对“数与运算”、“方程与代数”、“图形与几何”“函数与分析”及“数据整理与概率统计”等领域进行系统的考查，较好地体现新课程的理念，坚持以学生为本，既关注所考查的课程目标的全面性，又关注对知识技能目标达成状况及数学思想方法、解决问题能力等课程目标达成状况的考查；既关注对结果性目标达成状况的考查，又关注对一些过程性目标达成状况的考查。
试卷注意了控制题量与阅读量，有效地减轻了学生在考试中的不必要负担；主客观试卷的比例基本合理。
试卷设置了适量的开放性、探索性试卷，突出反映了知识的综合性、过程的探究性、结论的多样性等特征，符合中考命题的改革方向。
试卷大多以课本习题或优秀的中考试卷为素材，并做了实质性的改编，具有较好的导向性。
2012年上海市初中毕业统一学业考试数学卷命题细目表
考试类别：
数学设计人：
李建国设计时间：
2012年6月18日星期一
考试内容题型
单项选择题（16%）
填空题（32%）
解答题（52%）
合计
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
数与运算
实数
4
10
14
14
方程与代数
式
4
4
4
12
34
一次不等式（组）
4
4
一元一次方程
0
一元二次方程
4
4
分式方程
10
10
无理方程
4
4
二元二次方程组
0
图形与几何
三角形
4
8
12
54
四边形
4
4
正多边形
0
相似三角形
4
12
16
圆
4
4
图形运动
4
4
锐角三角比
10
10
向量初步
4
4
函数与分析
函数的有关概念
6
6
36
反比例函数及图像
4
4
一次函数及其图像
4
6
10
二次函数及其图像
4
12
16
数据整理与概率统计
概率初步
4
4
12
统计初步
4
4
8
合计
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
10
10
10
10
12
12
14
150
150
说明：
1.全卷满分150分，考试时间为100分钟。
2.题型包括选择题、填空题、解答题；客观性试卷和非客观性试卷的分数比例控制在48℅：
52℅左右。
3.试卷难度分为容易、适中、难三个等次，分值比例约为8：
1：
1；代数与几何的比例约60℅：
40℅。
试卷能遵循《课程标准》的基本理念，试卷注重考查“四基”（基本知识、基本技能、基本思想方法、基本数学实践活动）和“四能”（计算能力、抽象能力、推理能力、创造能力），突出对主体内容的考查，题目背景公平、立意新颖、表述严谨。
本试卷能以本学段的知识与技能目标为基准，关注对数学学科核心的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本数学实践活动的理解与掌握程度的考查，较好地体现了初中数学学业考试的基本定位和初中数学内容考查的有效性，有利于促进数学课程目标的实现，有利于促进学生的数学思维、数学观念与数学素养的全面提高，有利于发挥评价对数学教案的正确导向作用。
1注重对基础知识、技能的考查
重视“四基”不是要重视考查学生积累了多少“四基”，而是重视考查学生能正确运用“四基”来解决哪些问题；注重考查“四基”，并不求繁、难、偏、怪，而是注重理解、掌握后能活用，注重与能力的同步发展，并由此来引导教案中注意展示知识的发生过程，注重让学生多看、多想、多实验、多探索。
Ⅰ、考查了初中数学学习最基本的实数运算，包括绝对值、分母有理化、负数指数幂、分数指数幂和根式的加减法。
〖第7题〗计算
；
〖第19题〗（本题满分10分）
Ⅱ、考查了代数式的有关概念和运算。
如单项式和单项式的次数概念，有理化因式和因式分解，这些都是同学们必须掌握的基本概念。
〖第1题〗在下列代数式中，次数为3的单项式是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
〖第4题〗在下列各式中，二次根式
的有理化因式是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
〖第8题〗因式分解xy-x=。
Ⅲ、考查了最基本的不等式组和方程的知识和能力。
〖第3题〗不等式组
的解集是（）
（A）x＞-3（B）x＜-3（C）x＞2（D）x＜2
〖第10题〗方程
的根是；
〖第11题〗如果关于x的一元二次方程
（c是常数）没有实数根，那么c的取值范围是；
〖第20题〗（本题满分10分）解方程：
Ⅳ、在概率和统计方面也降低了难度，一改往年统计出在大题的做法，今年都以选择题和填空题的形式出现。
〖第2题〗数据5、7、5、8、6、13、5的中位数是（）
（A）5（B）6（C）7（D）8
〖第13题〗布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机模出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是；
〖第14题〗某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表1
所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可得测试分数在80—90分数段的学生有名，
分数段
60-70
70-80
80-90
90-100
频率
0.2
0,25
0.25
Ⅴ、在函数与分析的试卷都是课本和练习册中的原题，都是最基本的知识和能力。
〖第9题〗已知正比例函数y=kx（k≠0）,点（2，-3）在函数上，则y随x的增大而（增大或减少）；
〖第12题〗将抛物线
向下平移2个单位，所得新的抛物线的表达式是；
Ⅵ、在图形与几何的试卷中也是初中数学课程标准中的基本要求。
〖第5题〗在下列图形中，为中心对称图形的是（）
（A）等腰梯形（B）平行四边形（C）正五边形（D）等腰三角形
〖第6题〗如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的位置关系是（）
（A）外离（B）相切（C）相交（D）内含
〖第15题〗如图1，已知梯形ABCD，AD∥BC,BD=2AD,如果
那么
=（用
表示）
〖第16题〗在⊿ABC中，点D,E分别在AB,AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，⊿ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么边AB的
长为，
〖第21题〗（本题满分10分，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分）
如图4，在Rt△ABC,∠ACB=90°,D是边AB的中点，BE⊥CD,垂足为点E．
已知AC=15，cosA=
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值．
以上19题都是初中数学的基础知识，用到的都是基本技能，题目和题型都没有改变，甚至有的题目数字更简单、计算更简便，考查了数学运算的通性通法，例如第8题因式分解最简单的一种方法：
提取公因式法。
第10题是最简单的无理方程的解法等等。
要说难度大于往年一看就知道不是说这19题。
那么我们再来看看：
2关注数学学习能力的考查
关注数学与现实的联系有助于提高学生学习的积极性，培养应用意识与解决问题的能力，增进对数学的理解与认识。
通过设置应用型、运动变化型、操作型等问题，多角度地考查学生自主学习和解决问题的能力。
同时注意考查方式的创新，更多地关注对知识本身意义的理解和在理解基础上的应用.
〖第17题〗我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时重心距为2，那么当它们的一内角成对顶角时重心距为．
【评析】这是阅读理解型试卷，首先考查学生阅读理解能力，掌握“重心距”的定义，然后用定义来解决问题。
这个题型今年首次出现，由于平时我们教案对学生自主学习重视不够，因此这是学生感到难的原因之一。
其实它用到的知识就是三角形重心的概念。
这种类型的题目在上海市初中数学中心组命题的《上海市初中数学教案质量抽样分析试卷 （2012.5.18）》中已有体现。
如第22题：
22．（本题满分10分，其中第
（1）小题4分，第
（2）小题6分）
我们知道：
任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：
如果+=0，其中、为有理数，为无理数，那么=0且=0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果
，其中、为有理数，那么=，=；
（2）如果
，其中、为有理数，求+2的值．
看来题目没有难，是试卷改变了题型，同学们不适应，也反映了我们的教案重视了学生的“学会”而忽略了学生的“会学”。
〖第18题〗如图3，在Rt⊿ABC,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,点D在AC上，将⊿ADC沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED,那么线段DE的长为．
【评析】数学问题的解决基于学生对问题的理解，本题考查了学生对图形运动――翻折的掌握，并要求能正确画出图形，运用数形结合思想、方程的思想进行求解，是一门有一定区分度的试卷。
但是这是老题型，而且难度没有超过往年。
学生感到困难的原因是不能正确画出图形，也就是实际操作能力欠佳，另外几何计算中应用方程的思想来解决的意识还不强。
这折射出近几年的教案还没有真正落实“以学定教”要以学生学为主的教案现状。
本题和新教材实施后三年的〖第18题〗的类型、要求和难度都相当。
（2009年）18．在
中，
为边
上的点，联结
（如图3所示）．如果将
沿直线
翻折后，点
恰好落在边
的中点处，那么点
到
的距离是．
（2010年）18.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图4所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.
（2011年）18．Rt△中，已知∠＝90°，∠＝50°，点在边上，＝2（图4）．把△绕着点逆时针旋转（0＜＜180）度后，如果点恰好落在初始Rt△的边上，那么＝_________．
③加强对主要数学思想方法的考查
数学思想方法全方位地渗透在数学教案与学习的过程中，它是数学中高度抽象和高度概括的内容，试卷有效地突出了对数形结合、归纳概括、化归化转、分类讨论、函数与方程、图形运动、特殊与一般等主要数学思想方法的考查。
我们来看看2012年中考数学拉分的四大版块，看看是否加大了难度，这是学生叫困难的试卷。
1、联系实际问题
求解实际问题的思维过程可用框图表示如下：
由图可见，求解实际问题，其一般程序可分以下几步。
1.审题仔细阅读题目，弄清题意，理顺关系。
读题时要注意对语言去粗取精，提炼加工，抓住关键的字词句。
2.建模选取基本变量，将文字语言抽象概括成数学语言，依据有关定义、公理和数学知识，建立数学模型。
3.解模根据数学知识和数学方法，求解数学模型，得到数学问题的结果。
4.检验（回归）把数学结果回归到实际问题中去，通过分析、判断、验证得到实际问题的结果，回归时要利用实际意义的条件进行检验取舍，找出正确结果。
初中阶段常用的数学模型，由所建立的模型来分主要归类为列方程（组）解应用题；列不等式（组）解应用题；建立函数的解读式、图像、图表解应用题；利用统计的统计量（平均数、中位数、众数、方差）和一表五图（统计表、扇形图、折线图、条形图、频数直方图、频率直方图）解应用题；建立直角三角形用锐角三角比解应用题；建立几何模型、三角形模型、直角坐标系模型（实际上就是线性规划）解应用题等几种，涵盖了大部分中学数学模型类题型。
〖第22题〗（本题满分10分，第
（1）小题满分5分，第
（2）小题满分5分）
某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元）与生产数量（吨）的函数关系式如图5所示．
（1）求y关于x的函数解读式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
（注：
总成本=每吨的成本×生产数量）
（图5）
【评析】今年的应用题一改前三年都是利用统计的统计量（平均数、中位数、众数、方差）和一表五图（统计表、扇形图、折线图、条形图、频数直方图、频率直方图）解应用题。
而是建立函数的解读式、图像来解应用题。
这类题目虽然在大题里没有出现过，但在填空题是有展现的，如2010年的第17题，就是同类型的试卷：
（2010年）17.一辆汽车在行驶过程中，路程y（千M）与时间x（小时）之间的函数关系如图3所示当时0≤x≤1，y关于x的函数解读式为y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解读式为．
那么同学们为什么感到困难了呢？
还是不会阅读理解，尤其对注：
总成本=每吨的成本×生产数量，不会把文字语言转化为符号语言，在这方面过去上课老师包办的太多了。
其实总成本=每吨的成本×生产数量，就是xy=280，把他和函数解读式联立就能解出x的值。
看来我们教案中要抓住牛鼻子（建立数学模型）在各种类型的应用题课型中要让学生实践，而不是教师一味的讲解和灌输。
这样学生临阵就不会束手无策。
2、几何论证题
几何论证题突出了对几何基本图形掌握情况的考查。
试卷中出现的几何图形全是学生平时学习中常见的基本图形。
添辅助线也体现出常规要求。
几何证明分层设置，立足于常规思路掌握情况的考查。
重点考查学生解决问题的方法和几何语言表达的逻辑性、准确性。
〖第23题〗（本题满分12分，第
（1）小题满分5分，第
（2）小题满分7分）
已知，如图6，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G．
（1）求证：
BE=DF；
（2）当
时，求证：
四边形BEFG是平行四边形．
（图6）
【评析】这是学生叫难的一门几何论证题，第
（1）小题是利用两角一边证明△ABE≌△ADF；第
（2）小题有些难度，但题目的条件已经提示了当
时，就知道用比例线段来证明直线平行。
我们可以把菱形边长设为,，设线段BE=DF=,即
，推出GF∥BE，再证明∠DBC=∠DGT=∠GDF,从而推出GF=b，所以四边形BEFG是平行四边形．平心而论不要求添加辅助线的几何证明题不能算难题吧。
看来几何论证的教案要加强，要让学生感兴趣去探索，要重视基本图形的储层和分析，要重视表达，重视用小写的字母代表线段，简化线段的表述方法，清除对思维的干扰。
3、函数型综合题
在近两年的中考中，函数综合题占了一定的比重，他也是高初中衔接的主要内容，特别是在最后拉分的30分中更是显得尤为重要。
那么函数综合题到底在中考中以哪些形式出现呢？
是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解读式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解读式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解读法）。
此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。
今年的函数型综合题也没有改变。
〖第24题〗（本题满分12分，第
（1）小题满分3分，第
（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）
如图7，在平面直角坐标系xoy中，二次函数
的图像经过点A（4,0）、B（-1,0），与y轴交于点C，
点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=
EF⊥OD,垂足为点F．
（1）求这个二次函数的解读式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
（图7）
【评析】第
（1）小题已知两点求二次函数的解读式，用待定系数法，同学们都没有问题。
第
（2）小题其实就是求点E的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解读法），这里用几何法一目了然。
∵Rt△AOD∽Rt△DFE,，
又AO=4，OD=t，∴DF=2，EF=
，得OF=t-2,即E（-
t-2）．第（3）小题也是求满足∠ECA=∠OAC条件的点的坐标C（0，t），即求出t的值．同学们基本卡在这一小题。
其实延长CE交x轴与点H，即构成等腰三角形ACH。
接下来添腰的高或添底的高都能排出含有t的方程，求出t的值。
学生的问题出在不能画出较标准的图形，而且对重叠的图形中的基本图形缺少分析。
要说难这一小题有些难度，要学生用几何法和代数法同时分析。
平心而论它也没有超出基本要求。
辅助线只要添两条，用到的知识就是等腰三角形和直角三角形的勾股定理，以及相似和全等的知识。
4、几何型综合题
是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解读式（即在没有求出之前不知道函数解读式的形式是什么）和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：
在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解读式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x或者y之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教案要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解读式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。
今年的第25题就是按照这个要求命题的。
〖第25题〗（本题满分14分，第
（1）小题满分3分，第
（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）
如图8，在半径长为2的扇形AOB中，∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E．
（1）
当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？
如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解读式，并写出它的定义域．
【评析】本题以动点为载体，设问层层递进，清晰自然，难度恰当，使得不同水平的学生都有机会表达自己对问题的理解。
试卷立足考查图形基本性质与学生基本能力，包含了图形认识、几何计算、合情推理及存在性问题的探索。
对培养学生阅读理解能力、数学思维的深刻性和创新意识起到良好作用，具有较好的区分度。
用了初中数学最基本的圆的垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理、中位线定理和求未知函数的解读式和定义域的基本方法。
把动和不动有机的结合起来了。
第
（1）小题用垂径定理和勾股定理就能解出OD的长。
第
（2）小题，只要连接AB，利用中位线定理，即可知道边DE是不变的，长度始终为AB的一半即为
。
第（3）小题也只要延长OD,延长EC交于点H，构成含有45°的等腰直角三角形，可知OD=
，DH=DC=x,作等腰直角三角形OEH斜边上的高，得高h=
问题就迎刃而解了。
本题求函数解读式和定义域都是意料之中的题型。
只不过学生在前面解题时间没有把握好，再加上第24题的第3小题耽搁了时间和扰乱了心态，对第25题造成了干扰，影响了答题。
在保证绝大部分学生能顺利毕业的基础上，为了兼顾考试的选拔功能，试卷也关注了学生数学学习能力的考查。
在对已学知识掌握的深刻程度、学习与应用新知识能力、深入探究问题等关系到学生后续数学学习能力方面，试卷精心编制了区分度好、甄别功能强的试卷。
本题的设置明显提高了问题的“深刻程度”无需依赖死记硬背这些概念，对学生学习能力的考查具有更高的价值。
对数学教案起到了引领的作用。
通过以上的分析我们需要关注以下问
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