8、600；9、1300；10、偶数。
二、选择题：
CBCBCB
三、解答题：
1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）
2、可以，设延伸部分为a，则长为2+a，3+a，5+a的三条线段中，5+a最长，
3
∵（2+a）+（3+a）-（5+a）=a>0
∴只要a>0，长为2+a，3+a，5+a的三条线段可以组成三角形
设长为5+a的线段所对的角为a，则a为△ABC的最大角
又由（2+a）2+（3+a）2-（5+a）2=a2-12
当a-12=0，即a=2时，△ABC为直角三角形。
3、30
4、
（1）a；
（2）2a或2aaa；（3）＜OP＜2a；（4）0＜OP＜或OP＞2a222
2.全等三角形
知识考点：
掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。
精典例题：
【例1】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。
求证：
CE＝CD。
分析：
作AF⊥CD的延长线（证明略）
评注：
寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：
①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。
AF
D2
C
EBPAECBDBEC
例1图例2图问题一图
【例2】如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：
AB＝AC＋CD。
分析：
采用截长补短法，延长AC至E，使AE＝AB，连结DE；也可在AB上截取AE＝AC，再证明EB＝CD（证明略）。
探索与创新：
【问题一】阅读下题：
如图，P是△ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EB＝EC，∠1＝∠2，求证：
AP⊥BC。
证明：
在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2
∴△ABE≌△ACE（第一步）
∴AB＝AC，∠3＝∠4（第二步）
∴AP⊥BC（等腰三角形三线合一）
上面的证明过程是否正确？
若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。
略解：
不正确，错在第一步。
正确证法为：
4
∵BE＝CE
∴∠EBC＝∠ECB
又∵∠1＝∠2
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴∠3＝∠4
又∵AB＝AC
∴AP⊥BC
评注：
本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。
阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。
【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？
请同学们参照下面的方案
（1）导出方案
（2）（3）（4）。
解：
设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案
（1）：
若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。
方案
（2）：
若这个角是直角，则这两个三角形全等。
方案（3）：
若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。
评注：
这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。
如方案（4）：
若此角为钝角，则这两个三角形全等。
（5）：
若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。
能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。
本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，则∠A＝度。
2、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么图中有全等三角形对。
3、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。
A
DAEH
DCBFCCDBB
第4题图第3题图第2题图
4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：
，使△AEH≌△CEB。
5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段（不包括AB＝CD和AD＝BC）。
6、如图，∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF。
给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。
其中正确的结论是（填序号）。
二、选择题：
1、如图，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，则下列结论中正确的是（）
A、△ADF≌△AEGB、△ABE≌△ACD
C、△BMF≌△CNGD、△ADC≌△ABE
5
E
D
AFG
E
E
A
O
D
CA
B
C
2
F
B
B
C
填空第5题图
填空第6题图
选择第1题图
2、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（）A、600B、700C、750D、850
3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A、相等B、不相等C、互余D、互补或相等
A
P
BCD
选择第2题图选择第4题图
4、如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，
AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）
A、m+n＞b+cB、m+n＜b+c
C、m+n＝b+cD、无法确定三、解答题：
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。
求证：
△ABE和△BDC是等腰三角形。
DA
BC
F
D
B
C
E
解答题第1题图
解答题第2题图
2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点。
（1）求证：
AF⊥CD；
（2）在你连结BE后，还能得出什么新结论？
请再写出两个。
3、
（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求证：
△ABC≌△DEF；
（2）上问中，若将条件改为AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，结论是否还成立，为什么？
4、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。
问：
（1）△ABP与△PCD是否全等？
请说明理由。
（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？
请说明理由。
6
CFB
CAED
解答题第4题图
解答题第5题图
5、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD。
（1）根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系？
请你对结论予以证明。
（2）若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。
参考答案
一、填空题：
1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；
5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③
二、选择题：
BBDA
三、解答题：
1、略；
2、
（1）略；
（2）AF⊥BE，AF平分BE等；
3、
（1）略；
（2）不成立，举一反例即能说明；
4、
（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。
（2）面积相等，因为OP为∠MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD（即底边也相等）从而△ABP与△PCD的面积相等。
5、
（1）△ACE和△BDF的对应角相等；
（2）略
3.等腰三角形
知识考点：
灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。
精典例题：
【例1】等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（）
A、300B、600C、1500D、300或1500
分析：
如图所示，在等腰△ABC中，CD为腰AB上的高，CD∶AB＝1∶2，∵AC＝AB，∴CD∶AC＝1∶2，∴在Rt△ABC中有答案D。
7
A
D
BCBAEDCFCB
例1图例2图
【例2】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝900，D是AC上一点，AE⊥BD的延长线于E，又AE＝1BD，求证：
BD是∠ABC的角平分线。
2
分析：
∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三角形（证明略）。
探索与创新：
【问题一】如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E、F点，连结EF与AD相交于G，试问：
你能确定∠AED和∠AGF的大小关系吗？
分析与结论：
依题意有△ADE≌△FDC，△EDF为等腰直角三角形，又∵∠AED＝∠AEF＋∠DEG，∠AGF＝∠AEF＋∠EAG，事实上∠EAG与∠DEG都等于450，故∠AED＝∠AGF。
评注：
加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代数式表示∠AED、∠AGF，从而比较其大小是本题的解题关键。
DCAB
问题一图
问题二图
【问题二】在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。
例如正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD。
请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。
略解：
（1）AB＝AD＝DB＝DC＝BD，AC
（2）AB＝AC＝AD＝BC，BD＝DC
（3）AB＝AC，AO＝BO＝CO＝DO
（4）AB＝BC＝AC，AO＝BO＝CO
（5）AB＝AD＝CD，AC＝BC＝BD
A
A
BD
B
CCDBCBOCBD
（1）
（2）（3）（4）（5）
评注：
本例突破了常规作图题的思维形式，是一道很好的开放型试题，要求学生既要善于动脑，又要善于动手。
跟踪训练：
一、填空题：
8
1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，则∠C＝。
3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为。
4、在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为5、如图，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为
A
P
EB
C
ED
HC
G
BCBD
第5题图
第6题图
第7题图
6、如图，D为等边△ABC①∠1＝
1
（∠2＋∠3）②∠1＝2（∠3－∠2）211
③∠4＝（∠3－∠2）④∠4＝∠1
22
其中有两个式子是正确的，它们是和。
二、选择题：
1、等腰三角形中一）
A、500B、650C、1300D、500或650
2、如图，D为等边△ABC的AC边上一点，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，则△ADE是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、不等边三角形D、等边三角形
A
E
B
C
B
D
PA
第2题图第3题图
00
3、如图，在△ABC中，∠ABC＝60，∠ACB＝45，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是（）
A、2B、3C、4D、5
4、如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长是（）
A、30B、33C、36D、39
9
D
BMCECA第4题图第5题图
5、如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝11DC＝DE，则∠D＝（）22
A、300B、450C、600D、67.50
三、解答题：
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。
求证：
△DEF是等腰三角形。
2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。
请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
3、如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：
AC＝2BD。
A
E
CBC
第1题图
第3题图
4、在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？
证明你的结论。
参考答案
一、填空题：
1、300；2、720；3、；4、360；5、360；6、300；7、①③
二、选择题：
DDDAC
三、解答题：
1、证△DBE≌△ECF
2、提示：
分两种情况讨论。
不妨设AB＝10米，作CD⊥AB于D，则CD＝6米。
（1）当AB为底边时，AC＝BC＝61米；
（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时，AB＝AC＝10米，BC＝2米；
（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB＝BC＝10米，AC＝6米；
3、提示：
延长AD交BC于点M。
10
4、△ADE为等边三角形。
4.直角三角形、勾股定理、面积
知识考点：
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。
它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？
分析：
通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对例2图
【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。
分析：
本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。
这是解本题的关键。
答案：
∠ACB＝750（提示：
过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）
探索与创新：
【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？
如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：
从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：
作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。
所以这所学校会受到噪声的影响。
以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：
ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为：
t=1201=（小时）＝24（秒）18000150
评注：
本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。
11
A
MQNC问题一图12问题二图
【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围12
D
AAA
12
5
CDBCBDBC
第2题图第3题图第5题图
3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝。
4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则SDABC＝。
5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为。
6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则SDABC＝。
7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝。
A
F
E
BCBDAEBADQDC第8题图第7题图第9题图
8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。
已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝。
9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是。
二、选择题：
1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：
①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（）
A、全部正确B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确
2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（）
A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定
3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（）
A、大于900B、小于900C、等于900D、不能确定
AR
BPSCOBC
第1题图13第4题图
4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝3，OA＝OC＝6，则∠OAB的度数为（）
A、100B、150C、200D、250
三、解答题：
1、阅读下面的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足ac-bc=a22224
-b4，试判断△ABC的形状。
解：
∵ac-bc=a-b„„①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）
升级会员 