北京中考圆汇总.doc

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2015北京一模圆

1.（2015，通州，一模）25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF.

B

（1）求证：

AF是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长.

2.（2015，西城，一模）25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O

交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l

与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接

AD，DE．

（1）依题意补全图形；

（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等

的角，并加以证明．

3.（2015，朝阳，一模）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O

切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.

（1）求证：

∠BAD=∠DAE；

（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.

4.（2015，东城，一模）F

25.如图,在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．

（1）求证：

;

（2）已知：

，⊙的半径为，求的长．

5.（2015，房山，一模）25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E.过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.

（1）求证：

GE是⊙O的切线；

（2）若OF：

OB=1：

3，⊙O的半径为3，求AG的长．

6.（2015，丰台，一模）25．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，联结PD.

（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，，

求EG的长.

7.（2015，海淀，一模）25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.

（1）求证：

OD⊥CE；

（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．

8.（2015，怀柔，一模）25.如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，D是⊙O的

切线CN上一点，BD交AC于点E，且BA=BD．

（1）求证：

∠ACD=45°；

（2）若OB=2，求DC的长．

9.（2015，门头沟，一模）25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．

（1）求证：

FE⊥AB；

（2）当AE=6，sin∠CFD=时，求EB的长．

10.（2015，平谷，一模）25．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，∠BAC=2∠CBE，交AC于点E，交⊙O于点F，连接AF．

（1）求证：

∠CBE=∠CAF；

（2）过点E作EG⊥BC于点G，若∠C=45°，CG=1，

求⊙O的半径．

11.（2015，石景山，一模）25．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，

是中点，过点作的垂线交的延长线于点．过点作⊙的切线交于点．

（1）求证：

；

（2）如果，，求的长．

12.（2015，延庆，一模）25.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．[w

（1）求证：

∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使CD=BC，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为2，ED=1，求AC的长．

13.（2015，燕山，一模）25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．

（1）求证：

∠CDE＝90°；

（2）若AB＝13，sin∠C＝，求CE的长．

1.（2015，通州，一模）25．

（1）证明：

连接OC，………..（1分）

∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°∵OF∥BC∴∠AEO=90°，

∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠COF=∠AOF，∴△OCF≌△OAF

∴∠OAF=∠OCF

∵PC是切线∴∠OCF=90°，……………………..（2分）

∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线……………………..（3分）

（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，FA⊥OA，∴OF===5

∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AF·OA=OF·EA，………………………..（4分）

∴3×4=5×EA，解得AE=，AC=2AE=………………………..（5分）

2.（2015，西城，一模）25．解：

（1）依题意，补全图形如图4．………………1分

（2）．……………………………………2分

证明：

如图5，连接BC，CD．

∵直线l与直线MA关于直线MD对称，

∴．………………………3分

∵AB为⊙O的直径，

∴，即．

又∵，

图5

∵，，

∴MC=ME．

又∵C，E两点分别在直线MA与直线l上，

可得C，E两点关于直线MD对称．

∴．…………………4分

又∵，

∴．………………5分

3.（2015，朝阳，一模）25.解：

（1）连接OD，

∵ED为⊙O的切线，

∴OD⊥ED．………………………………………1分

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.………………………………………2分

∵BC∥ED,

∴∠ACB=∠E=∠EDO.

∴AE∥OD.

∴∠DAE=∠ADO.

∵OA=OD,

∴∠BAD=∠ADO.

∴∠BAD=∠DAE.………………………………3分

（2）连接BD，∴∠ADB=90°.

∵AB=6，AD=5，

∴BD=.……………………4分

∵∠BAD=∠DAE=∠CBD，∴tan∠CBD=tan∠BAD=.

在Rt△BDF中，∴DF=BD·tan∠CBD=.……………………5分

4.（2015，东城，一模）25.

（1）证明：

连结，如图.

∵为⊙的切线，为半径，

∴.

∴，即.

∵，

∴.

∴.

而，

∴.∴.∵，

∴.…………2分

（2）解：

∵，⊙的半径为，

∴.

∵，

∴.

在中，,设，则，.

∵，∴，解得.

∴，.

∵为⊙的切线，为半径，为⊙的切线，

∴，.∴.

在中,设，则.

∵.∴，解得，.

∴.-------------------5分

5.（2015，房山，一模）25．

（1）

证明：

连接OD

∵OC=OD，∴∠C=∠ODC

∵OC⊥AB∴∠COF=90°………………1分

∴∠OCD+∠CFO=90°∴∠ODC+∠CFO=90°

∵∠EFD=∠FDE∠EFD=∠CDE

∴∠CDO+∠CDE=90°

∴DE为⊙O的切线………………………………2分

（2）解：

∵OF：

OB=1：

3，⊙O的半径为3，

∴OF=1，∵∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4……………………3分

∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，………………………4分

∴，即，∴AG=6．………………5分

6.（2015，丰台，一模）5

25．

（1）PD与⊙相切于点．.…….1分

证明：

联结

∵在⊙中，，于点，

∴．又∵，∴≌．

∴．

又∵切⊙于点，为⊙半径，

∴．.…….2分

∴．∴．∴于点．

∴PD与⊙相切于点．.…….3分

（2）作于点．

∵，于点，∴,．∴．

∵，∴Rt△OCE中，．

∵，∴．∴，．.…….4分

又∵，，∴．

∵,，∴≌．∴,．

∵在Rt△OCE中，，设，∴．

∴,．∴．∴,．

又∵，∴∥．

∴∽．∴，即．

∴．.…….5分

7.（2015，海淀，一模）25.（本小题满分5分）

（1）证明：

⊙O与边AB相切于点E，且CE为⊙O的直径．

CE⊥AB．AB=AC，AD⊥BC，

．………………………………1分

又OE=OC，OD∥EB．

OD⊥CE．………………………………2分

（2）解：

连接EF．

CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，

∠EFC=90°．CE⊥AB，

∠BEC=90°．

=90°．

．

．

．又DF=1，BD=DC=3，

BF=2，FC=4．．……………3分

∵∠EFC=90°，∴∠BFE=90°．

由勾股定理，得．……………………4分

EF∥AD，．

．……………………………………………………5分

8.（2015，怀柔，一模）25.

（1）证明：

∵C是弧AB的中点，∴弧AC=弧BC,∴AC=BC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°,∴∠BAC=∠CBA=45°,

连接OC,∵OC=OA,∴∠AC0=45°.

∵CN是⊙O切线，∴∠OCD=90°,

∴∠ACD=45°.………………………………2分.

（2）解：

作BH⊥DC于H点，…………………………3分.

∵∠ACD=45°,∴∠DCB=135°,∴∠BCH=45°,

∵OB=2，∴BA=BD=4,AC=BC=．

∵BC=,∴BH=CH=2，

设DC=x,在Rt△DBH中，

利用勾股定理：

，………4分.

解得：

x=（舍负的），∴x=，

∴DC的长为：

……………………………5分.

9（2015，门头沟，一模）25．（本小题满分5分）

（1）证明：

连接OD.（如图）

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC.

∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.

∴∠ODC=∠B.

∴OD∥AB.…………………………………1分

∴∠ODF=∠AEF.∵EF与⊙O相切.∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°.

∴∠AEF=∠ODF=90°.

∴EF⊥AB.…………………………2分

（2）解：

由

（1）知：

OD∥AB，OD⊥EF.

在Rt△AEF中，sin∠CFD==，AE=6.

∴AF=10.…………………………………………………………………3分

∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴.

∴.解得r=.………4分

∴AB=AC=2r=.

∴EB=AB－AE=－6=.……………………………………………5分

10.（2015，平谷，一模）25．

（1）证明：

∵BC切⊙O于点B，

∴∠ABF+∠CBE=90°．…………………………………………………………1

∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．∴∠ABF+∠BAF=90°．

∴∠CBE=∠BAF．

∵∠BAC=2∠CBE，∴∠BAF+∠CAF=2∠CBE．

即∠CBE=∠CAF．………………………………………………………………2

（2）∵EG⊥BC于点G，∴∠CBE+∠BEG=90°．

∵∠CAF+∠AEF=90°，

∴∠BEG=∠AEF．

连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．

∴∠BDE=∠BGE=90°．

∵BE=BE

∴△BED≌△BEG．

∴ED=EG．………………………………………………………………………3

∵∠C=∠CEG=45°，∴EG=CG=1，CE=．

∴DE=1．∴CD=1+．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，

∴∠BAC=45°．∴AD=BD=CD=1+．

∴AB=2+……………………………………………………………………4

∴⊙O的半径为．……………………………………………………5

11.（2015，石景山，一模）25．

（1）证明：

连结．

∵为切线，∴⊥.

∴°.

∵，∴°．

又∵=，∴.

∴.∴.…………..2分

（2）∵，，

设，，可得．

∵为中点，∴．

连结交于点．

∵为直径，∴°．

∴．

∵，

∴，可得………………...3分

∵°，∴．

∵，∴．

∴．………….…..4分

∵，∴．

∴，．∴．…………………….…….5分

12.（2015，延庆，一模）25.证明：

（1）证明：

连接OC.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.

∴∠ABC＋∠BAC=90°.[来源:

学科网]

∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM.

∴∠ACM＋∠ACO=90°.∵CO=AO，

∴∠BAC=∠ACO.∴∠ACM=∠ABC.

（2）解：

∵BC=CD，OB=OA,

∴OC∥AD.

又∵OC⊥CE,

∴CE⊥AD.∵∠ACD=∠ACB=90°,

∴∠AEC=∠ACD.∴ΔADC∽ΔACE.

∴.而⊙O的半径为2,

∴AD=4.∴.

∴AC=2.

13.（2015，燕山，一模）25．

（1）证明：

如图，连接OD，

∵DE切⊙O于D，OD是⊙O的半径，

∴∠EDO＝90°．…………1分

∵OD＝OB，∴∠ABC＝∠ODB．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴DO∥AC，∴∠CED＝∠EDO＝90°．…………2分

（2）如图，连接AD，

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．………3分

在Rt△CED和Rt△BDA中，

∠C＝∠ABC，∠DEC＝∠ADB＝90°，

∴△CED∽△BDA，

∴＝，∴．

∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，

∴sin∠ABC＝＝sin∠C＝，

∴AD＝AB＝5，∴CD＝BD＝＝12．

∴＝．……………5分

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