命题与证明的易错题汇编附答案.docx

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命题与证明的易错题汇编附答案

命题与证明的易错题汇编附答案

一、选择题

1．下列命题中，是真命题的是（）

A．同位角相等B．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补

C．同旁内角相等，两直线平行D．平行于同一直线的两直线互相平行

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．

【详解】

A、两直线平行，同位角相等，是假命题；

B、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；

C、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；

D、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；

故选：

D．

【点睛】

此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

2．下列命题中:

①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若

与

成轴对称，则

一定与

全等；④有一个角是

度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解:

等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确；

等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确:

若

与

成轴对称，则

一定与

全等；正确；

有一个角是

度的等腰三角形是等边三角形；不正确；

等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．

正确命题为:

个；

故选：

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．

3．下列命题是假命题的是（　　）

A．同角（或等角）的余角相等

B．三角形的任意两边之和大于第三边

C．三角形的内角和为180°

D．两直线平行，同旁内角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

利用余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A、同角（或等角）的余角相等，正确，是真命题；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题；

C、三角形的内角和为180°，正确，是真命题；

D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，

故选D．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质，难度不大．

4．下列命题是真命题的是（　　）

A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0

B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1

C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0

D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．

【详解】

A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；

B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；

C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；

D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；

故选A．

【点睛】

此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．

5．下列各命题的逆命题是真命题的是

A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等

C．相等的角是同位角D．等边三角形的三个内角都相等

【答案】D

【解析】

【分析】

分别写出四个命题的逆命题：

相等的角为对顶角；对应角相等的两三角形全等；同位角相等；三个角都相等的三角形为等边三角形；然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断；根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断；根据同位角的性质对第三个进行判断；根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断．

【详解】

A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；

B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；

C、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”，此逆命题为假命题，所以C选项错误；

D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D选项正确．

故选D.

【点睛】

本题考查了命题与定理：

判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．

6．下列命题中是真命题的是（）

A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角

C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．

【详解】

A.多边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3），故该选项是假命题，

B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，

C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，

D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，

故选：

C．

【点睛】

本题考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．

7．下列命题是真命题的是（）

A．方程

的二次项系数为3，一次项系数为-2

B．四个角都是直角的两个四边形一定相似

C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖

D．对角线相等的四边形是矩形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．

【详解】

A、正确．

B、错误，对应边不一定成比例．

C、错误，不一定中奖．

D、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.

故选：

A．

【点睛】

此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．

8．已知命题：

等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（　　）

A．该命题为假命题B．该命题为真命题

C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题

【答案】B

【解析】分析：

首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．

详解：

等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；

其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，

故选：

B．

点睛：

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．

9．下列命题是真命题的是（）

A．若两个数的平方相等，则这两个数相等B．同位角相等

C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行D．相等的角是对顶角

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平方的意义，同位角的概念，平行线的判定，对顶角的概念逐一进行判断即可得．

【详解】

A．若两个数的平方相等，则这两个数不一定相等，如22=（-2）2，但2≠-2，故A选项错误；

B．只有两直线平行的情况下，才有同位角相等，故B选项错误；

C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，真命题，符合题意；

D．相等的角不一定是对顶角，如图，∠1=∠2，但这两个角不符合对顶角的概念，故D选项错误，

故选C．

【点睛】

本题考查了命题真假的判定，涉及了乘方、同位角、对顶角、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．

10．用反证法证明命题：

“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）

A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角

C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角

【答案】B

【解析】

【分析】

反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.

【详解】

解：

∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，

∴应假设：

在三角形中，至少有两个内角是直角.

故选：

B.

【点睛】

此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.

11．下列命题是假命题的是（）

A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16

C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限

D．若关于x的一元一次不等式组

无解，则m的取值范围是

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；

B.如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；

C.将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；

D.若关于x的一元一次不等式组

无解，则m的取值范围是

，正确，是真命题；

故答案为：

B

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．

12．下列命题中，假命题是

A．同旁内角互补，两直线平行

B．如果

，则

C．对应角相等的两个三角形全等

D．两边及夹角对应相等的两个三角形全等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行线的判定、等式的性质、三角形的全等的判定判断即可．

【详解】

、同旁内角互补，两直线平行，是真命题；

、如果

，则

，是真命题；

、对应角相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；

、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，是真命题；

故选：

．

【点睛】

此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果

那么

”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

13．下列命题是假命题的是（）

A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

B．等边三角形有3条对称轴

C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．

【详解】

A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

B．正确．等边三角形有3条对称轴；

C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；

D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

故选：

C．

【点睛】

本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．

14．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）

A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角

B．四边形中所有内角都是锐角

C．四边形的每一个内角都是钝角或直角

D．四边形中所有内角都是直角

【答案】B

【解析】

【分析】

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法.

【详解】

假设命题中的结论不成立，即命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”不成立，即“四边形中的四个角都不是钝角或直角”，即“四边形中的四个角都是锐角”故选B.

【点睛】

本题考查反证法，要注意命题“至少有一个是”不成立，对应的命题应为“都不是”.

15．下列命题的逆命题是真命题的是（）

A．直角都相等B．钝角都小于180°C．如果x2+y2=0，那么x=y=0D．对顶角相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.

【详解】

相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，

小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，

如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，

相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，

故选C

【点睛】

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

16．已知：

在

中，

，求证：

若用反证法来证明这个结论，可以假设

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

反证法的步骤:

1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.

【详解】

已知：

在

中，

，求证：

若用反证法来证明这个结论，可以假设

由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以

故选C

【点睛】

本题考核知识点：

反证法.解题关键点：

理解反证法的一般步骤.

17．下列说法正确的是（　　）

①函数

中自变量

的取值范围是

．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．

④同旁内角互补是真命题．

⑤关于

的一元二次方程

有两个不相等的实数根．

A．①②③B．①④⑤C．②④D．③⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式定义，等腰三角形性质，正多边形内角和外角关系，平行线性质，根判别式定义进行分析即可.

【详解】

①函数

中自变量

的取值范围是

，故错误．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．

④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．

⑤关于

的一元二次方程

有两个不相等的实数根，正确，

故选D．

【点睛】

此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：

二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤;理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．

18．下列四个命题：

①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（  ）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】

解：

①符合对顶角的性质，故本小题正确；

②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；

③符合平行线的判定定理，故本小题正确；

④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．

故选B．

19．下列命题中哪一个是假命题（　　）

A．8的立方根是2

B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大

C．菱形的对角线相等且平分

D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等

【答案】C

【解析】

【分析】

利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A、8的立方根是2，正确，是真命题；

B、在函数

的图象中，y随x增大而增大，正确，是真命题；

C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；

D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，

故选C．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．

20．下列四个命题：

①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是（　　）

A．①②③④B．①③④C．①③D．①

【答案】C

【解析】

【分析】

首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．

【详解】

①两直线平行，内错角相等；其逆命题：

内错角相等，两直线平行，是真命题；

②对顶角相等，其逆命题：

相等的角是对顶角，是假命题；

③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：

有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；

④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：

对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；

故选C．

【点睛】

本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.