高中数学第一章导数及其应用13导数中的应用131函数的单调性与导数一学案新人教A版选修221022336.docx

高中数学第一章导数及其应用13导数中的应用131函数的单调性与导数一学案新人教A版选修221022336.docx

《高中数学第一章导数及其应用13导数中的应用131函数的单调性与导数一学案新人教A版选修221022336.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章导数及其应用13导数中的应用131函数的单调性与导数一学案新人教A版选修221022336.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高中数学第一章导数及其应用13导数中的应用131函数的单调性与导数一学案新人教A版选修221022336

1．3.1　函数的单调性与导数

（一）

学习目标

　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

知识点一　函数的单调性与导函数的关系

思考　观察图中函数f（x），填写下表．

导数值

切线的斜率

倾斜角

曲线的变化趋势

函数的单调性

f′（x）>0

k>0

锐角

上升

递增

f′（x）<0

k<0

钝角

下降

递减

梳理　一般地，设函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内，

（1）如果f′（x）>0，则f（x）在这个区间内单调递增；

（2）如果f′（x）<0，则f（x）在这个区间内单调递减．

知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为减区间．

1．函数f（x）在定义域上都有f′（x）<0，则函数f（x）在定义域上单调递减．（　×　）

2．函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f′（x）>0.（　×　）

类型一　函数图象与导数图象的应用

例1　已知函数y＝f（x）的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示.

x

－1

0

4

5

f（x）

1

2

2

1

给出下列关于函数f（x）的说法：

①函数y＝f（x）是周期函数；

②函数f（x）在[0,2]上是减函数；

③如果当x∈[－1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1

其中正确说法的个数是（　　）

A．4B．3

C．2D．1

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　根据导函数的图象确定原函数图象

答案　D

解析　依题意得，函数f（x）不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈（0,2）时，f′（x）<0，因此函数f（x）在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则结合函数f（x）的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f

（2）的值不明确，结合函数f（x）的可能图象分析可知，将函数f（x）的图象向下平移a（1

反思与感悟　

（1）函数的单调性与其导函数的正负的关系：

在某个区间（a，b）内，若f′（x）>0，则y＝f（x）在（a，b）上单调递增；如果f′（x）<0，则y＝f（x）在这个区间上单调递减；若恒有f′（x）＝0，则y＝f（x）是常数函数，不具有单调性．

（2）函数图象变化得越快，f′（x）的绝对值越大，不是f′（x）的值越大．

跟踪训练1　已知y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则所给四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（　　）

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　根据导函数图象确定原函数图象

答案　C

解析　当0

∴f′（x）<0，故f（x）在（0,1）上为减函数；

当x>1时，xf′（x）>0，∴f′（x）>0，

故y＝f（x）在（1，＋∞）上为增函数．

故选C.

类型二　利用导数求函数的单调区间

例2　求下列函数的单调区间．

（1）y＝x2－lnx；

（2）y＝x＋（b>0）．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求不含参数函数的单调区间

解　

（1）函数y＝x2－lnx的定义域为（0，＋∞），

又y′＝.

若y′>0，即解得x>1；

若y′<0，即解得0

故函数y＝x2－lnx的单调递增区间为（1，＋∞）；单调递减区间为（0,1）．

（2）函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），

f′（x）＝′＝1－，

令f′（x）>0，则（x＋）（x－）>0，

所以x>或x<－.

所以函数的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）．

令f′（x）<0，则（x＋）（x－）<0，

所以－

所以函数的单调递减区间为（－，0），（0，）．

反思与感悟　求函数y＝f（x）的单调区间的步骤

（1）确定函数y＝f（x）的定义域．

（2）求导数y′＝f′（x）．

（3）解不等式f′（x）>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．

（4）解不等式f′（x）<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．

跟踪训练2　函数f（x）＝（x2＋2x）ex（x∈R）的单调递减区间为____________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求不含参数函数的单调区间

答案　（－2－，－2＋）

解析　由f′（x）＝（x2＋4x＋2）ex<0，

即x2＋4x＋2<0，

解得－2－

所以f（x）＝（x2＋2x）ex的单调递减区间为（－2－，－2＋）．

例3　讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）lnx（a≥0）的单调性．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求含参数函数的单调区间

解　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝ax＋1－＝.

（1）当a＝0时，f′（x）＝，

由f′（x）>0，得x>1，由f′（x）<0，得0

∴f（x）在（0,1）内为减函数，在（1，＋∞）内为增函数．

（2）当a>0时，f′（x）＝，

∵a>0，∴>0.

由f′（x）>0，得x>1，由f′（x）<0，得0

∴f（x）在（0,1）内为减函数，在（1，＋∞）内为增函数．

综上所述，当a≥0时，f（x）在（0,1）内为减函数，在（1，＋∞）内为增函数．

反思与感悟　

（1）讨论参数要全面，做到不重不漏．

（2）解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．

跟踪训练3　设函数f（x）＝ex－ax－2，求f（x）的单调区间．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求含参数函数的单调区间

解　f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝ex－a.

若a≤0，则f′（x）>0，

所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．

若a>0，则当x∈（－∞，lna）时，f′（x）<0；

当x∈（lna，＋∞）时，f′（x）>0.

所以f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增；

当a>0时，f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增.

1．函数f（x）＝x＋lnx（　　）

A．在（0,6）上是增函数

B．在（0,6）上是减函数

C．在上是减函数，在上是增函数

D．在上是增函数，在上是减函数

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性

答案　A

2．若函数f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能为（　　）

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　根据原函数图象确定导函数图象

答案　C

解析　由f（x）的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（1,4），单调递减区间为（－∞，1）和（4，＋∞），因此，当x∈（1,4）时，f′（x）>0，当x∈（－∞，1）或x∈（4，＋∞）时，f′（x）<0，结合选项知选C.

3．函数f（x）＝3＋x·lnx的单调递增区间是（　　）

A.B．（e，＋∞）

C.D.

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求不含参数函数的单调区间

答案　C

解析　f′（x）＝lnx＋1，令f′（x）>0，

即lnx＋1>0，得x>.

故函数f（x）的单调递增区间为.

4．若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知单调区间求参数值

答案　－　－6

解析　f′（x）＝3x2＋2bx＋c，

由题意知，f′（x）＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两根为－1和2.

由得

5．试求函数f（x）＝kx－lnx的单调区间．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求含参数函数的单调区间

解　函数f（x）＝kx－lnx的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝k－＝.

当k≤0时，kx－1<0，∴f′（x）<0，

则f（x）在（0，＋∞）上单调递减．

当k>0时，由f′（x）<0，即<0，

解得0

由f′（x）>0，即>0，解得x>.

∴当k>0时，f（x）的单调递减区间为，

单调递增区间为.

综上所述，当k≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞）；

当k>0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为.

1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．

2．利用导数求函数f（x）的单调区间的一般步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；

（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间.

一、选择题

1．如图是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下列判断正确的是（　　）

A．在区间（－2,1）上，f（x）是增函数

B．在（1,3）上，f（x）是减函数

C．在（4,5）上，f（x）是增函数

D．在（－3，－2）上，f（x）是增函数

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性

答案　C

解析　由图知当x∈（4,5）时，f′（x）>0，所以在（4,5）上，f（x）是增函数．

2．函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　）

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　根据原函数图象确定导函数图象

答案　D

解析　∵函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都是减函数，∴当x>0时，f′（x）<0，当x<0时，f′（x）<0，故选D.

3．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象只可能是所给选项中的（　　）

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　根据导函数的图象确定原函数的图象

答案　C

解析　∵导数的正负确定了函数的单调性，

∴从函数f′（x）的图象可知，令f′（x）＝0，

得x＝0或x＝a（a>0），

∴函数在（－∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，故选C.

4．函数f（x）＝xe－x的一个单调递增区间是（　　）

A．[－1,0]B．[2,8]

C．[1,2]D．[0,2]

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间

答案　A

解析　因为f′（x）＝＝（1－x）·e－x>0，

又因为e－x>0，所以x<1.

5．下列函数中，在（0，＋∞）内为增函数的是（　　）

A．y＝sinxB．y＝xex

C．y＝x3－xD．y＝lnx－x

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性

答案　B

解析　B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex（1＋x），

当x∈（0，＋∞）时，y′>0，

∴y＝xex在（0，＋∞）内为增函数．

6.函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．f（cosA）

B．f（sinA）

C．f（sinA）>f（sinB）

D．f（sinA）>f（cosB）

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　比较函数值的大小

答案　D

解析　根据图象知，当00，

∴f（x）在区间（0,1）上是增函数．

∵△ABC为锐角三角形，∴A，B都是锐角且A＋B>，

则0<－B

则sin

∴0f（cosB）．

7．定义在R上的函数f（x），若（x－1）·f′（x）<0，则下列各项正确的是（　　）

A．f（0）＋f

（2）>2f

（1）

B．f（0）＋f

（2）＝2f

（1）

C．f（0）＋f

（2）<2f

（1）

D．f（0）＋f

（2）与2f

（1）大小不定

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　比较函数值的大小

答案　C

解析　∵（x－1）f′（x）<0，

∴当x>1时，f′（x）<0，x<1时，f′（x）>0，

则f（x）在（1，＋∞）上单调递减，在（－∞，1）上单调递增，

∴f（0）

（1），f

（2）

（1），

则f（0）＋f

（2）<2f

（1）．

二、填空题

8．若函数f（x）的导函数为f′（x）＝x2－4x＋3，则函数f（x＋1）的单调递减区间是________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间

答案　（0,2）

解析　由f′（x）＝x2－4x＋3，

f′（x＋1）＝（x＋1）2－4（x＋1）＋3＝x2－2x，

令f′（x＋1）<0，解得0

所以f（x＋1）的单调递减区间是（0,2）．

9.在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则关于x的不等式xf′（x）<0的解集为________．

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　利用单调性确定导数值的正负号

答案　（－∞，－1）∪（0,1）

解析　由xf′（x）<0可得，

或

由题图可知当－1

当x<－1或x>1时，f′（x）>0，

则或

解得0

∴xf′（x）<0的解集为（0,1）∪（－∞，－1）．

10．已知函数f（x）＝kex－1－x＋x2（k为常数），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，则f（x）的单调递增区间为____________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求含参数的函数的单调区间

答案　（0，＋∞）

解析　f′（x）＝kex－1－1＋x，

∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，

∴f′（0）＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，

故f′（x）＝ex＋x－1.

令f′（x）>0，解得x>0，

故f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）．

11．已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋1（a为常数）在区间（－∞，0），（2，＋∞）上单调递增，且在区间（0,2）上单调递减，则a的值为________．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　已知单调区间求参数值

答案　－6

解析　由题意得f′（x）＝6x2＋2ax＝0的两根为0和2，可得a＝－6.

12．定义在R上的函数f（x）满足f

（1）＝1，f′（x）<2，则满足f（x）>2x－1的x的取值范围是________．

考点　利用导数研究函数的单调性

题点　构造法的应用

答案　（－∞，1）

解析　令g（x）＝f（x）－2x＋1，

则g′（x）＝f′（x）－2<0，

又g

（1）＝f

（1）－2×1＋1＝0，

当g（x）>g

（1）＝0时，x<1，∴f（x）－2x＋1>0，

即f（x）>2x－1的解集为（－∞，1）．

三、解答题

13．已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P（0,2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x－y＋7＝0.

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）求函数y＝f（x）的单调区间．

考点　利用导数求函数的单调区间

题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间

解　

（1）由y＝f（x）的图象经过点P（0,2），知d＝2，

∴f（x）＝x3＋bx2＋cx＋2，f′（x）＝3x2＋2bx＋c.

由在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x－y＋7＝0，

知－6－f（－1）＋7＝0，即f（－1）＝1.

又f′（－1）＝6，∴即

解得b＝c＝－3，

故所求函数解析式是f（x）＝x3－3x2－3x＋2.

（2）f′（x）＝3x2－6x－3.

令f′（x）>0，得x<1－或x>1＋；

令f′（x）<0，得1－

故f（x）＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为（－∞，1－），（1＋，＋∞），单调递减区间为（1－，1＋）．

四、探究与拓展

14．已知函数f（x）＝x2＋2cosx，若f′（x）是f（x）的导函数，则函数f′（x）的大致图象是（　　）

考点　函数的单调性与导数的关系

题点　根据导数确定函数的图象

答案　A

解析　设g（x）＝f′（x）＝2x－2sinx，

则g′（x）＝2－2cosx≥0，

所以函数g（x）＝f′（x）在R上单调递增，故选A.

15．已知函数f（x）＝x－＋a（2－lnx），a>0，试讨论f（x）的单调性．

考点　利用导函数求函数的单调区间

题点　利用导数求含参数的函数的单调区间

解　f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝1＋－＝.

令g（x）＝x2－ax＋2，其判别式Δ＝a2－8.

（1）当Δ<0，即00，都有f′（x）>0，此时f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数；

（2）当Δ＝0，即a＝2时，当且仅当x＝时，有f′（x）＝0，对定义域内其余的x都有f′（x）>0，此时f（x）也是（0，＋∞）上的单调递增函数；

（3）当Δ>0，即a>2时，方程g（x）＝0有两个不同的实根：

x1＝，x2＝，0

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（0，x1）

x1

（x1，x2）

x2

（x2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

↘

↗

即f（x）在和上单调递增；在上单调递减.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。