高等数学知识点总结.docx

高等数学知识点总结.docx

《高等数学知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学知识点总结.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结

导数公式：

导数公式：

（tanx）′=sec2x（ctanx）′=csc2x（secx）′=secxtanx（cscx）′=cscxcotx（ax）′=axlna1（logax）′=xlna

基本积分表：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

三角函数的有理式积分：

（arcsinx）′=

1

1x21（arccosx）′=1x21（arctanx）′=1+x21（arccotx）′=1+x2

∫tanxdx=lncosx+C∫cotxdx=lnsinx+C∫secxdx=lnsecx+tanx+C∫cscxdx=lncscxcotx+C

dx1x=arctan+C2+xaadx1xa∫x2a2=2alnx+a+Cdx1a+x∫a2x2=2alnax+Cdxx∫a2x2=arcsina+C

∫cos∫sin

dx

2

xx

=∫sec2xdx=tanx+C=∫csc2xdx=cotx+C

dx

2

∫a

∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=cscx+C

x∫adx=

2

ax+Clna

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx±a

22

=ln（x+x2±a2）+C

π

2

π

2

In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=

002

n1In2n

∫∫∫

sinx=

xa222x+adx=x+a+ln（x+x2+a2）+C22xa2x2a2dx=x2a2lnx+x2a2+C22xa2xa2x2dx=a2x2+arcsin+C22a

2

2u1u2x2du，　x=cos，　=tan，　=udx1+u21+u221+u2

1/13

一些初等函数：

一些初等函数：

两个重要极限：

两个重要极限：

exex双曲正弦:

shx=2xe+ex双曲余弦:

chx=2shxexex双曲正切:

thx==chxex+exarshx=ln（x+x2+1）archx=±ln（x+x21）11+xarthx=ln21x

三角函数公式：

三角函数公式：

诱导公式：

·诱导公式：

函数角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α·和差角公式：

和差角公式：

lim

sin

0

xx+

x→

=

x

1=e

lim

x→

∞

（1

1）x

sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinα

coscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosα

tg-tanαcotα-cotα-tanαtanαcotα-cotα-tanαtanα

ctg-cotαtanα-tanα-cotαcotαtanα-tanα-cotαcotα

·和差化积公式：

和差化积公式：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）=cosαcosβmsinαsinβtanα±tanβtan（α±β）=1mtanαtanβcotαcotβm1cot（α±β）=cotβ±cotα

sinα+sinβ=2sin

α+β

22α+βαβsinαsinβ=2cossin22α+βαβcosα+cosβ=2coscos22α+βαβcosαcosβ=2sinsin22

cos

αβ

2/13

·倍角公式：

倍角公式：

sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α1=12sin2α=cos2αsin2αcot2α1cot2α=2cotα2tanαtan2α=1tan2α

·半角公式：

半角公式：

sin3α=3sinα4sin3αcos3α=4cos3α3cosα3tanαtan3αtan3α=13tan2α

sintan

α

2

=±=±

α1cosα1+cosα　　　　　　　　　　　　cos=±222α1cosα1cosαsinα1+cosα1+cosαsinα　　==cot=±==1+cosαsinα1+cosα21cosαsinα1cosα

abc===2RsinAsinBsinC

·余弦定理：

c=a+b2abcosC余弦定理：

222

α

2

·正弦定理：

正弦定理：

定理

·反三角函数性质：

arcsinx=反三角函数性质：

π

2

arccosx　　　arctanx=

π

2

arccotx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

——莱布尼兹

k（uv）（n）=∑Cnu（nk）v（k）k=0n

=u（n）v+nu（n1）v′+

n（n1）（n2）n（n1）L（nk+1）（nk）（k）uv+L+uv（n）uv′′+L+2!

k!

中值定理与导数应用：

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）f（a）=f′（ξ）（ba）f（b）f（a）f′（ξ）柯西中值定理：

=F（b）F（a）F′（ξ）当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

曲率：

弧微分公式：

ds=1+y′2dx,其中y′=tgαK平均曲率：

=α.α:

从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；s：

MM′弧长。

sy′′αdαM点的曲率：

K=lim==.s→0sds（1+y′2）31.a

3/13

直线：

K=0;半径为a的圆：

K=

定积分的近似计算：

定积分的近似计算：

矩形法：

f（x）≈∫

a

b

ba（y0+y1+L+yn1）nba1[（y0+yn）+y1+L+yn1]n2ba[（y0+yn）+2（y2+y4+L+yn2）+4（y1+y3+L+yn1）]3n

梯形法：

f（x）≈∫

ab

b

抛物线法：

f（x）≈∫

a

定积分应用相关公式：

定积分应用相关公式：

功：

W=Fs水压力：

F=pAm1m2,k为引力系数r2b1函数的平均值：

=yf（x）dxba∫a引力：

F=k12均方根：

∫f（t）dtbaa

空间解析几何和向量代数：

空间解析几何和向量代数：

b

空间2点的距离：

d=M1M2=（x2x1）2+（y2y1）2+（z2z1）2向量在轴上的投影：

juAB=ABcos,是AB与u轴的夹角。

PrvvvvPrju（a1+a2）=Prja1+Prja2vvvvab=abcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：

θ=cosivvvc=a×b=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz

222222

vvvvvvaz,c=absinθ.例：

线速度：

v=w×r.

bzaybycyazcz

axvvvvvv向量的混合积：

bc]=（a×b）c=bx[acx代表平行六面体的体积。

vvvbz=a×bccosα,α为锐角时，

4/13

平面的方程：

v1、点法式：

A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）=0，其中n={A,B,C},M0（x0,y0,z0）2、一般方程：

Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：

++=1abc平面外任意一点到该平面的距离：

d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2

x=x0+mtxx0yy0zz0v空间直线的方程：

===t,其中s={m,n,p};参数方程：

y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：

x2y2z21、椭球面：

2+2+2=1abc22xy2、抛物面：

+=z（p,q同号）,2p2q3、双曲面：

x2y2z2单叶双曲面：

2+22=1abc22xyz2双叶双曲面：

22+2=（马鞍面）1abc

多元函数微分法及应用

全微分：

dz=

zzuuudx+dy　　　du=dx+dy+dzzxyxy

全微分的近似计算：

z≈dz=fx（x,y）x+fy（x,y）y多元复合函数的求导法：

dzzuzvz=f[u（t）,v（t）]　　　=+　dtutvtzzuzvz=f[u（x,y）,v（x,y）]　　　=　+xuxvx当u=u（x,y），v=v（x,y）时，du=uuvvdx+dy　　　dv=dx+dy　xyxy

隐函数的求导公式：

FFFdydyd2y隐函数F（x,y）=0，　　=x，　　2=（x）＋（x）xFyyFydxdxFydxFyFzz隐函数F（x,y,z）=0，　=x，　　=xyFzFz

5/13

FF（x,y,u,v）=0（F,G）u隐函数方程组：

　　　J==G（u,v）G（x,y,u,v）=0uu1（F,G）v1（F,G）　　　　==xJ（x,v）xJ（u,x）u1（F,G）v1（F,G）　　　　==yJ（y,v）yJ（u,y）

微分法在几何上的应用：

微分法在几何上的应用：

Fv=FuGGuv

FvGv

x=（t）xxyy0zz0空间曲线y=ψ（t）在点M（x0,y0,z0）处的切线方程：

0==′（t0）ψ′（t0）ω′（t0）z=ω（t）在点M处的法平面方程：

′（t0）（xx0）+ψ′（t0）（yy0）+ω′（t0）（zz0）=0vFyFzFzFxFxF（x,y,z）=0,则切向量T={,,若空间曲线方程为：

GyGzGzGxGxG（x,y,z）=0曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：

v1、过此点的法向量：

n={Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：

==Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）

方向导数与梯度：

方向导数与梯度：

FyGy

}

2、过此点的切平面方程：

Fx（x0,y0,z0）（xx0）+Fy（x0,y0,z0）（yy0）+Fz（x0,y0,z0）（zz0）=0

fff函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为：

=cos+sinlxy其中为x轴到方向l的转角。

fvfvi+jxyvvfvv它与方向导数的关系是：

=gradf（x,y）e，其中e=cosi+sinj，为l方向上的l单位向量。

f∴是gradf（x,y）在l上的投影。

l函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：

gradf（x,y）=

多元函数的极值及其求法：

多元函数的极值及其求法：

设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：

fxx（x0,y0）=A,　fxy（x0,y0）=B,　fyy（x0,y0）=CA<0,（x0,y0）为极大值2ACB>0时，A>0,（x0,y0）为极小值2则：

ACB<0时，　　　　　　无极值ACB2=0时,　　　　　　　不确定

6/13

重积分及其应用：

重积分及其应用：

∫∫f（x,y）dxdy=∫∫f（rcosθ,rsinθ）rdrdθ

DD′

曲面z=f（x,y）的面积A=∫∫

D

zz1++dxdyxy

2

2

M平面薄片的重心：

x=x=M

∫∫xρ（x,y）dσ

D

∫∫ρ（x,y）dσ

D2D

　　y=

MyM

=

∫∫yρ（x,y）dσ

D

∫∫ρ（x,y）dσ

DD

平面薄片的转动惯量：

对于x轴Ix=∫∫yρ（x,y）dσ,　　对于y轴Iy=∫∫x2ρ（x,y）dσ平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：

F={Fx,Fy,Fz}，其中：

Fx=f∫∫

D

ρ（x,y）xdσ

（x2+y2+a）

322

，　　Fy=f∫∫

D

ρ（x,y）ydσ

（x2+y2+a）

322

，　　Fz=fa∫∫

D

ρ（x,y）xdσ

3

（x2+y2+a2）2

柱面坐标和球面坐标：

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosθ柱面坐标：

y=rsinθ,　　　f（x,y,z）dxdydz=∫∫∫F（r,θ,z）rdrdθdz,∫∫∫z=z其中：

F（r,θ,z）=f（rcosθ,rsinθ,z）x=rsincosθ球面坐标：

y=rsinsinθ，　　dv=rdrsindθdr=r2sindrddθz=rcos

2∫∫∫f（x,y,z）dxdydz=∫∫∫F（r,,θ）rsindrddθ=∫dθ∫d002π

π

r（,θ）

∫F（r,,θ）r

0

2

sindr

重心：

x=

1M

∫∫∫xρdv,　　y=M∫∫∫yρdv,　　z=M∫∫∫zρdv，　　其中M=x=∫∫∫ρdv

222222

1

1

转动惯量：

Ix=∫∫∫（y+z）ρdv，　　Iy=∫∫∫（x+z）ρdv，　　Iz=∫∫∫（x+y）ρdv

曲线积分：

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x=（t）设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：

　　≤t≤β）,则：

（αy=ψ（t）

∫f（x,y）ds=αf[（t）,ψ（t）]∫

L

β

′2（t）+ψ′2（t）dt　　<β）　　特殊情况：

（α

x=ty=（t）

7/13

第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为

标的曲线积分）：

x=（t），则：

y=ψ（t）

∫

L

P（x,y）dx+Q（x,y）dy=

α

∫{P[（t）,ψ

L

β

（t）]′（t）+Q[（t）,ψ（t）]ψ′（t）}dt

两类曲线积分之间的关

系：

∫Pdx+Qdy=

∫（Pcos

L

α+Qcosβ）ds，其中α和β分别为

QP）dxdy=y=12

L上积分起止点处切向量的方向角。

QP格林公式：

∫∫（）dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式：

xyDL当P=y,Q=x，即：

·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在注意方向相反！

：

，且QP=2时，得到xy无关的条件：

D的面积：

∫∫（x

D

∫Pdx

L

+Qdy

A=

∫∫dxdy

D

∫xdy

L

ydx

QP＝。

注意奇点，如xy

（0,0），应

QP＝时，Pdx+Qdy才是二元函数xy

（x,y）

u（x,y）的全微分，其中：

x0=y0=0。

u（x,y）=

∫P（x,y）dx

（x0,y0）

+Q（x,y）dy，通常设

曲面积分：

曲面积分：

对面积的曲面积分：

∫∫f（x,y,z）ds=

∑

∫∫f[x,y,z（x,y）]

Dxy

221+zx（x,y）+zy（x,y）dxdy

对坐标的曲面积分：

∫∫P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy，其中：

∑

∫∫R（x,y,z）dxdy

∑

=±∫∫R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

Dxy

∫∫P（x,y,z）dydz

∑∑

=±∫∫P[x（y,z）,y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

Dyz

∫∫Q（x,y,z）dzdx=±∫∫Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正

Dzx

号。

两类曲面积分之间的关系：

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫

∑

∫∫（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds

∑

高斯公式：

高斯公式：

8/13

∫∫∫（x+y

P

Q

+

R）dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dsz∑∑

高斯公式的物理意义——通量与散度：

vPQRv散度：

divν=++,即：

单位体积内所产生的流体质量，若divν<0,则为消失...xyzvv通量：

Ands=∫∫Ands=∫∫（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds，∫∫v因此，高斯公式又可写成：

divAdv=∫∫Ands∫∫∫

∑∑∑∑

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

——曲线积分与曲面积分的关系

∫∫（yz）dydz+（zx）dzdx+（x

∑

R

Q

P

R

Q

P）dxdy=∫Pdx+Qdy+RdzyΓcosβyQcosγzR