专题 简谐运动的图象《机械振动与波》要点.docx

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专题简谐运动的图象《机械振动与波》要点

●基础知识落实●

若简谐运动的位移图象如图，那么该振动图象的解析式是：

，简谐运动的表达式为：

知识点一、简谐运动的图像：

物体的运动规律不仅可以用简洁的数学公式来表达，还可以用直观的函数图像来表示，在匀变速直线运动中用速度图像反映了速度随时间的变化规律，并通过图像所反映的物理意义得出了相应的物理量，虽然简谐运动是一种变加速的往复运动，比匀变速直线运动复杂，但其运动规律同样可以用图像表示，并通过图像直观地了解到振动的情况．

1、怎样描绘简谐运动图像：

（1）函数法：

图像可以利用物理量间的函数关系直接画出来；

（2）描点法：

若测得振动物体在各个不同时刻的位移（例通过频闪照片得到的振动物体在各时刻的位置），则可通过描点法得到；

建立一个平面直角坐标系，用横坐标表示时间t，用纵坐标表示振动物体对平衡位置的位移x，选好原点，规定好坐标轴上的标度，根据各个时刻振动物体位移的方向和大小，就可以在坐标平面上确定一系列的点，将这些点用平滑的曲线连接起来，就得到了简谐运动的图像。

（3）直接描迹法：

若通过一定的装置不间断地跟踪振动物体的位置变化，则可在匀速移动的坐标纸上直接得到振动图像。

【释例1】（直接描迹法）（1994全国卷·13）如图是演示简谐振动图像的装置．当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间的变化关系，板上的直线OO′代表时间轴。

上图是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为（）

A.T2＝T1B.T2＝2T1C.T2＝4T1D.T2＝

T1

【解析】

【点评】

【释例2】如图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2kg，在竖直拉力F的作用下，由静止开始竖直向上做匀加速运动。

一个装有水平振动的频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm，求F的大小。

【解析】由匀变速直线运动规律,知△S=aT2其中T为音叉周期的

由牛顿第二定律,知F-mg=ma联立解得F=mg+ma=24N

【点评】

【例题3】下图是将演示简谐振动图像的装置作变更，当盛砂漏斗下面的薄木板被匀加速地拉出时,摆动着的漏斗中漏出的砂在木板上形成的曲线如图示，A、B、C、D、E均为OO′轴上的点，AB=S1,BC=S2,摆长为L（可视作不变）摆角小于5°，则木板的加速度约为多少？

【解析】

【点评】

2．振动图像：

振动物体对平衡位置的位移随时间变化的图像，叫做振动图像，或称为位移—时间（x—t）图像。

3、理论和实验都证明：

简谐运动的振动图像都是正弦曲线或余弦曲线。

振动图象是正弦曲线还是余弦曲线，这决定于t＝0时刻的选择．（t＝T/4处，位移x最大，此时位移数值为振幅A）

【释例1】如下图所示，一个弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，以某时刻作为计时零点．经过1/2周期振子具有正方向的最大速度，则下图中正确反映振子振动情况的是〖D〗

【解析】

【点评】

4、物理意义：

表示振动物体的位移随时间变化的规律，即表示某同一质点在各个时刻相对于平衡位置的位移。

【释例1】简谐运动的图像说明了（）

A、无数割做简谐运动的质点，在不同时刻的振动情况

B、同一个质点在不同时刻的运动情况

C、振动物体的周期、振幅以及在任意时刻的位移

D、上述说法都正确

【解析】

【点评】

5．振动图像不是振动物体的运动轨迹：

弹簧振子做简谐运动的振动图像是正弦或余弦曲线，而振子的运动轨迹是一段直线，在这里特别要注意振动图像的横坐标轴是表示时间，不是表示空间位置。

做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如下一节的单摆）．这种往复运动的位移图象。

就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。

以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象。

【释例1】如图

（1）所示，一弹簧振子沿x轴在POQ之间做简谐振动，确定向右为正方向。

若以某时刻作为计时零点（t=0），经过1/4周期，振子具有正方向的最大速度，那么能够正确反映振子振动情况的振动图像应是图

（2）中的（D）

【解析】

【点评】

知识点二、简谐运动图像的应用：

参看下图，从振动图像可确定：

1．振幅A：

图像的峰值。

2．周期T：

相邻两个位移为正的最大值或负的最大值之间的时间间隔，频率f=1/T。

3．任一时刻t的位移x：

对应于图像上某一点的坐标（t，x）；

4．任一时刻t的回复力F：

利用F=-k·x可知回复力情况。

5．任一时刻t的加速度a：

总是指向平衡位置（平行于x轴指向t轴）．x=0时，a=0；x=±A时，a达最大值。

6．任一时刻t的振动方向和速度υ的变化情况：

图像斜率为正时速度为正（沿+x方向），斜率为负时速度为负（沿-x方向），x=0时，速度达最大值。

振动方向也可用类比法确定：

将振动图像视为蜿蜒起伏的“山坡”，然后顺横坐标t时间轴正方向沿图线走去，“上坡路线”的时间内，各时刻物体都向上振动，“下坡路段”的时间内，各时刻物体都向下振动。

借助振动图像还可以说明加速度随时间的变化情况。

7、简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性．

简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。

正负表示速度的方向，正时沿x正向，负时沿x负向．

【释例1】（2003全国春招·15）右图表示一简谐横波波源的振动图象。

根据图象可确定该波的〖D〗

A、波长，波速B、周期，波速

C、波长，振幅D、周期，振幅

【解析】由振动图象可直接求出周期和振幅，但由于波长或波速不知，故无法求出波速和波长。

【点拨】明确能从振动图象和波动图象中求出的物理量，二者的联系也就找到。

【释例2】右图为某一质点的振动图线，从图线上可以看出此质点的周期是0.8ss，0.4s时的运动方向是__竖直向下___，0.6s时的位移是-2__cm，在0.6s内质点通过的路程是6__cm．

【解析】

【点评】

【释例3】一弹簧振子小球的质量m=0.5kg，弹簧的劲度系数k=4.9N/m，振子在光滑水平面内做简谐运动的图像如图所示，则小球具有正向最大加速度的时刻为______s，其最大值为________m/s2。

在t=1.75s时，小球的加速度为________m/s2，方向为_______。

【解析】在t=1.0s时，小球的位移负向达最大，因此加速度正向达最大：

。

在t=1.75s时，小球的位移

，

此时小球的加速度：

，方向沿-x方向。

【点评】振动图像表示质点的位移随时间变化的规律，简谐运动的图像是正弦或余弦曲线。

【释例4】如图所示是一单摆的振动图像，在t1、t2时刻相同的物理量是〖BD〗

A．位移B．速度C．加速度D．势能

【解析】

【点评】

【释例5】

（周期性）如图所示为质点P在0～4s内的运动图象，下列叙述正确的是（AD）

A、再过1s，该质点的位移是正的最大

B、再过1s，该质点的速度方向向上

C、再过1s，该质点的加速度方向向上

D、再过1s，该质点的加速度最大

【解析】

【点拨】

知识点三、振动图像及其应用：

1．振动图像有广泛的实际应用：

例心电图、脑电图、地震图等。

【释例1】

【解析】

【点评】

【变式】

【释例2】

【解析】

【点评】

⊙方法指导⊙

⊙解题示范⊙

【例题1】请确定下图中所示的四条振动图像表示振动的振幅、周期及频率分别是多少？

【解析】

【点评】

【例题2】下图是弹簧振子的振动图线，请回答下列问题：

（1）振子的振幅、周期、频率各是多少？

（2）在图中画出振子在t为0.2s、0.3s、0.4s、0.6s、0.7s、0.8s时刻所受的回复力、加速度、速度、位移的方向。

【解析】

【点评】

【例题3】如例2所述再比较t为0.4s、0.5s两时刻所受回复力大小、加速度大小及位移大小比较t为0.2s和0.4s两时刻所受回复力、加速度及位移。

【解析】

【例题4】如例2所述，试着指出哪些时刻振子的加速度相同，位移相同？

【解析】

【点评】

【例题5】如例2所述，试比较t为0.2s、0.3s、0.4s、0.6s、0.7s、0.8s各时刻动能的大小？

弹性势能的大小？

【解析】

【点评】

【例题6】甲、乙两个弹簧振子的振动图像如图所示，它们的质量之比m甲∶m乙＝2∶3，劲度系数之比k甲∶k乙＝3∶2，则它们的频率之比为_______，最大加速度之比为_________。

【解析】

【点评】例1至例6要求学生明确由于计时起点不同，振动图像也不一样，关键明确有关振幅、周期、频率、回复力的概念，结合牛顿第二定律F＝m×a解决加速度的大小和方向问题。

简谐运动系统能量守恒，弹簧弹力做功，弹性势能减少，振动动能增加。

通过上面例题学会从振动图像上找振幅、周期、频率，及与位移x有关的物理量（速度、加速度、回复力、弹性势能、动能）。

【例题7】如图所示为某一质点的振动图像，由图像可知在t1和t2两时刻，质点的速度υ1、υ2，加速度a1、a2的正确关系为〖〗

A．υ1<υ2，方向相同B．υ1<υ2，方向相反

C．a1>a2，方向相同D．a1>a2，方向相反

【解析】在t1时刻质点和下向平衡位置运动，在t2时刻质点向下远离平衡位置运动，所以υ1与υ2的方向相同，但由于在t1时刻质点离平衡位置较远，所以υ1<υ2，a1>a2，质点的加速度方向总是指向平衡位置的，固而可知在t1时刻加速度方向向下，在t2时刻加速度方向向上。

正确选项为AD。

【点评】

【例题8】如图（a）所示，在光滑的水平横杆上，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐运动振动周期为2s，则振子由O运动到OC中点所需的最短时间为_______s。

【解析】振子从O运动到OC中点所需的时间在O向C运动时最短，若以向左的位移为正，做出从O开始向左运动计时的振动图像，如图（b）所示，在质点到达OC中点时的位移值是A/2，所对应的时刻t1，由正弦函数的性质可知

（s），即质点由O到OC中点所需最短时间为1/6s。

【点评】

【例题1】一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列结论正确的是〖BC〗

A．质点的振动频率为4Hz

B．在10s内质点通过的路程是20cm

C．在第5s末，质点的速度为零，加速度最大

D．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的加速度方向和速度方向都相同．

选题目的：

考查利用振动图像判断某一时刻各物理量的情况的掌握.

【解析】由振动图像直接可得T=4s，A=2cm，因此振动频率

0.25HZ，在10s内（即2.5T的时间内）质点通过的路程为2.5×4A＝2.5×4×2＝20（cm），在第5s末，质点的位移正向最大，因此加速度反向最大，速度为零，在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻，质点的位移相同，质点的加速也相同，方向都沿－x，但在t＝1.5s时质点向下振动，在t＝4.5s时质点向上振动．

正确选项为BC．

【点评】

【例题2】对于作简谐振动的物体，下列说法正确的是〖AC〗

A．在一个周期内，物体通过的路程为振幅的4倍

B．在四分之一个周期内，物体通过的路程为振幅的1倍

C．在半个周期内，物体通过的路程为振幅的2倍

D．在四分之三个周期内，物体通过的路程为振幅的3倍

选题目的：

考查利用振动图像判断不同周期内，振动物体通过的路程的情况.

【解析】对于作简谐运动的物体，在一个周期内，它通过的路程是振幅的4倍，但是对于不是周期的整数倍的时间内，它通过的路程可用振动过程的x-t图象来说明，如图所示在图中选取了几个不同的时间间隔来分析：

，物体的路程由图可知，刚好为振幅A的一倍，即S=A，

，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为：

，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为：

，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为：

。

这说明了在四分之一个周期的时间内，振动物体通过的路程可能是一个振幅，可能小于振幅，也可能大于振幅（只有振动的物体从平衡位置开始或从最大位移处开始的四分之一个周期内的路程才是等于一个根幅的长度）。

在二分之一周期内，振动物体的路程总是振幅的2倍。

从以上的分析可知：

A、C选项正确。

【点评】应用振动的图象来分析问题是很直观的，简捷。

虽然振动图象是表明振动物体的位移x与时间t的关系，但用它来分析振动物体在一段时间内的路程却比用计算法快捷。

【例题3】一个质点作简谐振动的图像如图所示。

则该质点〖〗

A、在0．035s时速度为正，加速度为负值

B、在0．04s时速度最大，加速度为零

C、在0～0．01s内，速度和加速度同向

D、在第二个0.01s内，回复力做负功

选题目的：

考查利用振动图像判断某一时刻每个物理量的状态的掌握。

【解析】根据加速度方向与位移方向相反的特征可确定0.035s时，加速度为负值，0～0.01s内加速度为负值．根据加速度与位移大小成正比，可知，t=0.04s时，加速度最大，故B错误．

由图像知在t=0.035s前的0.03s的位移为零，而在该时刻后的0.04s的位移为正最大值．可见，0.035s时处于向位移正最大值运动的过程中，速度应为正值．另外，根据t=0.035s所对应的图线上该点切线斜率为正，也可确定速度为正值．同理，在0～0.01s内，速度为负值．故A、C均正确．

在第二个0.01s内，可判定回复力为正值，速度为负值，故回复力做负功．知D正确．

【点评】

【例题4】某弹簧振子的固有频率为2.5HZ，将弹簧振子从平衡位置拉开4cm后放开，同时开始计时，则在t=1.55s时〖〗

A．振子正在做加速度减小的加速运动

B．振子正在做加速度增大的减速运动

C．振子在速度方向沿x轴正方向

D．振子的位移一定大于2cm

选题目的：

考查利用振动周期的判断及振动中某一时刻各物理量的情况.

【解析】f=2.5HZ，则

。

根据简谐周期性的特点。

T=1.55s=3×0.4s+0.35s。

振子在t=1.2s时的运动状态与t=0时相同。

则t=1.55s时的状态与t=0.35s时的振动状态相同．

做出振子的简谐运动图像如右图所示。

T=0.35s时，对应于图线上的P点，振于此时正在向正最大位移处运动，加速度正在增大，速度正在减小，速度方向为正方向，其位移一定大于A/2=2cm，因此，选项“B”、“C”、“D”正确．

振动的往复性是振动的最大特点。

每经过一个周期，质点的运动状态恢复。

所以，没有必要将振子在1.55s内的简谐运动的图像都做出来，只要观察振子在一个周期内的运动情况。

以后的运动情况可顺推出来．

【点评】

【例题5】劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（）

A．振子所受的弹力大小为0．5N，方向指向x轴的负方向

B．振子的速度方向指向x轴的正方向

C．在0～4s内振子作了1.75次全振动

D．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0

【解析】由图可知A在t轴上方，位移x＝0.25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确．由图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内完成两次全振动，选项C错误．由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0．5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.50cm＝4cm，故选项D错误．

综上所述，该题的正确选项为B．

【点评】

【例题6】摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至

时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（）

【解析】从t=0时经过

时间，这段时间为3T/4，经过3T/4摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过3T/4具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速度的只有D。

所以选项D正确。

【例题7】（2003江苏物理·7）一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点，图1中的a、b、c、d为四个不同的振动状态；黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向，图2给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象〖AD〗

A、若规定状态a时t=0，则图象为①B、若规定状态b时t=0，则图象为②

C、若规定状态c时t=0，则图象为③D、若规定状态d时t=0，则图象为④

【解析】

【点评】

【例题9】（2006天津理综·17）一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是（D）

A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小

B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

【解析】单摆在摆动过程中机械能守恒，位移最大速度为零，A错。

t3时刻位移最大速度为零，悬线对它的拉力

，

。

在最低点

，C错。

t2时刻摆球位移为零，速度最大，悬线对它的拉力最大，C错。

【点拨】

【例题11】如图所示为一沿水平方向振动的弹簧振子的振动图象，求：

⑴从计时开始，什么时刻第一次达到弹性势能最大？

⑵在第2s末到第3s末这段时间内振子的加速度、速度、动能、弹性势能各怎么变化？

⑶该振子在前100s内总位移是多少？

总路程是多少？

【解析】⑴第1s末振子位移最大，所以势能最大。

⑵这段时间内振子的位移变大，所以加速度、弹性势能变大；速度、动能变小。

⑶T=4s，100s为25个周期，所以位移为0，路程为s=25×4A=500cm=5m.

【点评】正确读取图象所含信息是解图象题的关键，不仅要复习好有关图象的知识，还要善于将图象与实际振动过程结合起来。

【例题12】（2009天津理综·8）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin

，则质点（AD）

A.第1s末与第3s末的位移相同

B.第1s末与第3s末的速度相同

C.3s末至5s末的位移方向都相同

D.3s末至5s末的速度方向都相同

【解析】由关系式可知

，

，将t=1s和t=3s代入关系式中求得两时刻位移相同，A对；

画出对应的位移-时间图像，由图像可以看出，第1s末和第3s末的速度方向不同，B错；

仍由图像可知，3s末至5s末的位移大小相同，方向相反，而速度是大小相同，方向也相同。

故C错、D对。

【点评】

作匀速圆周运动的物体，其投影的运动是简谐运动。

因此我们也可以反过来把任何一个实际的简谐运动设想为一个匀速圆周运动的投影，这个设想的圆周叫参考圆。

它以简谐振动的平衡位置O为圆心，以简谐振动的振幅A为半径，以简谐振动周期T为周期，它的角速度：

我们可以通过对参考圆的讨论来推导出简谐运动的位移、速度、加速度与时间的关系。

一、填空题：

1．如图所示是一个质点的简谐运动图像，质点的振幅是_______cm，振动频率是_____HZ．0.32.5

t

2．如图所示，质点在前6s内通过的路程是_______m，在6～8s内的平均速度大小为______m/s，方向为_______．

6×10-21×10-2沿-X方向

3．下图为一质点的振动图像，在图像上有a、b、c、d四点，则根据图像可得a、c两点所对应的时间间隔为______s，在四点中，质点速度方向为正向的是_______．

2；a和c；b和d

4．下图所示是一个质点的振动图像，据图像回答下列问题：

①振动的振幅；

②振动的频率；

③在t=0.1s，0.3s，0.5s，0.7s时质点的振动方向；

④质点速度首次具有最大负值的时刻和位置；

⑤质点运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；

⑥在0.6s到0.8s这段时间内质点的运动情况.

①5cm②f=1.25HZ

③t=0.1s，0.7s时，质点的振动方向向上，t=0.3s，0.5s时，质点的振动方向下；

④t=0.4s时，首次具有速度的最大的负值，此时质点在平衡位置处；

⑤t=0.2s时，首次具有加速度的最大负值，此时质点在正的最大位移处；

⑥在0.6～0.8s这段时间内，质点做加速运动。

5．如图所示为一单摆及其振动图像，由图回答：

（1）单摆的振幅为_______，频率为______，摆长约为______．

（2）振动图像中，第一个周期内加速度为正，并与速度同方向的时间范围是______，势能先减小后增大的时间范围是_______．

（3）若在悬点正下方O′处钉一光滑水平钉可挡住摆线，且O′E=OE/4，则单摆周期为_______．

（1）3cm；0.5HZ；1m；

（2）1.5～2s；0.5～1.5s；（3）1.87s

二、选择题：

1．沙摆的振动图象反映的是〖C〗

A．摆的运动轨迹

B．细沙的运动轨迹

C．摆在不同时刻的位置

D．细沙在不同时刻的速度

2.在盛沙的漏斗下方放有一木板，让漏斗摆动起来，同时让其中的细沙匀速流出，一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面图应图中的（D）

2．同一地点的甲，乙两单摆的振动图像如图所示，下列说法错误的是〖B〗

A．甲、乙两单摆的摆长相等

B．甲摆的机械能比乙摆小

C．甲摆的最大速率比乙摆小

D．在1/4周期时振子具有正向最大加速度的是乙摆

3．同一地点的甲、乙两单摆的振动图像如图所示，下列说法中错误的是〖BC〗

A．甲乙两单摆的摆长相等

B．甲摆的机械能比乙摆小

C．甲摆的最大速率比乙摆小

D．在1/4周期时振子具有正向加速度的是乙摆

4．简谐运动的振动图像的横坐标和纵坐标分别表示运动物体的〖B〗

A．时间t，振幅A

B．时间t，对平衡位置的位移X

C．对平衡位置的位移X，时间t

D．时间t，周期T

5．物体做简谐运动，其图像如图所示，在t1和t2两时刻，物体的〖C〗

A．所受回复力相同

B．位移相同

C．速度相同

D．加速度相同

6．如图所示，对该质点的振动情况，下列判断正确的是〖AC〗

A．振动的计时是从质点经过平衡位置时开始的

B．第2s末速度方向沿-X，加速度最大

C．第3s末，质点的速度为零，加速度沿+X方向达最大值

D．在1～3s内质点的速度不断增大

7．如图所示是某质点的振动图像，由图可知〖BC〗

A．在t=0时，