一元一次方程应用题分类培优训练.docx
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一元一次方程应用题分类培优训练
初一周末培优（十）
《一元一次方程应用题》
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审—审题：
认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．
（2）设—设出未知数：
根据提问，巧设未知数．
（3）列—列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．
（4）解——解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．
（5）答—检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）
二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集：
行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），
等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，
数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
一：
等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：
原料体积=成品体积。
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
③正方体（正六面体）的体积V＝棱长3＝a3
例1．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
练习：
将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，
≈3.14）．
二，数字问题
1.要搞清楚数的表示方法：
一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），则这个三位数表示为：
100a+10b+c．
2.数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
例2．有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
例3．一个2位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个2位数。
三：
商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）
（1）销售问题中常出现的量有：
进价（或成本）、售价、标价（或定价）、利润等。
（2）利润问题常用等量关系：
商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品售价＝商品标价×折扣率
商品利润率＝
×100%＝
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．即商品售价=商品标价×折扣率．
例5：
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
练习1：
某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元，按定价的9折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？
练习2：
甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？
练习3：
某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出
售后，商家所获利润率为40%。
问这种鞋的标价是多少元？
优惠价是多少？
练习4：
某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270元，问该商品原标价多少元？
现销售价是多少？
练习5：
甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？
四：
行程问题——画图分析法
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
1.行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
2.行程问题基本类型
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
抓住两码头间距离不变、水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用
等量关系：
顺水路程=逆水路程．
常见的还有：
相背而行；行船问题；环形跑道问题。
考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题：
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一
目了然。
时钟问题：
⑴将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：
①时针的速度是0.5°/分或每分钟12分之1格。
②分针的速度是6°/分或每分钟1格。
③秒针的速度是6°/秒或360°/分或1格/秒或60格/分。
所以，关于时钟问题，可从12开始转过的角度或转过的格数上找等量关系建立方程。
A:
般行程问题：
追击与相遇问题
例6：
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
（此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
）
练习1：
甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
练习2：
某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
练习3：
在800米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于分钟。
练习4：
一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：
2，问两车每秒各行驶多少米？
练习5：
与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。
⑴行人的速度为每秒多少米？
⑵这列火车的车长是多少米？
练习6：
休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
练习7：
一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。
出发地到目的地的距离是60千米。
问：
步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）
练习8：
某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
练习9：
甲、乙两人相距5千米，分别以2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12千米/时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙……直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。
练习10：
一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？
火车的长度是多少？
若不能，请说明理由。
练习11：
列车在中途受阻，耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提高到每小时50千米，问这样走多少千米，就可以将耽误的时间补上？
练习12：
两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。
⑴两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？
⑵如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？
练习13：
甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。
求两人的速度。
练习14：
一辆汽车上午10：
00从安阳出发匀速行驶，途经曲沟、水冶、铜冶三地，时间如下表，
地名
安阳
曲沟
铜冶
时间
10：
00
10：
15
11：
00
水冶在曲沟和铜冶两地之间，距曲沟10千米，距铜冶20千米，安阳到水冶的路程有多少千米？
练习15：
甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。
（两种方法）
B:
行船与飞机飞行问题：
例7：
一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
练习1：
一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。
练习2：
小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。
练习3：
某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
C:
时钟问题：
练习1：
在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
练习2：
在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：
⑴重合；⑵成平角；⑶成直角；
练习3：
某钟表每小时比标准时间慢3分钟。
若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少？
五：
工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
工程问题常用等量关系：
先做的+后做的=完成量．
例9：
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
例10：
一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
练习1：
甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的
问甲、乙两队单独做,各需多少天?
练习2：
一项工程300人共做,需要40天,如果要求提前10天完成,问需要增多少人?
练习3：
甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？
练习4：
某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．
六：
储蓄问题
1．顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.
2．储蓄问题中的量及其关系为：
利息＝本金×利率×期数本息和＝本金+利息
×100%利息税=利息×税率（20%）
例11：
某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。
半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？
（不计利息税）
七：
配套问题：
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
例12：
某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
例13：
机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
八：
劳力调配问题
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例14．某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？
例15．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
例16：
有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？
九：
比例分配问题
比例分配问题的一般思路为：
设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部分之和=总量。
例14：
甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：
3；乙、丙之比为6：
5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
例15：
学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
十：
方案选择问题
例20．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：
如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：
尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？
为什么？
练习1：
某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机。
已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元。
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
参考答案：
利润问题
练习1：
解：
设每台进价X元，根据题意，得：
（48+X）90%*6–6X=（48+X-30）*9–9X解得：
X=162
则每台定价为：
162+48=210（元）
练习2：
解：
设甲原来单价为X元，根据题意，得：
[x（1-10%）+（100-x）（1+5%）]=100（1+2%）
解得：
x=20则乙原来单价为100-20=80（元）
练习3：
解：
设这种鞋的标价为X元，根据题意，得：
40%=
X=105，则优惠价为105*80%=84（元）
练习4：
解：
设该商品原标价为X元，根据题意，得：
X（1+40%）80%-X=270X=2250则现销售价
为2250（1+40%）80%=2520元
练习5：
解：
设甲成本价为X元，则乙成本价为（500–X）元，根据题意，得：
109X（1+50%）–X+（500-X）（1+40%）90%-（500-X）=157X=300则乙成本价为500-300=200（元）
一般行程问题：
相遇与追击问题
练习1：
解：
等量关系甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程（18千米）
设乙的速度是x千米/时，则列出方程是：
练习2：
解：
等量关系⑴速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程
⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟
老师提醒：
速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：
设预定时间为x小/时，则列出方程是：
15（x－0.25）＝9（x＋0.25）
方法二：
设从家里到学校有x千米，则列出方程是：
练习3：
老师提醒：
此题为环形跑道上，同时同地同向的追击问题（且为第一次相遇）
等量关系：
快者跑的路程－慢者跑的路程＝800（俗称多跑一圈）320t－280t＝800t＝20
练习4：
老师提醒：
将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
等量关系：
快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和
设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则16×3x＋16×2x＝200＋280
练习5：
老师提醒：
将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。
等量关系：
①两种情形下火车的速度相等②两种情形下火车的车长相等
在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。
解：
⑴行人的速度是：
3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒
骑自行车的人的速度是：
10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒
⑵方法一：
设火车的速度是x米/秒，则26×（x－3）＝22×（x－1）解得x＝4
方法二：
设火车的车长是x米，则
练习6：
（提示：
此题为典型的追击问题）
解：
设爸爸用x小时追上我们，则6x＝2x＋2×1
解得x＝0.50.5小时＜1小时45分钟答：
能追上。
练习7：
老师提醒：
此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈
即步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2
解：
设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则5x＋60（x－1）＝60×2
练习8：
解：
方法一：
设由A地到B地规定的时间是x小时，则
12x＝
x＝212x＝12×2＝24（千米）
方法二：
设由A、B两地的距离是x千米，则（设路程，列时间等式）
x＝24答：
A、B两地的距离是24千米。
温馨提醒：
当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。
练习9：
注：
此为二题合一的题目，即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。
只是他们的开始与结束时间是一样的，以此为联系，使本题顿生情趣，为诸多中小学资料所采纳。
解：
设甲、乙两人相遇用x时，则2x＋2x＝5
（千米）
答：
小狗所走的路程是15千米。
练习10：
老师解析：
只要将车尾看作一个行人去分析即可，
前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。
此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。
解：
方法一：
设这列火车的长度是x米，根据题意，得
x＝300答：
这列火车长300米。
方法二：
设这列火车的速度是x米/秒，
根据题意，得20x－300＝10xx＝3010x＝300答：
这列火车长300米。
练习11：
解：
设走x千米就补上耽误的时间，则
x＝20
答：
走20千米就补上耽误的时间。
练习12：
老师解析：
①快车驶过慢车某个窗口时：
研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的
相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！
②慢车驶过快车某个窗口时：
研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的
相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！
③快车从后面追赶慢车时：
研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的
追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！
解：
⑴两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）
慢车经过快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒）
⑵设至少是x秒，（快车车速为20－8）则（20－8）x－8x＝100＋150x＝62.5
答：
至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。
练习13：
解：
设乙的速度是x千米/时，则
3x＋3（2x＋2）＝25.5×2∴x＝52x＋2＝12
答：
甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。
练习14：
解：
设安阳到水冶有x千米，则
或
解，得x＝20答：
安阳到水冶的路程有20千米。
练习15：
解：
设A、B两地间的路程是x千米，则
方法一：
方法二：
x＋36＝36×2×2解，得x＝108答：
A、B两地间的路程是108千米。
行船与飞机飞行问题：
练习1：
解：
设无风时的速度是x千米/时，则3×（x－24）＝
×（x＋24）
练习2：
解：
设水流速度为x千米/时，则9（10－x）＝6（10＋x）解得x＝2答：
水流速度为2千米/时.
练习3：
解：
设A与B的距离是x千米，（请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程）
①当C在A、B之间时，
解得x＝120
②当C在BA的延长线上时，
解得x＝56
答：
A与B的距离是120千米或56千米。
时钟问题：
练习1：
老师解析：
6：
00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，
在6：
00～7：
00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°
以下按追击问题可列出方程，不难求解。
解：
设经过x分钟二针重合，则6x＝180＋0.5x解得
练习2：
解：
⑴设分针指向3时x分时两针重合。
答：
在3时
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