《整式的乘法与因式分解》单元测试题附答案.docx

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《整式的乘法与因式分解》单元测试题附答案

人教版数学八年级上学期

《整式的乘法与因式分解》单元测试

满分120分时间100分钟

一．选择题（每题3分，共计30分）

1．（2020•上蔡县模拟）下列计算正确的是（　　）

A．x5﹣x2＝x3B．（﹣3x3）2＝6x5

C．18x2y3÷3yx2＝6xyD．14m2n3﹣5n3m2＝9n3m2

2．（2019•孝感期末）若x﹣y+3＝0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（　　）

A．9B．﹣9C．3D．﹣3

3．（2020•宜宾期中）若2×4m×8m＝231，则m的值为（　　）

A．3B．4C．5D．6

4．（2020•襄城县期末）已知a2+a﹣4＝0，那么代数式：

a2（a+5）的值是（　　）

A．4B．8C．12D．16

5．（2020•南召县期中）若ab＝1，a+b＝3，则2a2+2b2的值是（　　）

A．7B．10C．12D．14

6．（2020•襄城县期末）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

7．设一个正方形的边长为acm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（　　）

A．9cm2B．6acm2C．（6a+9）cm2D．无法确定

8．（2019•镇平县期末）已知

是方程

的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）

A．25B．45C．﹣25D．﹣45

9．（2019春•牡丹区期末）计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（　　）

A．2B．﹣2C．﹣299D．299

10．（2020•郑州期中）小颖用4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1，S2之间的数量关系为（　　）

A．S1

S2B．S1＝2S2C．S1

S2D．S1＝3S2

二．填空题（每题3分，共15分）

11．（2020•常德）分解因式：

xy2﹣4x＝　　．

12．（2019•内乡县期中）利用乘法公式计算：

1232﹣124×122＝　　．

13．（2020•麻城市期末）已知a

3，则a2

的值是　　．

14．（2019•郓城县期末）在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为　　cm2．

15．（2019•古丈县期末）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

按照前面的规律，则（a+b）6＝　　．

三．解答题（共75分）

16．（8分）（2020•宛城区期中）分解因式：

（1）﹣x2﹣4y2+4xy

（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）

17．（9分）（2020•孟津县期中）说明对于任意正整数n，式子n（n+5）﹣（n﹣3）（n+2）的值都能被6整除．

18．（9分）（2020•惠民县期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把错b看成了6，得到结果是：

x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：

x2+x﹣6．

（1）求出a，b的值；

（2）在

（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果．

19．（9分）（2020•汝阳县期中）求值：

某小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块（如图所示），物业公司计划将中间修建一小型喷泉，然后将周围（阴影部分）进行绿化；

（1）应绿化的面积是多少平方米?

（2）当a＝3，b＝2时求出应绿化的面积．

20．（9分）（2020•郾城区期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程

解：

设x2﹣4x＝y，

原式＝（y+2）（y+6）+4　（第一步）

＝y2+8y+16　（第二步）

＝（y+4）2（第三步）

＝（x2﹣4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　（填序号）．

A．提取公因式B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后?

　　．（填”是”或”否”）如果否，直接写出最后的结果　　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．

21．（10分）（2019•寿县期末）请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；

（2）由

（1），你能得到怎样的等量关系?

请用等式表示；

（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求：

①a+b的值；②a4﹣b4的值．

22.（10分）（2019•兰州期末）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2

（1

）2．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b

（m+n

）2．（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b

m2+2n2+2

mn．

∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b

的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（a，b，m，n均为正整数）

（1）a+b

（m+n

）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：

a＝　　，b＝　　；

（2）当a＝7，n＝1时，填空：

7+　　

（　　

）2

（3）若a+6

（m+n

）2，求a的值．

23．（11分）（2020•新野县期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形

（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：

　　（用字母表示）

（2）请应用这个公式完成下列各题

①计算：

（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）

②计算：

1002﹣992+982﹣972+……+42﹣32+22﹣12

参考答案

一．选择题（每题3分，共计30分）

1．（2020•上蔡县模拟）下列计算正确的是（　　）

A．x5﹣x2＝x3B．（﹣3x3）2＝6x5

C．18x2y3÷3yx2＝6xyD．14m2n3﹣5n3m2＝9n3m2

【解析】D

【解答】A.x5与x2不能合并，故A错误．

B.原式＝9x6，故B错误．

C.原式＝3y2，故C错误．

故选：

D．

2．（2019•孝感期末）若x﹣y+3＝0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（　　）

A．9B．﹣9C．3D．﹣3

【解析】A

【解答】∵x﹣y+3＝0，

∴x﹣y＝﹣3，

∴x（x﹣4y）+y（2x+y）

＝x2﹣4xy+2xy+y2

＝x2﹣2xy+y2

＝（x﹣y）2

＝（﹣3）2

＝9．

故选：

A．

3．（2020•宜宾期中）若2×4m×8m＝231，则m的值为（　　）

A．3B．4C．5D．6

【解析】D

【解答】因为2×4m×8m

＝2×（22）m×（23）m

＝2×22m×23m

＝21+2m+3m

＝25m+1

由于2×4m×8m＝231

所以5m+1＝31

解得m＝6．

故选：

D．

4．（2020•襄城县期末）已知a2+a﹣4＝0，那么代数式：

a2（a+5）的值是（　　）

A．4B．8C．12D．16

【解析】D

【解答】∵a2+a﹣4＝0，

∴a2＝﹣a+4，a2+a＝4，

∴a2（a+5）

＝（﹣a+4）（a+5）

＝﹣a2﹣a+20

＝﹣（a2+a）+20

＝﹣4+20

＝16．

故选：

D．

5．（2020•南召县期中）若ab＝1，a+b＝3，则2a2+2b2的值是（　　）

A．7B．10C．12D．14

【解析】D

【解答】∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，

∴9＝a2+b2+2，

∴a2+b2＝7，

∴2（a2+b2）＝2a2+2b2＝14，

故选：

D．

6．（2020•襄城县期末）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【解析】C

【解答】（a+2b）（a+b）＝a2+ab+2ab+2b2＝a2+3ab+2b2，

则需要C类卡片张数为3．

故选：

C．

7．设一个正方形的边长为acm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（　　）

A．9cm2B．6acm2C．（6a+9）cm2D．无法确定

【解析】C

【解答】根据题意得：

（a+3）2﹣a2＝6a+9，即新正方形的面积增加了（6a+9）cm2，

故选：

C．

8．（2019•镇平县期末）已知

是方程

的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）

A．25B．45C．﹣25D．﹣45

【解析】B

【解答】把

代入方程组得：

，

①﹣②得：

a﹣b＝9，

①+②得：

a+b＝5，

则（a+b）（a﹣b）＝45，

故选：

B．

9．（2019春•牡丹区期末）计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（　　）

A．2B．﹣2C．﹣299D．299

【解析】D

【解答】原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，

故选：

D．

10．（2020•郑州期中）小颖用4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1，S2之间的数量关系为（　　）

A．S1

S2B．S1＝2S2C．S1

S2D．S1＝3S2

【解析】B

【解答】S1

b（a+b）×2

ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，

S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，

∵a＝2b，

∴S1＝a2+2b2＝6b2，S2＝2ab﹣b2＝3b2

∴S1＝2S2，

故选：

B．

二．填空题（每题3分，共15分）

11．（2020•常德）分解因式：

xy2﹣4x＝　　．

【解析】x（y+2）（y﹣2）

【解答】原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），

故答案为：

x（y+2）（y﹣2）

12．（2019•内乡县期中）利用乘法公式计算：

1232﹣124×122＝　　．

【解析】1

【解答】原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）＝1232﹣（1232﹣1）＝1232﹣1232+1＝1，

故答案为：

1

13．（2020•麻城市期末）已知a

3，则a2

的值是　　．

【解析】7

【解答】∵a

3，

∴a2+2

9，

∴a2

9﹣2＝7．

故答案为：

7．

14．（2019•郓城县期末）在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为　　cm2．

【解析】110

【解答】12.752﹣7.252，

＝（12.75+7.25）（12.75﹣7.25），

＝20×5.5，

＝110．

故答案为：

110．

15．（2019•古丈县期末）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：

（a+b）1＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

按照前面的规律，则（a+b）6＝　　．

【解析】（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．

【解答】观察图形，可知：

（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．

故答案为：

（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．

三．解答题（共75分）

16．（8分）（2020•宛城区期中）分解因式：

（1）﹣x2﹣4y2+4xy

（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）

解：

（1）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2；

（2）原式＝x2﹣2x+1+2x﹣10＝x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．

17．（9分）（2020•孟津县期中）说明对于任意正整数n，式子n（n+5）﹣（n﹣3）（n+2）的值都能被6整除．

解：

n（n+5）﹣（n﹣3）（n+2）

＝n2+5n﹣n2+n+6

＝6n+6

＝6（n+1）

∵n为任意正整数

∴6（n+1）÷6＝n+1

∴n（n+7）﹣（n+3）（n﹣2）总能被6整除．

18．（9分）（2020•惠民县期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把错b看成了6，得到结果是：

x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：

x2+x﹣6．

（1）求出a，b的值；

（2）在

（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果．

解：

（1）根据题意得：

（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，

（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）﹣ab＝x2+x﹣6，

所以6+a＝8，﹣a+b＝1，

解得：

a＝2，b＝3；

（2）当a＝2，b＝3时，（x+a）（x+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．

19．（9分）（2020•汝阳县期中）求值：

某小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块（如图所示），物业公司计划将中间修建一小型喷泉，然后将周围（阴影部分）进行绿化；

（1）应绿化的面积是多少平方米?

（2）当a＝3，b＝2时求出应绿化的面积．

解：

（1）（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2

＝5a2+3ab．

（2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝45+18＝63．

20．（9分）（2020•郾城区期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程

解：

设x2﹣4x＝y，

原式＝（y+2）（y+6）+4　（第一步）

＝y2+8y+16　（第二步）

＝（y+4）2（第三步）

＝（x2﹣4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　（填序号）．

A．提取公因式B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后?

　　．（填”是”或”否”）如果否，直接写出最后的结果　　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．

解：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故选：

C；

（2）这个结果没有分解到最后，

原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；

故答案为：

否，（x﹣2）4；

（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1

＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1

＝（x2﹣2x+1）2

＝（x﹣1）4．

21．（10分）（2019•寿县期末）请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；

（2）由

（1），你能得到怎样的等量关系?

请用等式表示；

（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求：

①a+b的值；②a4﹣b4的值．

解：

（1）两个阴影图形的面积和可表示为：

a2+b2或（a+b）2﹣2ab；

（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；

（3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，

∴①（a+b）2＝a2+b2+2ab

＝53+2×14＝81

∴a+b＝±9，

又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．

②∵a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），

且∴a﹣b＝±5

又∵a＞b＞0，

∴a﹣b＝5，

∴a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）＝53×9×5＝2385．

22.（10分）（2019•兰州期末）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2

（1

）2．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b

（m+n

）2．（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b

m2+2n2+2

mn．

∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b

的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（a，b，m，n均为正整数）

（1）a+b

（m+n

）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：

a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；

（2）当a＝7，n＝1时，填空：

7+　4　

（　2　

）2

（3）若a+6

（m+n

）2，求a的值．

解：

（1）（m+n

）2＝m2+3n2+2

mn，

∴a＝m2+3n2，b＝2mn；

（2）∵a＝7，n＝1，

∴m2+3n2＝7，b＝2mn，

∴m＝2，b＝4，

∴7+4

（2

）2，

（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，

∵a、m、n均为正整数，

∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，

当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，

当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，

∴a的值为12或28．

故答案为m2+3n2，2mn；4，2．

23．（11分）（2020•新野县期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形

（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：

　　（用字母表示）

（2）请应用这个公式完成下列各题

①计算：

（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）

②计算：

1002﹣992+982﹣972+……+42﹣32+22﹣12

解：

（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；

（2）（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝（2a）2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2；

（3）原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+……+（2+1）（2﹣1）

＝100+99+98+97+……+4+3+2+1

＝5050．