设t1，t2为方程①的两个实数根，
∴t1t2＝m2－2m.
∵|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2－2m＝±1，
解得m＝1±或m＝1，满足Δ>0.
∴实数m＝1±或m＝1.
题型一 参数方程与普通方程的互化
1．（2018·开封调研）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．
解
（1）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，
即（x－2）2＋y2＝4.
直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，
得（2x－2）2＋y2＝4，即（x－1）2＋＝1，
再将所得曲线向左平移1个单位长度，
得曲线C1：
x2＋＝1，
则曲线C1的参数方程为（θ为参数）．
设曲线C1上任一点P（cosθ，2sinθ），
则点P到直线l的距离
d＝
＝≥，
所以点P到直线l的距离的最小值为.
2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥（直或斜）得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆（ellipse）、双曲线（hyperboler）和抛物线（parabola），在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：
“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ（λ>0且λ≠1），P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．
解 由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，
设M（x，y），则O（0,0），A（3,0）．
因为＝，即＝，
化简得（x＋1）2＋y2＝4，
所以点M的轨迹是以（－1,0）为圆心，2为半径的圆．
由圆的参数方程可得
思维升华消去参数的方法一般有三种
（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．
（2）利用三角恒等式消去参数．
（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f（t）和g（t）的值域，即x和y的取值范围．
题型二 参数方程的应用
例1在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．
解
（1）曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为
y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cosα＋sinα＝0，
于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
思维升华
（1）解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决．
（2）对于形如（t为参数），当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
跟踪训练1已知椭圆C：
＋＝1，直线l：
（t为参数）．
（1）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（2）设A（1,0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标．
解
（1）椭圆C的参数方程为（θ为参数），
直线l的普通方程为x－y＋9＝0.
（2）设P（2cosθ，sinθ），
则|AP|＝＝2－cosθ，
P到直线l的距离
d＝＝.
由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，
又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－.
故P.
题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例2（2017·全国Ⅲ）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
ρ（cosθ＋sinθ）－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解
（1）消去参数t，得l1的普通方程l1：
y＝k（x－2）；
消去参数m，得l2的普通方程l2：
y＝（x＋2）．
设P（x，y），由题设得
消去k得x2－y2＝4（y≠0）．
所以C的普通方程为x2－y2＝4（y≠0）．
（2）C的极坐标方程为
ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4（0<θ<2π，θ≠π）．
联立得
cosθ－sinθ＝2（cosθ＋sinθ）．
故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，得ρ2＝5，
所以交点M的极径为.
思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．
跟踪训练2
（1）（2018·湖北八校联考）已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝，C2的参数方程为（t为参数）．
①将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；
②若C1与C2相交于A，B两点，求|AB|.
解 ①曲线C1的极坐标方程ρ＝，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，∴曲线C1的普通方程为y2＝2x，曲线C2的参数方程为（t为参数），消去参数t，得C2的普通方程为x＋y＝4.
②将C2的参数方程代入C1的普通方程并化简得t2－3t＝0，解得t1＝0，t2＝6，故|AB|＝|t1－t2|＝6.
（2）已知直线l：
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
①将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解 ①ρ＝2cosθ变形为ρ2＝2ρcosθ.（ⅰ）
将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入（ⅰ）式即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.（ⅱ）
②将代入（ⅱ）式，
得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
1．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）经过点P（平面直角坐标系xOy中的点）作直线l交曲线C于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程．
解
（1）由曲线C的参数方程，得
所以cos2θ＋sin2θ＝2＋y2＝1，
所以曲线C的普通方程为＋y2＝1.
（2）设直线l的倾斜角为θ1，则直线l的参数方程为（t为参数），
代入曲线C的直角坐标方程，得（cos2θ1＋4sin2θ1）t2＋（2cosθ1＋4sinθ1）t－2＝0，
所以t1＋t2＝－，由题意知t1＝－t2，
所以2cosθ1＋4sinθ1＝0，得k＝－，
所以直线l的方程为x＋2y－2＝0.
2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．
解
（1）由得y＝2x＋6，
故直线l的普通方程为2x－y＋6＝0，
由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，
所以x2＋y2＝2x，即（x－）2＋y2＝2，
故曲线C的直角坐标方程为（x－）2＋y2＝2.
（2）根据题意设点M（＋cosθ，sinθ），
则x＋y＝＋cosθ＋sinθ＝＋2sin，
所以x＋y的取值范围是[－2＋，2＋]．
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0.
（1）求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）设M是曲线C上的一动点，求M到直线l的距离的最小值．
解
（1）由得＋y2＝1，
故曲线C的普通方程为＋y2＝1.
由ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0及x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得x－2y＋6＝0.
故直线l的直角坐标方程为x－2y＋6＝0.
（2）设M（2cost，sint），则点M到直线l：
x－2y＋6＝0的距离d＝＝，
所以当sin＝1时，dmin＝，
即M到直线l的距离的最小值为.
4．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）点P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．
解
（1）因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以x2＋y2＝2y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.
（2）设z＝x＋y，
由圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，
得（x＋1）2＋（y－）2＝4，
所以圆C的圆心是（－1，），半径是2.
将代入到z＝x＋y，得z＝－t.
又直线l过C（－1，），圆C的半径是2，
所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，
即x＋y的取值范围是[－2,2]．
5．已知曲线C1：
（t为参数），曲线C2：
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
（t为参数）的距离的最小值．
解
（1）曲线C1：
（x＋4）2＋（y－3）2＝1，
曲线C2：
＋＝1，
曲线C1是以（－4,3）为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（2）当t＝时，P（－4,4），Q（8cosθ，3sinθ），
故M.
曲线C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|，
从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取最小值.
6．已知曲线C1的参数方程为（α为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C1上的点按坐标变换得到曲线C2，以原点为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若直线θ＝（ρ∈R）与曲线C1交于M，N两点，与曲线C2交于P，Q两点，求的值．
解
（1）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α，得＋＝1.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴3ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝12，
即曲线C1的极坐标方程为ρ2（3＋sin2θ）＝12.
又由已知得
代入＋＝1，得＋＝1，
∴曲线C2的直角坐标方程为（x－2）2＋（y－2）2＝9.
（2）将θ＝代入ρ2（3＋sin2θ）＝12，得ρ2＝，
∴ρ＝±，∴|MN|＝.
又直线的参数方程为（t为参数），
代入（x－2）2＋（y－2）2＝9，整理得t2－2（＋1）t＋7＝0，分别记P，Q两点对应的参数为t1，t2，则
∴|PQ|＝|t1－t2|＝＝2，
∴＝＝.
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