完整word版北师大版七年级下册数学培优压轴题.docx

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北师大版七年级下册数学培优压轴题

一．解答题（共8小题）

1．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

2．

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD．

求证：

EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

4．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=　　；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？

请说明理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？

（只需直接写出你的猜想，不必证明）

5．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．

1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；

2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．

附加题：

如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．

6．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

7．已知：

等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：

PA+PD+PC＞BD．

8．认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：

（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？

并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

2018年05月08日wujun的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

【解答】解：

∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS）；

∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE=∠CBF=30°，

∴AE=

BE，CF=

BF；

∵∠MBN=60°，BE=BF，

∴△BEF为等边三角形；

∴AE+CF=

BE+

BF=BE=EF；

图2成立，图3不成立．

证明图2．

延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，

在△BAE和△BCK中，

则△BAE≌△BCK，

∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，

∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，

∴∠FBC+∠ABE=60°，

∴∠FBC+∠KBC=60°，

∴∠KBF=∠FBE=60°，

在△KBF和△EBF中，

∴△KBF≌△EBF，

∴KF=EF，

∴KC+CF=EF，

即AE+CF=EF．

图3不成立，

AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．

2．

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD．

求证：

EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【解答】证明：

（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=

∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又∵AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．

∴EF=BE+FD

（2）

（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．

（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．

证明：

在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADF．

∵AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

=∠EAF=

∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

∵AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF

∵EG=BE﹣BG

∴EF=BE﹣FD．

3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　DE∥AC　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　S1=S2　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

【解答】解：

（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=

AB，

∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

故答案为：

DE∥AC；S1=S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此时S△DCF1=S△BDE；

过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，F1D∥BE，

∴∠F2F1D=∠ABC=60°，

∵BF1=DF1，∠F1BD=

∠ABC=30°，∠F2DB=90°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=

×60°=30°，

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

×60°=30°，

又∵BD=4，

∴BE=

×4÷cos30°=2÷

，

∴BF1=

，BF2=BF1+F1F2=

，

故BF的长为

或

．

4．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=　a　；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？

请说明理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？

（只需直接写出你的猜想，不必证明）

【解答】解：

（1）设AP的长是x，则BP=2a﹣x，

∴S△APC+S△PBD=

x•

（2a﹣x）•

（2a﹣x）

x2﹣

ax+

a2，

当x=﹣

=﹣

=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，

故答案为：

a；

（2）α的大小不会随点P的移动而变化，

理由：

∵△APC是等边三角形，

∴PA=PC，∠APC=60°，

∵△BDP是等边三角形，

∴PB=PD，∠BPD=60°，

∴∠APC=∠BPD，

∴∠APD=∠CPB，

∴△APD≌△CPB，

∴∠PAD=∠PCB，

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠AQC=180°﹣120°=60°；

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．

理由：

∵△APC是等边三角形，

∴PA=PC，∠APC=60°，

∵△BDP是等边三角形，

∴PB=PD，∠BPD=60°，

∴∠APC=∠BPD，

∴∠APD=∠CPB，

∴△APD≌△CPB，

∴∠PAD=∠PCB，

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠AQC=180°﹣120°=60°．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．

1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；

2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．

附加题：

如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．

【解答】解：

△DEF是等腰三角形

证明：

如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P

∵Rt△ABC中AB=AC

∴∠BAC=90°，∠ACB=45°

∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP

∵AM⊥BD

∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°

∴∠ABD=∠CAP

∴△BAD≌△ACP

∴AD=CP，∠ADB=∠P

∵AD=CE

∴CE=CP

∵CN=CN

∴△CPN≌△CEN

∴∠P=∠CEN

∴∠CEN=∠ADB

∴∠FDE=∠FED

∴△DEF是等腰三角形．

附加题：

△DEF为等腰三角形

证明：

过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P

∵Rt△ABC中AB=AC

∴∠BAC=90°，∠ACB=45°

∴∠PCN=∠ACB=∠ECN

∵AM⊥BD

∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°

∴∠ABD=∠CAP

∴△BAD≌△ACP

∴AD=CP，∠D=∠P

∵AD=EC，CE=CP

又∵CN=CN

∴△CPN≌△CEN

∴∠P=∠E

∴∠D=∠E

∴△DEF为等腰三角形．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

【解答】解：

（1）判断：

EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，

（2）成立．

连接DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS），

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC．

又∵D，E，F是三边的中点，

∴EF=DF=BF．

∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN，

在△DBM和△DFN中，

，

∴△DBM≌△DFN，

∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，

∴NF∥BD，

∵E，F分别为边AC，BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BD，

∴F在直线NE上，

∵BF=EF，

∴MF=EN．

（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．

连接DF、DE，

由

（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，

在△DNE和△DMF中，

∴△DNE≌△DMF，

∴MF=NE．

7．已知：

等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：

PA+PD+PC＞BD．

【解答】猜想：

AP=BP+PC，

（1）证明：

延长BP至E，使PE=PC，连接CE，

∵∠BPC=120°，

∴∠CPE=60°，又PE=PC，

∴△CPE为等边三角形，

∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，

∵△ABC为等边三角形，

∴AC=BC，∠BCA=60°，

∴∠ACB=∠PCE，

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，

即：

∠ACP=∠BCE，

∴△ACP≌△BCE（SAS），

∴AP=BE，

∵BE=BP+PE，

∴AP=BP+PC．

（2）证明：

在AD外侧作等边△AB′D，

则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，

∵∠APD=120°∴由

（1）得PB′=AP+PD，

在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，

∴PA+PD+PC＞CB′，

∵△AB′D、△ABC是等边三角形，

∴AC=AB，AB′=AD，

∠BAC=∠DAB′=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，

即：

∠BAD=∠CAB′，

∴△AB′C≌△ADB，

∴CB′=BD，

∴PA+PD+PC＞BD．

8．认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：

（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？

并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

【解答】解：

（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：

，

当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：

，

当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：

，

当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：

，

…

∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：

；

（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：

2n；

（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：

1+1=2=21，

当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：

1+2+1=4=22，

当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：

1+3+3+1=8=23，

当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：

1+4+6+4+1=16=24，

…

∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：

S=2n．

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