湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案.docx
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湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案
湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
（）1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={5},则（CUA）∪B=
A．{5}B．{3,4,5}C．{3,4}D．{1,2,5}
U，∴（CUA）∪B={3,4,5}．故选B
【解析】∵CA3,4,5
1
x
（）2．f（x）（）2,x[1,2]
2
的最大值为
A．4B．3C．
5D．
2
9
4
1
x
【解析】∵函数f（x）（）2,是减函数，∴f
（1）4为该函数在区
2
间[-1,2]上的最大值．故选A
（）3．“x1或x2”是“x1”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】∵前者后者,后者亦前者．故选D
（）4．不等式2x15的解集为
A．xx2B．xx3
C．x3x2D．xx3或x2
【解析】由2x152x15或2x15,
解得x3或x2．故选D
（）5．已知向量a（2,3），b（1,m），且a//b，则m=
A．
3B．
2
3C．3D．3
2
1
【解析】由
2
1
3
m
3
m．故选A
2
（）6．已知
4π
cosα,（,0）
α,则tanα
52
A．
3B．
5
4C．
3
3D．
4
4
3
【解析】由
4
π
cosα,（,0）
α
52
sin
3
α1cos，
2α
5
∴
tan
sin3
α
α．故选C
cos4
α
2x
（）7．已知定义在R上的奇函数f（x）,当x0时,（）2,
fxx则f
（1）
A．3B．1C．-1D．-3
2．故选D【解析】依题意，知f
（1）-f
（1）（121）3
（）8．设
0.2
a，blog30.2，
1.7
5
c0.2，则
A．abcB．bacC．cbaD．bca
【解析】由指数及对数函数性质知b﹤0，0﹤c﹤1,a﹥1．故选D
（）9．已知点P（4,5）,点Q在圆:
（1）2（y1）24
C上移动,则PQ的
x
取值范围为
A．[1,7]B．[1,9]C．[3,7]D．[3,9]
【解析】∵PC5,r2,PQ[PCr,PCr]．故选C
（）10．已知a,b,c为三条不重合的直线，给出下面三个命题：
①若ab,ac,则b//c；②若ab,ac,则bc；
③若a//b,bc,则ac，其中正确的命题为
A．③B．①②C．①③D．②③
【解析】由于①②都错，只有③才是对的．故选A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
2
11．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个
球，则取到的球不是黑球的概率为．
【解析】p（非黑）1
4
13
9
13
12．已知数列
2，则
a的前n项和Snn2n
n
a．
2
【解析】835
a2SS
21
13．若不等式x2xc0的解集为x2x1,则c=．
【解析】由21cc2
14．6位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有种
不同的排法（用数字作答）．
25【解析】用捆绑法240
NP2P
5
2y
2
15．已知A,B为圆1
x上的两点，AB3,O为坐标原点，则
AB．
OA
【解析】依题意，有
1131
cosAOB，即
2112
0
AOB120，
∴
0
ABOA150，故ABOA
31cos150
0
3
2
三、解答题（本大题共7小题，每小题都为10分，其中第21、22小题为选做
题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．已知函数f（）log
（2）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若
x2x
f，求m的值．
（m）f（m1）1
【解析】（Ⅰ）由x20x2，即f（x）的定义域为（2,）；
m20
（Ⅱ）依题意，有
，解得m4．（m1）20
（m2）（m3）2
0.3在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
3
2
ππ
a，．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求）
3b,Asin（B
336
的值．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得
sin
bsinA1
B；
a3
（Ⅱ）∵ba,∴BA，故
cos
22
B1sin，
2B
3
π
∴）
sin（B
6
π．
π
3
sincosBcossinB
662
18．已知各项都为正数的等比数列
a中，a11,a33．（Ⅰ）求
n
a的
n
通项公式；（Ⅱ）设
a的前n项和为Sn，且Sn13（31），求n的值．
n
【解析】（Ⅰ）设公比为q,依题意有123q0
q且，解得q3，
n1
∴
n1n1
a的通项公式为ana1q（3）32；
n
（Ⅱ）∵
nnn
a（q1）1[（3）1]（3）1
S,
1
nq
1
3131
而13（31）
S
n
13（31）（,
31）26
3131
∴（3）n126,即（3）n27，解得n6．
19．如图1，在三棱柱
ABC中，A1A⊥底面ABC，3,
A1BCAA
111
AB1,．（Ⅰ）证明：
BA平面
ACABAC
ACC；（Ⅱ）求直线B1C与
1AACC；（Ⅱ）求直线B1C与
1
平面ACC1A1所成角的正弦值．
A
1
C
1
【解析】
B
1
（Ⅰ）证：
∵AA
1⊥底面ABC，∴BAA1A，
BA
A
1
A
由BAACBA平面ACC1A1；
A
C
AA
1
ACA
B
图1
（Ⅱ）连AC
1，则B1CA1即为直线B1C与平面ACC1A1所成的角，
4
在
2222
Rt中,1,2,5
B1CAA1BACAAACBCABAC
11111111
∴
sin
BA15
B,即直线BC
CA
11与平面ACC1A1所成角的正弦
1
1BC
1
55
1
值为
5
5
．
22
xy
20．已知椭圆1
（2）
C:
a的离心率
2
a4
5
e．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）
3
设直线
值．
5
l:
ykx与椭圆C相交于A,B两点，且AB中点的横坐标为1，求k的
3
【解析】
（Ⅰ）依题意,知椭圆的焦点在x轴上,由
2
5a452
ea9
2
3a9
2y2x
∴椭圆C的方程为1
；94
2y
2
x
（Ⅱ）联合1
及
94
5
2x2kx
ykx（9k4）30110,
3
30k
2
9k4
依题意,有1,解得
2
1
k或
3
4
k．
3
选做题：
请考生在第21、22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第
21题计分．作答时请写清题号．
21．已知复数z1ai（aR），且z2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若a0且
n且，求n的所有值．zR（nN*n12）
2
【解析】（Ⅰ）依题意,有12
a，解得a3；
ππππ
nn
n，
n
（Ⅱ）∵）
z13i2（cosisin，∴z2（cosisin）
3333
n
π
n且，∴0
由于zR（nN*n12）
sin
3
，故n3、6、9、12．
5
22．某厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品的销售收入为1500元，每件乙产品
的销售收入为1000元．这两种产品都需要经过A,B两种设备加工，在A,B设备
上加工1件甲产品所需工作时数为2h,4h,加工1件乙产品所需工作时数为
4h,2h．若A,B两种设备每月工作时数分别不超过200h,250h，则每月生产甲、
乙两种产品各多少件，才能使销售收入最大？
【解析】设每月生产甲、乙两种产品分别为x、y件，销售收入为Z，则
目标函数maxZ1500x1000y
2x4y200
约束条件为4x2y250
*
x,yN
2x
4x
x,
4
2
y
y
y
200
x
250
*y
N
50
25
由，此时，Z150********5100000（元）
即该厂每月生产甲、乙两种产品的数量分别为50、25件时，销售收入可以达
到最大值，最大值为十万元．
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