直角三角形问题特色专题中考数学.docx

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直角三角形问题特色专题中考数学

直角三角形问题

【考点综述评价】

垂直是常见的两直线的位置关系，常常以直角三角形为载体来编制综合题，作为压轴题出现．

一是以直角三角形为背景，结合动点、动线和动面，来探究函数图象问题，探究最值问题，探究开放性问题；二是探究直角三角形，如两线垂直关系、等腰直角三角形等的存在性问题．

解题时需要画出各种状态图形，观察分析图形，把复杂的图形分解成两直线垂直的基本图形，利用勾股定理、三角函数等知识，把各相关线段代数化，转化为函数问题、方程问题来解决，分析问题时还需注意对图形的分类，一般以直角顶点来分类．

【考点分类总结】

考点1：

直角三角形之分类讨论问题

【典型例题】（2017上海市）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．

（1）求证：

△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

【方法归纳】

按直角顶点分类画出图形，利用直角三角形的勾股定理、三角形相似解决．

【变式训练】

（2017内蒙古通辽市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线

过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．

（1）求抛物线

的函数表达式；

（2）若点D在抛物线

的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；

（3）在抛物线

的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？

若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

考点2：

直角三角形为背景的探究问题

【典型例题】（2017内蒙古赤峰市）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．

（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，

（1）中的结论是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．

【方法归纳】

解答此类问题要充分利用直角三角形的性质（勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、特殊角的三角函数等）来证明全等或相似。

【变式训练】

（2017河南省）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．

考点3：

直角三角形存在性问题探究

【典型例题】（2017四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？

若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

【方法归纳】

在动态背景下的直角三角形存在性问题，解题关键是以直角顶点分类，画出各种状态图，转化为方程解决，列方程的方法常常用到勾股定理、三角形相似等。

【变式训练】

（2017山东省潍坊市）如图1，抛物线

经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t何值时，△PFE的面积最大？

并求最大值的立方根；

（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？

若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

考点4：

等腰直角三角形中探究问题

【典型例题】

（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE=CF，求证：

DE=DF；

（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：

①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；

②若CE=4，CF=2，求DN的长．

【方法归纳】

等腰直角三角形蕴含着两个条件，即等腰和直角，在解题时可以先说明是等腰三角形，然后证明顶角是直角；也可以先作垂直，来说明是等腰三角形；或者画出状态图来利用“等腰和直角”来求解．

【变式训练】

（2017辽宁省辽阳市）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．

（1）BE与MN的数量关系是；

（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断

（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若CB=6，CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为．

【新题好题训练】

1．（2017黑龙江省绥化市）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为．

2．（2017河南省）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=

，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．

3．（2017北京市）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

4．（2017枣庄）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：

EA=EC；

（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：

b及∠AEC的度数．

5．（2017山东省烟台市）【操作发现】

（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？

请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：

①求∠EAF的度数；

②线段AE，ED，DB之间的数量关系．

6．（2017辽宁省营口市）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．

（1）若四边形ABCD为正方形．

①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；

②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

（3）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．

7．（2017江苏省徐州市）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．

（1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．

①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值=．

8．（2017四川省攀枝花市）如图，抛物线

与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0）．与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；

（3）点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

9．（2017广西贺州市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线

经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2017江苏省徐州市）如图，已知二次函数

的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为

，P为⊙C上一动点．

（1）点B，C的坐标分别为B（　　），C（　　）；

（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．