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随机振动理论在工程中的应用
【概述】本文简述了有关随机振动的发展历程、基本理论和相关计算方法，并介绍了该领域的研究动态和热点。
同时，本文亦阐述了随机振动理论在工程中的实际应用，并介绍了某桥梁在小地震作用下及海洋平台在波浪作用下的分析计算实例。
1随机振动介绍
1.1随机振动发展历程
振动现象可分为两大类：
一类称为确定性振动，另一类称为随机振动。
所谓确定性振动就是指那些运动时间历程可以用确定性函数来描述的振动，如单自由度无阻尼线性系统的自由振动。
随机振动则与之大大不同了，它是无规则，杂乱无章的振动。
随机振动作为力学的一个分支，主要研究动力学系统在随机性激励（包括外激和参激）下的响应特性。
从1905年爱因斯坦研究布朗运动，人们开始了对随机振动的研究。
现在所说的随机振动始于20世纪50年代中期，当时由于火箭和喷气技术的发展，在航空航天工程中提出了3个问题：
大气湍流引起的飞机抖振（气流分离或湍流激起结构或部分结构的不规则振动）；喷气噪声引起的飞行器表面结构的声疲劳；火箭运载工具中的有效负载的可靠性。
以上问题的共同特点是激励的随机性。
为了解决这些问题，把统计力学、通讯噪声及湍流理论中当时已有的方法移植到机械振动中来，随机振动也由此形成了一门学科。
1.2随机振动基本理论及一些计算方法
表述一个随机振动比表述一个正弦振动要复杂。
表述一个正弦振动用频率和振幅或加速度就可以了。
而随机振动没有固定的周期，它包含的的频率成分是连续的而不像周期振动那样离散的，所以振幅或加速度要用随频率的变化曲线来表示，这个曲线叫频谱曲线。
随机振动有线性与非线性之分。
1.2.1线性随机振动
对于线性系统随机振动的研究，理论上已经比较成熟。
随机响应的精确高效求解方法是目前研究的热点问题之一，常规的求解方法有传统CQC（completequadraticcombination）方法和传统SRSS（squarerootofthesumofsquares）方法。
前一种方法是精确的，但是效率很低，甚至导致不可行；后一种方法效率有所提高，但是精度却有很大牺牲。
正是由于这些不足，近年来大连理工大学林家浩教授提出并发展了的虚拟激励法（快速CQC算法），不仅提高了计算效率，而且精度也可以得到保证。
现简要介绍一下虚拟激励法和精细积分法。
（一）虚拟激励法
虚拟激励法的思想是，将一个包含随机载荷功率谱信息的虚拟载荷加到原系统上面，可以求出一个虚拟的响应，而这个虚拟响应包含了真实响应的功率谱信息，通过计
算虚拟响应模的平方值可得到响应的功率谱密度。
这是虚拟激励法的最基本原理，即由随机激励的自谱密度直接得到响应谱密度。
对于受多点载荷的系统，传统方法需要求出单个激励对应的频率响应函数，并求出各个载荷对响应功率谱的贡献（根据方法不同，考虑是否包括载荷间的相互影响），并对各个贡献求和得到最终的响应功率谱。
而虚拟激励法将包含了载荷功率谱信息的所有虚拟激励一次带入系统动力方程，相当于用一个与之对应的频率响应函数求出了虚拟响应，进而求出响应功率谱。
整个过程没有近似与省略，结果是确定性和解析的，并且提高了计算的效率。
（二）精细积分法
一个动力学系统，总可以描述成微分方程的形式，首先，求得齐次方程的解，要尽可能精确的在数值上计算出所出现的指数矩阵。
问题就归结到矩阵的计算；只要很精细的算出了矩阵，即可计算出时程积分。
上述计算过程特点是将注意力放在增量上，而不是全量上。
其次，求解中考虑外力的非线性方程。
由外力引起的响应可以由杜哈梅尔（Duhamel）积分求出。
虚拟激励法和精细积分法结合之后解决了许多以前无法解决的复杂外载荷问题，已可以在微机上精确求解大型结构的多点非平稳激励问题，非均匀调制演变随机激励问题。
根据两种方法的特点，可以设计并行计算方法，使计算效率进一步提高。
对于线性随机振动，经过总结分析可以发现，近年来学者们进行的主要工作是算法及其应用研究，以及大型或（和）复杂工程问题的分析，如林家浩教授提出虚拟激励法的工程应用仍然是被关注的热点问题之一，再比如，如何把虚拟激励法向包括隧道、大坝、高层建筑、飞行器、船舶甚至机电控制等领域拓展，我们还可以利用虚拟激励法进一步考虑多种因素影响下的随机振动。
1.2.2非线性随机振动
非线性系统的随机振动是科学界研究的热点问题，几乎所有真实的系统都在某种程度上具有非线性特征。
工程振动系统的非线性主要来源于非线性恢复力和非线性阻尼等。
关于非线性随机振动的主要研究工作始于上世纪60年代，关于非线性随机振动问题的研究，主要体现在随机响应求解方法的研究、随机响应特性的分析和非线性随机控制问题研究。
如，随机响应预测、随机稳定性、随机分岔、首次穿越问题和非线性随机控制等。
其中，随机响应的预测是最基本的问题，也是最热点的问题。
非线性随机动力学的发展已经在物理、化学和生物学等领域产生了重要影响。
下面对非线性随机振动的随机响应预测作简单的讨论。
非线性随机响应预测方法众多，有从本质上描述非线性过程的，如扩散过程方法；还有一些线性化的方法，如随机平均方法、统计等价系统方法、多尺度方法、摄动法、级数解法等。
有些学者将几类方法综合，也取得了良好效果。
（一）随机平均方法
随机平均法是一类方法的总称，它基于以下物理解释：
在结构阻尼比较小，随机激励比较弱的时候，随机响应过程变化比较缓慢，这种缓慢变化的过程反映了系统的渐进行为。
现在，随机平均法也被用到了过程变化较快的系统中。
主要有两种方法。
标准随机平均法：
适用于具有线性刚度和非线性阻尼的单自由度和多自由度的阵子在宽带白噪声下的情况。
能量包线随机平均法：
适用于刚度和阻尼都是非线性的单自由度情况。
最
新的发展是将拟保守平均方法用到考虑非白噪声激励、谐和与白噪声联合激励和边界噪声激励情况中。
用基于广义谐和函数的单自由度强非线性系统的随机平均法，处理了随机激励的单自由度碰撞振动系统的稳态响应问题；以及Duffing振子在谐和与随机噪声激励（窄带激励）下的响应问题。
为了扩大解的范围，随机平均方法也用到了多自由度的拟哈密顿系统中，并对活性布朗粒子运动进行了研究。
（二）统计等价系统方法
这类方法是通过一个有已知解的等价系统来代替未知系统，这种等价是按照某种规则来订的。
这种思想也引出了各种统计等价系统方法，如等效线性化方法、等效非线性化方法。
而准则一般为某种偏离的方差最小。
等效线化方法中，等价系统为线性并外加Gauss激励，准则为原系统和等价系统之间的方差最小。
这种方法适用于多自由度系统中平稳和非平稳类型。
新近的一些发展是以能量为基础的随机等价线性化，多级线性化，部分线性化等；结合使用虚拟激励法处理多自由度Duffing振子和迟滞系统问题。
为了提高精度，人们提出了等价非线性系统方法，它的重要特点是非线性的刚度项和随机激励项被保留下来，而阻尼项被线性化了。
等效非线性方法也已经应用到了随机激励的耗散哈密顿系统中。
（三）多尺度方法
多尺度方法是最有效的奇异摄动法之一。
它用不同的时间尺度描述不同的变化节奏，因此多尺度法不仅可以用于计算周期振动，而且可以用于计算衰减振动；不仅可以计算稳态响应，也可以用于计算瞬态响应，并能够有效的处理“久期项”问题。
有些学者把多尺度方法成功地应用到非线性系统的随机振动中。
最新的研究成果包括：
谐和与窄带随机噪声联合作用下的Duffing系统，谐和与有界噪声联合作用下粘弹性系统，确定性谐和与随机噪声联合激励下的二自由度非线性系统主共振响应，谐和与随机噪声联合激励下的VanderPol-Duffing系统参数主共振响应的响应问题，窄带随机噪声作用下的二自由度非线性系统、Duffing系统、多自由度非线性系统以及VanderPol-Duffing系统的响应问题。
对于非线性随机振动的研究，目前主要工作还针对理论和方法方面的，鲜见工程应用方面的成果。
关于非线性随机振动问题，朱位秋认为下面几方面工作是值得关注的，如发展求解高维FPK方程的近似和数值方法以获得系统的响应预测；发展求解后向Kolmogorov方程和Pontryagin方程的近似和数值方法以获得系统的可靠性分析；发展求解动态规划方程的近似和数值方法以获得对系统的控制。
关于非线性随机振动问题的研究同样要遵循从简单到复杂这一规律。
例如，简单非线性系统在多种随机载荷同时作用下的问题的研究。
另外，有必要从几何上认识非线性动力学系统，发展高效、精确、保辛的非线性动力学问题的求解方法。
1.3随机振动理论在工程中的应用
由于工程设计需要的推动，随机振动理论和方法也得到了很大的发展。
随机振动理论，特别是虚拟激励法在工程上最成功的应用是大跨度结构设计中抗震分析，大跨度结构设计中抗震分析，一般应考虑以下几种因素：
1、行波效应：
大跨度结构在地震时各地面节点的运动不宜视作相同，由于地震波以有限速度传播引起了行波效应。
2、部分相关效应：
由于在不均匀土壤介质中地震波的反射和折射，以及由于从一
个大的震源的不同位置传到不同支座的波叠加方式不同，各支座所受到的激励之间并不完全相关。
3、局部场地效应：
不同支承处土壤条件不同，它们影响基岩振幅和频率成分的方式不同。
4、地面激励的非平稳效应：
大部分地震的强震段持续时间只有20s左右，而一些大跨度桥梁的基本周期已接近20秒。
5、非均匀调制效应：
激励的强度及频率分布都为非平稳。
大跨度桥梁的气动抖振分析也是近年来研究的一个热点。
抖振是由于大气湍流成分（即风的脉动分量）引起的结构随机振动。
实际中在用三维有限元方法进行抖振分析时，需要处理阶数很高的风力功率谱，虚拟激励法成了理想的工具。
最新的研究工作主要是考虑多模态耦合时桥梁抖振内力分析、考虑抖振是由非平稳载荷引起时的响应分析以及基于刚度要求的抖振动力可靠性分析。
结构抗震、防风振控制是为了有效减小结构的动力响应，并使其正常工作所必须考虑的问题。
由于虚拟激励法的出现，在处理控制结构的响应问题有了很大的进步，最近学者们的研究工作也是基于此思路，而特点是应用的范围在不断扩大。
譬如，对大跨度结构TMD（调谐质量阻尼器）多点控制体系随机地震响应分析；由多个刚度和阻尼保持为常量且频率呈线性分布的TMD形成的MTMD（多重调谐质量阻尼器）的地震特性分析；在主梁下方安装固定气动翼板后，对大跨度桥梁抖振并给出了有效控制分析等。
随即振动理论也用到了其他领域，如航空与航天工程、船舶与海洋工程、车辆工程、桥梁与建筑工程、核反应堆工程等领域，并已成为有关工程中可靠性设计的不可缺少的理论基础。
1.4随机振动理论展望
随着社会科技的发展，实际应用需求的增加，随机振动理论必将得到进一步的发展。
现有的计算方法将得到进一步的成熟化，新的计算方法亦会被提出和加以完善。
同时，现有的非线性随机振动理论也将会在实际工程中得到越来越多的应用。
此外，随着计算机机技术的发展和普及，随机振动的有限元分析技术亦会进一步精准化，其计算效率也将会得到进一步提升，从而为工程设计精细化提供更大的帮助。
2应用分析实例
下面利用MIDAS有限元分析软件简单作小地震作用下桥梁反应谱、时程分析，用ANSYS有限元分析软件简单作波浪载荷作用下海洋平台随机振动分析。
2.1桥梁抗震分析
2.1.1桥梁结构介绍
该桥为三跨预应力钢筋混凝土斜腿刚架桥，边跨23m，中跨45m，桥长91m，斜腿倾角45o，斜腿长21.1m，斜腿铰支座间距76.24m，边跨梁端及中跨跨中梁高1.5m，梁腿刚结处梁高3m，梁底按二次抛物线变化，斜腿为矩形变截面箱梁（厚0.4m），由梁腿刚结处（6m×2m）至支座（3m×1.5m）按线性变化。
预应力筋采用7股1860钢绞线，混凝土为C50，其他情况这里就不作详细介绍了。
主梁截面参数如图2-1，桥梁有限元模型如图2-2：
图2-1主梁截面
图2-2桥梁有限元模型
2.1.2桥梁模态及地震反应谱分析
在小震作用下，使用振型分解反应谱法进行结构抗震计算。
输入地震荷载所需的各项参数如下：
基本烈度：
7，场地类别：
Ⅱ，重要性修正系数：
1.3，综合影响系数：
1.3，最大周期：
6s。
将以上参数输入后就可自动得到《公路工程抗震设计规范》（JTJ004-89）的地震影响系数曲线，如图2-3：
图2-3地震影响系数曲线
经过质量转换、定义反应谱荷载工况（横桥向、顺桥向）等软件操作步骤后，可利用里兹向量法进行结构的振型计算分析，结果见表2-1，表2-2。
由表2-1可知运用里兹向量法求出的是与三个平动地震动输入直接相关的前15阶振型，X平动、Y平动、Z平动三个方向的振型参与质量分别是97.74％，98.17%，96.16%,满足规范关于振型参与质量达到总质量90%以上的要求。
表2-1结构的振型计算结果
表2-2结构的振型参与有效质量比结果
由表2-2可以看出，模态1是顺桥向的第一阶振型，模态2是横桥向的第一阶振型，模态3是竖向第一阶对称振型，模态4是顺桥向第二阶振型，模态5是竖向第二阶对称振型，模态6是顺桥向第三阶振型。
这六种振型分别如以下图形：
图2-4第一阶模态（顺桥向）
图2-5第二阶模态（横桥向）
图2-6第三阶模态（竖向）
图2-7第四阶模态（顺桥向）
图2-8第五阶模态（竖向）
图2-9第六阶模态（顺桥向）
下面来看看我们为什么要考虑地震作用。
《公路桥梁抗震设计规范》（JTJ004-2005征求意见稿）中规定，对于公路桥梁抗震设计应考虑以下荷载：
（1）永久荷载：
包括结构重力、预应力、混凝土收缩徐变、土压力、水压力以及水的浮力；
（2）地震影响：
包括地震动造成的地震作用、地震动土压力以及地震动水压力。
对恒载作用下（本例中恒载主要考虑结构自重、混凝土收缩徐变、二期恒载、支座沉降等）和地震作用下的反应谱分析结果进行分析并提取相关计算结果：
结构在恒载、反应谱描述的地震作用下墩梁刚接处、中跨跨中、左半跨墩底三个控制截面的内力如表2-3所示：
表2-3控制截面的内力
荷载
位置
轴力N
剪力-Qy
剪力-Qz
扭矩
弯矩-My
弯矩-Mz
恒荷载
墩梁刚结处
-297.22
-5.73
4159.86
-39.65
-15400.7
327.71
跨中
-13088.4
-0.47
-11.57
0.54
28612.41
-144.03
墩底
-18934.6
7.72
-418.82
-6.83
0
119.07
顺桥向
墩梁刚结处
-59.89
6.31
3621.27
-38.77
-9168.51
324.1
跨中
-10902.6
0.08
473.43
1.2
24310.52
-109.55
墩底
-15175.1
28.62
-220.34
-1.82
0
203.78
横桥向
墩梁刚结处
-226.5
318.67
3463.1
221.47
-12172.5
9716.82
跨中
-10902.3
10.02
-6.85
27.45
24137.42
14506.84
墩底
-15727.5
188.31
-318.07
26.99
0
3200.52
由上表可以看出轴向N、剪力Qz、弯矩My主要是由恒载贡献，顺桥向的地震力对
弯矩My也有一些贡献，而剪力Qy、弯矩Mz主要是由横桥向的地震力产生的，这是我们在做结构设计时需要考虑的地方。
2.1.3桥梁地震作用时程分析
根据计算需要，本例选择1940年ElCentroSite南北方向地面加速度时程，其峰值加速度为341.7cm/s2，持续时间53.72s，如图2-10。
注意，我们需要对该地震波的峰值进行调整，取放大系数为0.1。
图2-10时程荷载函数
计算完成后，提取左墩底93#单元j节点所在截面在顺桥向地震作用下的弯矩时程分析结果，如下图：
图2-11顺桥向地震动墩底弯矩时程曲线
同样，我们还可提取结构其他单元的内力以及节点位移、速度、加速度响应等时程
分析结果，这样有助于我们对结构能够进行合理、有效的抗震设计。
2.2海洋平台在波浪载荷作用下随机振动分析
2.2.1海洋平台结构介绍
海洋平台是高出海面的一种海洋工程结构。
海洋平台按结构类型分为固定式平台和移动式平台。
固定式平台又可分为导管架型、塔型和重力型等各种结构形式，移动式平台则包括自生式、半潜式、浮船式和张力腿式等结构形式。
由于海洋平台工作环境是在近海海面上，受到风浪等载荷作用，因此对其安全性和可靠性的分析和评价是确保其在服役年限内正常使用的重要环节。
导管架平台属于固定式平台，由上层平台结构和下部导管架结构组成，导管架底端通过桩基础固定。
上层平台结构包括支撑框架和甲板，主要提供生产和生活的场地，其外形为矩形。
下部导管架由一系列钢管焊接而成，主体是6根主导管，其间用细管件作为撑杆，组成空间塔架结构，桩基础通过主导管插入海底土层。
桩基础在海底土层不可能实现完全固支，为了更好地模拟真实情况，计算时在海底土层以下3m处采用铰接。
模型采用同一种钢材，弹性模量EX=2.0×1011Pa，泊松比PRXY=0.3，密度DENS=7800kg/m3。
结构有限元模型如图2-12所示。
图2-12海洋平台有限元模型
2.2.1海洋平台结构模态分析
结构的前六阶固有频率计算结果如图2-13所示：
图2-13模型前六阶固有频率
结构前六阶模态图形如图2-14~图2-19所示，从中可以看出，海洋平台结构的模态振型遵循X方向弯曲、Y方向弯曲和Z方向扭转交替出现的规律，即：
在前六阶模态振型中，第一阶和第四阶模态的振型是X方向弯曲，第二阶和第五阶模态的振型是Y方向弯曲，第三阶和第六阶模态的振型是Z方向扭转。
图2-14第一阶模态
图2-15第二阶模态
图2-16第三阶模态
图2-17第四阶模态
图2-18第五阶模态
图2-19第六阶模态
2.2.3海浪作用下结构随机振动分析
海洋平台长期在海面上施工作业，下部结构的支撑导管架浸于海水之中，对于这种特殊工作环境，波浪载荷对结构的影响非常重要。
波浪力由拖曳力FD和惯性力FI组成，通常采用Morison公式计算作用在导管架主导管单位长度的总水平力f（t）。
由于水质点的水平速度和水平加速度沿着海水深度变化，所以沿着海水深度对f（t）积分得到波浪对单个主导管的总作用力。
由于波浪的随机性，采用ANSYS谱分析中的功率谱密度（PSD）分析方法计算平台结构在波浪载荷作用下的结构响应。
本次分析所采用的波浪力谱曲线如图2-20所示：
图2-20波浪力谱曲线
变量UY随频率的变化曲线，如图2-21所示：
图2-21S-UY—Frequency变化曲线
从图2-21可以看出，功率谱密度曲线出现两个峰值，结合波浪谱曲线以及模型固有频率可以看出：
第一个峰值产生的原因是因为波浪力谱在该频率处出现极大值；第二个峰值是因为该峰值频率与模型的固有频率一致，当外载荷频率处于固有频率附近时引起结构共振，响应出现放现象，并且第二个峰值明显高于第一个峰值，也就是说共振所引起的效应是最大的，这从另一方面又强调了共振这一现象对结构振动分析以及结构精细化设计的重要性。
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