随机振动理论的数学基础.ppt

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第六章随机振动,前面各章讨论的振动，其激励和响应都是时间的确定函数。

但自然界和工程中大量振动现象都是非确定性的。

例如在不平路面上行驶的车辆振动、地震引起的结构振动等。

它们的共同特征是激励和响应事先不能用时间的确定函数描述。

这种具有不确定性的振动过程称作随机振动。

随机振动虽不具有确定性，但仍可利用统计的方法研究其规律性。

随机振动的数学描述为随机过程，本章将首先简略地讨论随机过程的统计特性。

对激励与响应的统计特性相互关系的研究是随机振动的重要内容。

在介绍工程中几种典型随机振动问题之后，本章着重讨论线性多自由度系统和连续系统在单个和多个随机激励下的响应，主要采用功率谱密度方法在频率域内进行。

最后简要讨论非线性系统的随机振动问题。

6-1随机过程的统计特性,1平稳过程和遍历过程随机过程是大量现象的数学抽象。

在同样条件下重复同样的试验。

例如：

在同样道路同样车速条件下进行n次汽车道路试验，记录下汽车大梁上某个点应力的时间历程。

每次记录称作一个样本函数，样本的数目n必须很大，理论上应有无限多个。

随机过程是所有样本函数的集合，记作X（t）（图6.1）。

在任一采样时刻，随机过程的各个样本值都不相同，构成一个随机变量。

各个值之所以不同，是由于路面的不规则性等许多不确定因素影响的结果，对于随机过程的研究兴趣不在于样本函数本身，而在于总体的统计特性。

图6-1样本函数,例如：

随机过程在瞬时的集合平均值或简称为均值，也称为数学期望，定义为（6.1.1）式中以符号E表示集合平均。

一般与时刻有关。

在和时刻构成两个随机变量和，对各样本和的乘积取集合平均，得到（6.1.2）称作随机过程在和时刻的自相关函数，它既是时间差的函数，也与时刻有关。

如果随机过程的均值和自相关函数与采样时刻无关，则称随机过程为（弱）平稳过程，对于平稳过程，均值为常数（6.1.3）而自相关函数仅依赖时差（6.1.4）,如果平稳随机过程的均值和自相关函数可以用任何一个充分长的样本函数的时间平均值来计算，即（6.1.5）（6.1.6）则称此平稳过程为（弱）遍历过程。

随机过程的遍历性对于工程计算十分重要，因为它为根据实测的少量样本函数来估计此随机过程的统计特性提供理论依据，但要在实践中验证遍历性条件十分困难，只能根据过程的物理性质，先假定有遍历性，待有了足够的数据以后再去检验假定的正确性。

以下讨论的随机过程都假定是平稳的和遍历的。

2相关函数,式（6.1.6）定义的自相关函数是描述随机变量在不同时刻之间相关程度的统计量。

=0时的自相关函数称为随机过程的均方值，用表示（6.1.7）若X表示位移、速度或电流，则均方值相应地与系统的势能、动能或功率成比例。

因此可以认为均方值是平均能量或功率的一种测度。

方差是另一个重要的统计量，定义为（6.1.8）若X（t）为随机振动过程，则均值表示静态分量，均值的平方表示静态分量的能量，方差表示动态分量的能量。

当均值为零时，方差等于均方值。

称作标准差。

自相关函数有以下性质（证明从略）:

（1），自相关函数是时差的偶函数。

（2），时差不为零时的自相关函数就是均方值。

（3），时差为零时随机过程的自相关程度最大。

（4），自相关函数为时差的衰减函数，当时趋于均值的平方（图6.2）。

图6.2自相关函数,设有两个平稳随机过程X（t）和Y（t），它们之间相隔时差的相关性由互相关函数描述，定义为,互相关函数有以下性质（证明从略）：

（1）为非奇、非偶函数，但有。

（2）（3）性质（3）表明平稳随机过程和它的导数过程在同一时刻互不相关。

3.功率谱密度函数,相关函数给出随机过程在时差域内的统计特性，而功率谱密度则是在频率域内表示随机振动过程在各频率成分上的统计特性。

定义平稳随机过程的功率谱密度函数为自相关函数的傅里叶变换，即（6.1.11）,其逆变换为（6.1.12）以上两式构成傅里叶变换对，称作维纳辛钦（WienerX）关系式。

式（6.1.11）的积分存在条件为绝对可积，即（6.1.13）,由于自相关函数的衰减性，此条件自然满足。

平稳随机过程X（t）本身不满足绝对可积条件，因此不能直接作傅里叶变换。

令式（6.1.12）中，得到（6.1.14）可见表示随机过程的均方值在频率域内的分布密度。

由于在电学中电压或电流的平方与功率成正比，因此将称作功率谱密度函数，或简称自谱。

在随机振动中表示能量在各角频率上的分布密度。

根据物理意义推知（6.1.15）由于为偶函数，式（6.1.11）可写为（6.1.16）可见也是的偶函数。

与此类似，式（6.1.12）可写为（6.1.17）,在整个频率域内定义的称作双边功率谱。

工程中实测得到的功率谱仅对的正值有定义，称作单边功率谱，记作，（6.1.18）计算功率谱时通常用频率代替角频率（rad/s），上式可写作,维纳辛钦关系式（10.1.11）和（10.1.12）相应地改写为（6.1.20）（6.1.21）,随机过程的导数过程的功率谱密度可以证明为（6.1.22）同样有（6.1.23）,对于两个平稳随机过程X（t）和Y（t），也可利用傅里叶变换定义它们的互功率谱密度函数，或简称互谱（10.1.24）其逆变换为（10.1.25）,互谱没有自谱那样明显的物理意义，但它在频率域上讨论两个平稳随机过程的相互联系时也具有应用价值，互谱有以下性质（证明从略）：

（1）是复函数，其虚部不等于零。

（2）是的共轭函数。

（3）。

利用此性质可定义量纲一的相干函数为（6.1.26）且有（6.1.27）,4.窄带过程、宽带过程和理想白噪声,根据功率谱密度分布的不同频率范围，可将随机过程区分为窄带过程和宽带过程。

窄带过程包含的频率成分集中在一个狭窄的频带上，功率谱密度函数具有尖峰特性，接近于简谐振动。

随着的增大，其相关程度减小得较缓慢（图6.3a）。

宽带过程包含的频率成分很丰富，分布在较宽的频带上，功率谱密度函数比较平坦，因此有高度的随机性。

时间差稍大一些其相关程度迅速降低（图6.3b）。

极端的宽带过程为理想白噪声，其功率谱密度函数为常数，而具有无限宽频带。

（6.1.28）,图6.3（a）窄带过程（b）宽带过程,代入式（6.1.14），得到的能量为无限大，因此理想白噪声实际上并不存在。

工程中的实际随机过程频带宽度总是有限的。

若在足够宽的有限频带上功率谱密度分布比较均匀，则可将此过程近似地当作理想白噪声以简化计算。

将（6.1.28）代入式（6.1.12）计算理想白噪声的自相关函数，得到（6.1.29）可以证明上式括号内的积分式恰好等于狄拉克分布函数。

为此先将作傅里叶变换，得到（6.1.30）,然后对1进行逆变换，得到（6.1.31）则式（6.1.29）表示的自相关函数可用函数表示为（6.1.32）因此对于理想白噪声，即使相隔极小的时差，彼此已不再相关。

5概率密度函数,

（1）一维概率密度函数一个平稳随机过程X（t），当时间t为给定值时就成为随机变量，利用各样本函数的集合计算此随机变量不大于某个特定值x的概率，记作,当x值变化时可定义函数称为概率分布函数，如图6.4a所示。

P（x）为单调升函数，具有下列性质（6.1.34）,定义一维概率密度函数为（6.1.35）X（t）的值在和之间的概率可用概率密度函数表示为（图6.4b）（6.1.36）,图6.4概率与概率密度函数,则概率分布函数也可定义为（6.1.37）概率密度函数具有下列性质（6.1.38）,前面定义的均值可用概率密度函数p（x）表示为（6.1.39）即随机变量X（t）的一次矩，其几何意义为p（x）曲线与x轴所围面积形心的x坐标（图6.4b）,前面定义的均方值为X（t）的二次矩，（6.1.40）,前面定义的方差为X（t）相对于均值的二次矩，即二次中心矩，（6.1.41）,

（2）联合概率密度函数设有两个随机过程X（t）和Y（t），在给定时刻t构成两个随机变量。

它们同时满足和的概率称为联合概率分布函数，记作P（x,y），（6.1.42）,也可定义联合概率密度函数，使满足（6.1.43）和同时成立的概率为（6.1.44）可用曲面所围成的一部分体积表示（图6.5）。

图6.5联合概率密度函数,联合概率密度函数有以下性质（6.1.45）,若可分离变量（6.1.46）则称X（t）和Y（t）为统计独立。

随机变量X（t）和Y（t）的实连续函数g（x,y）的数学期望或均值可表示为（6.1.47）当时，它的期望值称作x和y之间的协方差，记作，（6.1.48）,定义以下量纲一的量，称作相关系数，（6.1.49）可以证明（6.1.50）,若有（6.1.51）则称随机变量X和Y是不相关的，这时有（6.1.52）,（3）正态过程在随机振动中最常见的一类随机变量的分布函数为正态分布，也称作高斯（CFGauss）分布。

其一维概率密度函数为（6.1.53）是对称于过的垂直轴的一种钟形分布（图6.6）。

图6.6高斯分布曲线,由于标准差是相对于均值的分散度的一种度量因此愈大曲线愈平坦，x的值在左右分布愈分散。

p（x）在无限域上的积分等于1，但在的邻域内的积分等于0.9973，接近为1。

因此工程中常将随机变量在均值附近的变化范围取作。

两个随机变量X和Y的联合正态概率密度函数为（6.1.54）,若相关系数，则简化为（6.1.55）可见当随机变量X和Y服从二维正态分布时，不相关即等同于统计独立。

正态分布是比较简单，也研究得相当充分的一种分布函数。

在实践中如果影响随机变量的因素很多，且每一种因素的影响都很小，就可以近似地认为这个随机变量是正态分布。

对于正态分布的随机变量，只要给出均值和二次矩，其概率密度函数就可根据式（6.1.53）和（6.1.54）完全确定。

当随机过程在每个给定时刻的随机变量均为联合正态分布时，就称此随机过程为正态过程或高斯过程。

许多自然现象如大气湍流、海浪、路面不平度等都可用正态过程近似地描述。

正态过程最重要的特点是经过线性运算之后仍为正态过程。

因此当一个线性系统的激励为正态过程时，其响应也必为正态过程。

正态过程的另一重要特征是它的高次矩可由均值和二次矩导出。

设=0，则有（6.1.56）证明过程从略。

6-2工程中的随机振动问题,1不平路面上行驶的车辆将车辆简化为单自由度质量弹簧阻尼系统，由于路面不平引起接触处的位移激励（图6.7），动力学方程为（6.2.1）,图6.7不平路面上的车辆,实际量测表明，路面沿纵向路程s的不平度h（s）是局部均匀的、具有零均值的、遍历的高斯随机场。

随机场与随机过程名称的不同是由于将时间变量t改为空间坐标s，时间频率也改为波数即以波长代替周期T。

相应地，平稳过程改称为均匀随机场。

设为路程差，则路面不平度相对空间的自相关函数和功率谱密度定义为（6.2.2）（6.2.3）,当车辆以匀速v行驶时，空间与时间之间有以下转换关系（6.2.4）将随机场转换为随机过程，其自相关函数完全相同（6.2.5）,利用式（6.2.4）推导随机过程与随机场的功率谱密度之间的关系，得到（6.2.6）计算波数功率谱密度的经验公式为（6.2.7）,其中根据不同等级的路面不平度作出规定。

将式（6.2.4）中的k代入后得到的功率谱密度与速度v有关（6.2.8）,若将汽车悬挂装置的上下部分质量分别考虑，则可将车辆简化为串联质量的二自由度系统的随机振动问题。

若分别考虑车辆前后轮承受地面激励，也可将车辆简化为在对称平面内运动的刚体，归结为另一种类型的二自由度系统的随机振动。

若考虑更多因素，包括间隙和干摩擦等非线性因素，则车辆模型可更为复杂，工程中多用等效线性化方法分析其统计特性。

2船舶在风浪中的横摇对于开阔洋面上充分发展了的风浪，其波高在同一位置和不太长时间内可认为是零均值的平稳高斯随机过程。

关于波高功率谱密度的计算，国际上广泛采用的公式为（6.2.9）式中为重力加速度，为名义波高，与风速有关。

从图6.8可见海浪能量主要分布在0.10.6Hz之间。

具有零速的船舶在横浪作用下的响应以横摇为主。

列出解耦的横摇动力学方程（6.2.10）式中J为船舶连同水的附加质量在内的转动惯量，c和k分别为粘阻系数和恢复力矩系数，M（t）为随机波浪产生的随机激励力矩。

图6.8海浪的波高功率谱密度,M（t）的功率谱密度与波高功率谱密度、船舶的吃水深度、尺寸、形状及水动力学等因素有关。

因而船舶在随机波浪作用下的横摇问题归结为单自由度线性系统的随机振动问题。

当横摇幅度较大时，还必须考虑恢复力矩和阻尼力矩的非线性因素。

当横摇运动与船舶其他运动耦合时就成为多自由度系统的随机振动问题。

3地震载荷作用下的结构振动重要的建筑物如原子能反应堆、水坝、桥梁等必须将地震载荷作为重要的设计载荷。

地震波传至地表时产生铅垂方向和水平方向的运动。

水平运动对结构的破坏作用尤为巨大。

图6.9为两层楼房的简化模型。

图6.9建筑物的简化模型,只考虑地震加速度的水平分量，列出楼房相对地面的动力学方程,地震有初震、强震和衰减三个阶段，是明显的不平稳随机过程。

工程中有两种处理方法：

一种为确定性方法，即采用尽可能接近一次强地震加速度的记录作为输入，计算结构的响应。

但不能保证另一次地震能得到同样结果。

另一种为随机振动方法，即探讨地震随机过程的一般规律，强震阶段的水平分量常视为零均值平稳高斯随机过程。

如卡耐-塔基米（Kanai-Tajimi）模型，其加速度的功率谱密度为（6.2.12）式中参数和取决于震源至地面的介质性质，对硬土层可取和为一常数。

为考虑地震过程的非平稳性，也可使与确定的时间函数A（t）相乘，称作渐进谱密度。

4风载荷作用下的结构振动风载荷是塔架、烟囱等高层建筑和大跨度桥梁等结构的重要设计载荷。

结构上作用的风载荷可分为定常部分和脉动部分。

刚度较大的建筑只需将定常部分作为静载荷考虑。

对于柔度愈来愈大的高层建筑，则必须同时考虑定常部分和脉动部分，后者为随机载荷。

对于飞机，高空大气湍流产生的突风载荷是重要的设计载荷，这是一种随机载荷。

飞机在严重的湍流中可能造成超载而破坏。

10-3线性系统对单个随机激励的响应,1单自由度线性系统对单个随机激励的晌应设质量弹簧阻尼系统受到随机力F（t）激励，动力学方程为,系统的响应特性可用脉冲响应函数h（t）或复频响应函数描述（图6.10）。

写出杜哈梅积分形式的解，将积分的上下限扩展为不影响结果，（6.3.2）若激励F（t）为平稳随机过程，则稳态响应也是平稳随机过程，其统计特性可计算如下。

图6.10受单个随机激励的单自由度线形系统,

（1）均值利用式（6.1.1）对式（6.3.2）求平均，并将求平均与积分的次序互换，导出由于F（t）为平稳随机过程，有（6.3.4）,则式（6.3.3）化作上式中的积分可用时的复频响应函数值H（0）表示。

得到即响应的均值与激励的均值只相差一个常值乘子H（0）。

当激励的静态分量为零时，响应的静态分量亦为零。

今后为分析方便，只讨论激励力与响应的均值皆为零的情形。

（2）自相关函数利用式（6.1.2）和（6.3.2）计算自相关函数，用表示积分变量，并交换求平均与积分求和的次序，导出（6.3.7）此积分仅依赖于时差与时间t无关。

（3）激励与响应的互相关函数利用式（6.1.9）和（6.3.2）计算激励与响应的互相关函数，导出（6.3.8）,即互相关函数等于激励的自相关函数与脉冲响应函数的卷积积分。

当激励为理想白噪声时，根据式（6.1.32）有（6.3.9）其中为激励的常值功率谱密度。

代人式（6.3.8），得到白噪声激励与响应的互相关函数为（6.3.10）利用此结果可从实验测得的推算出系统的脉冲响应函数。

（4）自谱利用式（6.3.11）和（6.3.7）计算响应的自谱，导出（6.3.11）,注意到中括号内的积分即激励的自谱且由式（2.5.22）导出（6.3.12）其中*号表示复数的共扼,代人式（6.3.11）后得到（6.3.13）此结果表明，根据激励谱与系统的复频响应函数的幅频特性即可求出响应谱。

（5）均方值利用式（6.1.14）和（6.3.13）计算响应的均方值，得到（6.3.14）,当激励为理想白噪声时，等于常值，均方值为（6.3.15）其中积分可查阅附录中的积分公式。

对于弱阻尼系统，其阻尼比，幅频特性曲线在固有频率附近有很尖的峰值，则有更尖的峰值。

当激励谱具有较平坦形状时，式（6.3.14）右端积分中对均方值的贡献主要来自共振频率附近的小区间内，因此可近似地域涸有频率处的激励谱值代替。

亦即近似地认为系统受到功率谱密度的白噪声激励。

从式（6.3.13）还可看出，即使激励谱为较平坦的宽带，但响应谱主要集中在附近的窄带内。

因此线性系统在实践中常起到窄带滤波器的作用。

（6）激励与响应的互谱对式（6.3.8）作傅里叶变换，得到（6.3.16）,导出（6.3.17）此简洁结果表明互谱与激励谱之间通过复频响应函数相联系。

从实验测得与之后，也可利用式（6.3.17）求出复频响应函数所包含的幅频和相频的完整信息。

而利用式（6.3.13）只能得到的幅频特性，且在推导过程中未计入噪声的影响。

式（6.3.17）在有噪声存在时其结果不变，因此关系式（6.3.17）比（6.3.13）更为有用。

在实践中常引入系统的激励与响应的谱相干函数，定义为（6.3.18）,对于线性系统，将式（6.3.13）和（6.3.17）代入后，得到（6.3.19）因此系统为线性时，谱相干函数应等于1。

如果测试得到的谱相干函数不等于1，则可能是系统内存在非线性因素，也可能是测试过程中存在噪声影响。

例6.3.1一单自由度线性系统受到随机激励力F（t）作用（图6.11）。

F（t）是均值为零、自谱为的理想白噪声平稳过程。

求系统响应的自相关函数、自谱、均方值和激励与响应的互相关函数及互谱。

图6.11受随机激励的质量-弹簧系统,解：

已知系统的脉冲响应函数为（a）,将白噪声自相关函数（6.1.32）代人式（6.3.7）计算响应的自相关函数，得到（b）,将式（a）代入上式，积分得到（c）,由于自相关函数的偶函数性质，对于情形，可将上式中的，代以，写作（d）此相关函数为幅值按负指数衰减的振荡曲线。

利用式（6.1.14）计算响应的均方值，得到（e）当响应的自相关函数不易求得时，也可利用式（6.3.15）计算响应的均方值，其中的积分可应用附录中的积分公式计算。

将式（6.3.13）中的代以式（2.1.5），代以，计算响应的自谱，得到（f）,利用式（6.3.8）计算激励与响应的互相关函数，得到（g）,利用式（6.3.17）计算激励与响应的互谱，得到（h）,2多自由度线性系统对单个随机激励的响应以上对单自由度线性系统的讨论过程也适用于受单个激励F（t）的多自由度线性系统（图6.12）。

设系统的自由度为n，其第i个广义坐标的响应统计特性与单自由度系统响应的统计特性表达式完全相同，只需相应地用对激励力F（t）的脉冲响应函数和复频响应函数进行计算。

实践表明，在频率域内进行响应的统计特性分析要比时差域内的分析简单得多。

图6.12受单个随机激励的多自由度线性系统,例6.3.2图6.13为一双层隔振系统，m为隔振对象的质量，为隔振器质量，弹簧和阻尼皆为线性。

设基础位移激励冗是均值为零自谱为的理想白噪声。

求振动传递率和隔振对象位移响应的均方值。

图6.13双层隔振系统,解：

设绝对位移如图示，列出系统的动力学方程（a）,定义振动的传递率的平方为隔振对象输出量的自谱与输入量的自谱之比，即（b）,对于线性系统，利用式（6.3.13）从上式导出（c）为计算各复频响应函数，设输入量简谐变化，各输出量为（d）,将各简谐函数代人方程组（a），得到，的一组线性代数方程并解出（e）,其中（f）,且有（g）代人式（e），（c）计算振动的传递率，得到（h）,隔振对象位移的均方值为（i）可利用附录中的积分表计算。

6.4线性系统对多个随机激励的响应,1脉冲晌应矩阵和幅频响应矩阵设n自由度的线性系统受到m个平稳随机激励（），讨论系统的响应问题（图6.14）第i坐标的响应对于沿第j坐标的激励的脉冲响应函数和复频响应函数分别为和。

图6.14受多个随机激励的多自由度线性系统,它们分别构成脉冲响应矩阵和复频响应矩阵（6.4.1）,由于有个坐标不受激励，因此可将原阶矩阵中相应的列略去,成为阶矩阵，和互相构成傅里叶变换对，即有（6.4.2）（6.4.3）工程中常采用实验方法测出或,2响应的统计特性将和排成列阵（6.4.4）分别表示系统激励和响应，则可进行与上节类似的分析，只须将标量以矩阵代替。

（1）相关矩阵n个响应的自相关和互相关函数为（6.4.5）以为元素构成的相关矩阵（6.4.6）,将上式中的和以杜哈梅积分表示，用和作为积分变量，得到（6.4.7）进行与式类似的推倒，得到响应与激励的相关矩阵之间的关系式（6.4.8）,

（2）功率谱密度矩阵定义平稳随机过程的功率谱密度矩阵为相关矩阵的傅里叶变换，而后者为前者的逆变换，则对式（6.4.8）两边作傅里叶变换后，进行与式（6.3.11）类似的推导（6.4.9）,得到响应与激励的功率谱密度矩阵之间的关系式（6.4.10）其中为的共扼阵，即,（3）激励与响应的互相关矩阵n个响应与m个激励之间的互相关矩阵为（6.4.11）,进行与式（6.3.8）类似的推导，（6.4.12）（6.4.13）,（4）激励与响应的互谱密度矩阵定义激励与响应的互谱密度矩阵为互相关矩阵的傅里叶变换。

对式（6.4.13）两边作傅里叶变换后，进行与式（6.3.16）类似的推导（6.4.14）,得到互谱密度矩阵与激励的功率谱密度矩阵和系统的复频响应矩阵之间的关系式（6.4.15）,例6.4.1以匀速v沿不平路面行驶的汽车简化为刚体，质量和对质心的转动惯量为m和，质心位置如图6.15所示，弹簧和粘阻系数均已知，设路面高度沿路程s的变化为高斯随机场，汽车的前后轮着地高度和的功率谱密度为已知。

求响应的功率谱密度矩阵。

图6.15不平路面上的汽车,解：

以汽车的质心垂直位移x和相对水平面的倾角为义坐标，建立二自由度刚体微幅振动的动力学方程（a）（b）,先计算系统的幅频响应，为此令（c）代入方程（a）和（b），得到和的二元线性代数方程组，解出（d）,再令（e）代入方程（a）和（b），得到和的二元线性代数方程组，解出,其中（g）,则得到复频响应矩阵（h）作为激励的前后轮高度变化和之间具有相关性，（i）,其中为常值时差，则相关函数为（j）功率谱密度为（k）,激励过程和有相同的自谱由路面随机场导出，见式（6.2.6）。

用同样步骤还可导出（l）（m）,得到激励的功率谱密度矩阵（n）将式（h）和（n）代大式（6.4.10），得到响应的功率谱密度矩阵（o）,6.5随机响应的模态分析法,1多自由度系统的随机晌应除以上直接应用脉冲响应函数和复频响应函数求线性系统随机响应的方法以外，模态分析法是另一种求随机响应的有效方法。

由于只有低阶模态对响应有显著影响，因此模态分析法对于自由度多的系统可明显减少计算工作量。

讨论受随机激励的n自由度线性系统，其动力学方程为（6.5.1）其中质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K可利用作以下变换（6.5.2）,其中为系统的简正模态矩阵，E为n阶单位阵，为本征值矩阵,为振型阻尼矩阵，亦假设为对角阵（6.5.3）（6.5.4）,将坐标x变换为简正坐标（6.5.5）则动力学方程解稠为（6.5.6）,包含n个独立的微分方程（6.5.7）可对每个方程利用杜哈梅积分计算随机响应，（6.5.8）,写作矩阵形式（6.5.9）其中为正则坐标下的脉冲响应矩阵。

由于各方程相互独立，因此为对角阵，（6.5.10）,将式（6.5.9）变换至原坐标x（t），积分变量改作，得到（6.5.11）利用上式导出响应的相关矩阵（6.5.12）,对上式两端进行傅里叶变换，经过推导，得到响应的功率谱密度矩阵（6.5.13）其中是关于正则坐标的复频响应矩阵，为其共轭阵（6.