所以实数a的取值范围是.
答案 A
热点三 函数的实际应用
【例3】
（1）（2016·四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ ）
A.2018年B.2019年
C.2020年D.2021年
（2）（2017·河南省实验中学期中）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：
万元）与隔热层厚度x（单位：
cm）满足关系：
C（x）＝（0≤x≤10，k为常数），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
①求k的值及f（x）的表达式；
②隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？
并求最小值.
（1）解析 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130（1＋12%）n.
依题意130（1＋12%）n>200，得1.12n>.
两边取对数，得n·lg1.12>lg2－lg1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
（2）解 ①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C（x）＝（0≤x≤10），
∴f（x）＝6x＋＝6x＋（0≤x≤10）.
②由①得f（x）＝2（3x＋5）＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10，∴y′＝2－，
当5≤t<20时，y′<0，y＝2t＋－10为减函数；
当200，y＝2t＋－10为增函数.
∴函数y＝2t＋－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，
因此f（x）的最小值为70.
∴隔热层修建5cm厚时，总费用f（x）达到最小，最小值为70万元.
探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点
（1）认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.
（2）要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.
【训练3】（2017·成都调研）某食品的保鲜时间y（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.
解析 由已知条件，得192＝eb，
又48＝e22k＋b＝eb·（e11k）2，
∴e11k＝＝＝，
设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋b＝192e33k＝192（e11k）3＝192×＝24.
答案 24
1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a（a>0，且a≠1）的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.
2.
（1）忽略概念致误：
函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.
（2）零点存在性定理注意两点：
①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.
3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解.
（3）转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
（1）构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
（2）构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.
（3）构建f（x）＝x＋（a>0）模型，常用基本不等式、导数等知识求解.
一、选择题
1.（2017·北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：
lg3≈0.48）
A.1033B.1053C.1073D.1093
解析 M≈3361，N≈1080，≈，
则lg≈lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.∴≈1093.
答案 D
2.（2017·长郡中学二模）函数f（x）＝lnx＋ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（ ）
A.B.C.（1，e）D.（e，＋∞）
解析 函数f（x）＝lnx＋ex在（0，＋∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点.
当x→0＋时，f（x）→－∞；又f＝ln＋e＝e－1>0，
∴函数f（x）＝lnx＋ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是.
答案 A
3.（2017·西安调研）若函数f（x）＝a|2x－4|（a>0，且a≠1），满足f
（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A.（－∞，2]B.[2，＋∞）
C.[－2，＋∞）D.（－∞，－2]
解析 由f
（1）＝，得a2＝，解得a＝或a＝－（舍去），即f（x）＝.由于y＝|2x－4|在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增，所以f（x）在（－∞，2]上递增，在[2，＋∞）上递减.
答案 B
4.（2017·合肥二模）已知函数f（x）＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.[－1，0）B.（1，2]
C.（1，＋∞）D.（2，＋∞）
解析 当x≤2时，由－x2＋4x＝0，得x＝0.
当x>2时，令f（x）＝log2x－a＝0，得x＝2a，
又函数f（x）有两个不同零点，
∴2a≠0且2a>2，解得a>1.
答案 C
5.（2017·德阳一诊）将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过
mmin甲桶中的水只有L，则m的值为（ ）
A.5B.8C.9D.10
解析 ∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f（t）＝a·，
因此，当kmin后甲桶中的水只有L时，
f（k）＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 A
二、填空题
6.（2016·浙江卷）已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2，因此ab＝（b2）b＝b2b＝ba，∴a＝2b，b2＝2b，又b＞1，解得b＝2，a＝4.
答案 4 2
7.（2017·湖北七校联考）已知f（x）是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，则实数λ的值是________.
解析 令y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0，则f（2x2＋1）＝－f（λ－x）＝f（x－λ），因为f（x）是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8（1＋λ）＝0，解得λ＝－.
答案 －
8.（2017·北京燕博园研究中心）函数f（x）＝若函数g（x）＝f（f（x））－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析 设t＝f（x），令f（f（x））－a＝0，则a＝f（t）.在同一坐标系内作y＝a，y＝f（t）的图象（如图）.当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2>t1）且t1<－1，t2≥－1，当t1<－1时，t1＝f（x）有一解；当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.综合当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点.
答案 [－1，＋∞）
三、解答题
9.（2017·天津期末）已知函数f（x）＝ex－e－x（x∈R，且e为自然对数的底数）.
（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；
（2）是否存在实数t，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R都成立？
若存在，求出t；若不存在，请说明理由.
解
（1）∵f（x）＝ex－，
∴f′（x）＝ex＋，
∴f′（x）>0对任意x∈R都成立，
∴f（x）在R上是增函数.
又∵f（x）的定义域为R，且f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），
∴f（x）是奇函数.
（2）存在.由
（1）知f（x）在R上是增函数和奇函数，则f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R都成立，
⇔f（x2－t2）≥f（t－x）对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤（x2＋x）min＝－⇔t2＋t＋＝≤0，
又≥0，∴＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R都成立.
10.（2017·山东实验中学月考）候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：
m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3（其中a，b是实数）.据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
（1）求出a，b的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解
（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
（2）由
（1）知，v＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
11.（2017·山东卷改编）已知当x∈[0，1]时，函数y＝（mx－1）2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围.
解 y＝（mx－1）2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；
y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
①若0＜m≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.
②若m＞1，两函数的大致图象如图2所示.
为使两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，只需（m－1）2≥1＋m，得m≥3或m≤0（舍去）.
综上，正实数m的取值范围是（0，1]∪[3，＋∞）.
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