等腰三角形三线合一典型题型.docx
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等腰三角形三线合一典型题型
等腰三角形三线合一专题训练
例1：
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
变1：
如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。
求证：
CE⊥BE。
变2：
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
（1）求证：
AE⊥BE；
（2）求证：
E是CD的中点；（3）求证：
AD+BC=AB.
变3：
△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：
（1）DM＝DN。
⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
（1）已知：
如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．
求证：
DE=DF．
（2）已知：
如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点． 求证：
BE=CF．
利用面积法证明线段之间的和差关系
1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
变1：
若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）
A17B22C17或22D13
根据等腰三角形的性质寻求规律
例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=
∠ABC，∠2=
∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？
若∠1=
∠ABC，∠2=
∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
若∠1=
∠ABC，∠2=
∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3．如图，P是等边三角形ABC的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：
PB：
PC=3：
4：
5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）
A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定
例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。
例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。
例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说明DB=DE。
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
例6、
（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。
（2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为；
（3）若直角三角形三边为1，2，c，则c=。
例7、下列说法：
①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；
③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；
④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。
例8、正三角形ABC所在平面有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个
例9.四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ）
A．2B．3C．
D．
例10.已知△ABC为正三角形，P为其一点，且AP=4，BP=
，CP=2，则△ABC的边长为（）
（A）
（B）
（C）4（D）
三．巩固练习
1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。
2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A=。
3、等腰三角形的一个角是700，则它的顶角为。
4、有一个角为40°的等腰三角形的另外两个角的度数为.140°呢
5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝105o，直线BD交AC于D，
把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，
如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于（）
（A）40o（B）30o（C）25o（D）15o
6、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（）
（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形
7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。
A、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等
C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等
8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
9、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）
A、100°B、75°C、150°D、75°或100°
10、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝…（）
A、1250B、1300C、900D、1200
11、如图，△ABC中，AB＝AC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（）个。
A、4个B、6个C、3个D、5个
12、如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝280，则∠B的度数是…………（）
A、600B、700C、760D、450
13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设甲虫P到
另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，
则d与h的大小关系是（）
【解题方法指导】
例1.已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：
∠B＝2∠D
例2.已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。
【考点指要】
等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。
【典型例题分析】
例1.（2005年）
如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。
例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。
例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。
【综合测试】
1.已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：
DB＝DC
2.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：
BD＝CE
3.已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：
AD＝AE
4.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：
DF＝EF
5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：
AD＝CE
6.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。
例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：
AE＋AF是一个定值.
证明：
连接AD，
∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD，
∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，
又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF，
∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.
思考：
四边形AEDF的面积是否也是定值呢？
为什么？
例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?
你能证明它吗？
证明：
线段BE⊥AC，理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠FBD＋∠BFD＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF＝AC，FD＝CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠BFD＝∠C，∴∠FBD＋∠C＝90°，
∴∠BEC＝180°－（∠FBD＋∠C）＝180°－90°＝90°，即BE⊥AC.
例5、如图10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AB上一点，求证：
.
证明：
过C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∴AD＝BD，BD＝CD，即AD＝BD＝CD，
∵CD⊥AB，∴
，
∴
.
思考：
请同学们试试用另外的方法来证明本题.
例1、如图5，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC，OB＝OC，求证：
AO⊥BC.
证明：
延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，即AO⊥BC.
例2、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：
CE＝DE.
证明：
过E作EF⊥CD于点F，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF），
∴CD＝2CF，∴CF＝DF，
在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF，
∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.
例3、如图7，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：
PD＋PE是一个定值.
解：
连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，
由
，
，
，
，
得：
，
即，
（定值）.
说明：
本例的结论可用文字语言叙述为：
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.
拓展：
如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？
解：
连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，（如图8）
由
，
，
，
，
得：
，
即,
（定值）.
即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.
基础训练：
1、填空题：
（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。
（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。
（3）等腰三角形的对称轴最多有条。
2、填空题：
（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）
A、三条边长分别是5，5，11B、三条边长分别是4，4，8
C、周长为14，其中两边长分别是4，5D、周长为24，其中两边长分别是6，12
（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（）
A、3B、2C、1.5D、2或1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。
4、已知：
如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。
5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，
求这个三角形的各边长。
（1）等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
（2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是和。
（3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C=。
（4）在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y=；用含y的代数式表示x，得x=。
2、选择题：
（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）
A、40°B、100°C、70°D、40°或70°
（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）
A、100°B、75°C、150°D、75°或100°
（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，
③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）
A、4B、3C、2D、1
3、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。
4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，
AB=AC，AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
1、填空题：
（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=。
（2）在一个三角形中，等角对；等边对。
（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各角的度数是。
（4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，
则图中等腰三角形共有个。
2、选择题：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，
DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（）
A、3B、4C、5D、6
3、如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。
4、如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。
5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。
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