等腰三角形三线合一典型题型.docx
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等腰三角形三线合一典型题型
姓名
例1:
如图，四边形ABCD中,AB//DCBECE分别平分/ABC/BCD且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC
变3:
^ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DMIDN分别交ABAC于IMN,求证：
（1）DM=DIN
⑵若DMLDN分别和BAAC延长线交于MNo问DM和DN有何数量关系。
⑴已知：
如图，AB=ACE为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CFEF交BC于点D.
求证：
DE=DF
⑵已知：
如图，AB=ACE为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D,且D为EF的中
点.求证：
BE=CF
利用面积法证明线段之间的和差关系
1、如图，在△ABC中,AB=ACP为底边BC上的一点，PDLAB于D,PE1AC于E,?
CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？
变1:
若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作
图，证明。
个三角形的腰长及底边长.
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PAPB、PC,?
以BP为边作/PBQ=60，且BQ=BP连结CQ
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.
（2）
5,连结PQ试判断△PQQ的形状，并说明理由.
若PAPB:
PC=3:
4:
腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（
2、已知ABC的高，AB=AC△ABC周长为20cm,AADQ的周长为14cm,求AD的长。
3、如图，已知BC=3,/ABC和/ACB的平分线相交于点0,0E//AB,OF//AC求^OEF的周长。
4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E,使CE=CD连接DE试说明DB=DE
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
（3）若直角三角形三边为
例7、下列说法：
①若在△ABC中a2+b2M£,则^ABC不是直角三角形;
2若△ABC是直角三角形，/C=9d,则a2+b2=c2;
3若在△ABC中，a2+b2=c2，则/C=9d;
④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。
例&正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△PAB△PBG△PCA都是等腰三角形，则这样的有（
（A）1个
三.巩固练习
1、
已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,
求它的周长。
2、
3、
4、
5、
在^ABC中，AB=AC/B=400,则/A=
等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角为
有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为如图，在Rt△ABC中,/g105°，直线BD交AC于D,
.140
把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上,
呢
如果△ABD是等腰三角形，那么/A等于
甲虫P到
13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点AC除外），设
另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是（）
【解题方法指导】
例1.已知，如图，AB=AC=CD求证：
/B=2/D
例2.已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC,AD丄BD,BC=6,求AD的长。
【考点指要】
等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中
经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大,
但也要善于分析，找出图形中有关的性质。
【典型例题分析】
例1.（2005年苏州）
如图，等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD-
例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE=CD又BD与CE交于点F,试求/BFE的度数。
【综合测试】
1.
已知,
如图,
AB=AC/ABD=/ACD求证：
DB=DC
C
2.
已知,
如图,
DE是BC上两点，AB=AC,AD=AE,求证：
BD=CE
AB=AC求证：
AD=AE
3.
已知,
如图,
△ABC中,DE//BC,
4.
CE
已知,求证：
如图，
DF=EF
△ABC中,AB=AC
D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F,又BD=
5.
已知,
如图，D是BC上一点，△ABC△BDE都是等边三角形，求证：
AD=CE
C
6.已知，如图，△ABC中，/B=90°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,又/C=15°,EC=10,求AB的长。
例6、如图11,在^ABC中，/A=90°,AB=AC,D为BC边中点，E、F分别在AB
在^BDE^n^ADF中，/B=/DAEBD-AD,/BDE=/ADF,
•••BE=AF,•AE+AF=AE+BE=AB（定值）.
思考：
四边形AEDF的面积是否也是定值呢？
为什么?
例4、如图9,已知AD为^ABC的高，E为AC上一点，BE
在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC,F»CD,•••Rt△BDF^Rt△ADC
•••/BFD=/C,•••/FBD^/C=90°,
•••/BEC=180°-（/FBD^/C）=180°—90°=90°,即BE!
AC.
.222
例5、如图10,在^ABC中，/ACB=90°,AC=BCM是AB上一点，求证：
AM+BM=2CM.
证明：
过C作CD!
AB于点D,
•//ACB=90°,AC=BCCD!
AB
.•./A=/B=45°,/ACD=/BCD=45°,
•••AD=BD,BD=CD即AD=BD=CD•••CD!
AB,•DM2+CD2=CM2•••AM2+BM2=（AD-DM）2+（BD+DM）2=2（DM2+CD2）=2CM2.
思考：
请同学们试试用另外的方法来证明本题
•••△ABC是等边三角形，•/B=60°,•/BEF=30°,
•••BE=2BF,即BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2（BOCF）,
•••CD=2CF,•••CF=DF,
在^CEF和^DEF中，CF=DE/CFE=/DFE=90°,EF=EF,•••△CEF^ADEF•-CE=DE.
例3、如图7,已知在△ABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一点，PD丄AB于点D,PE1AC于点E,求
证：
PD^PE是一个定值.
解：
连接AP,
过点C作CF丄AB于点F,
S送AC
11
=—ABCF,S押ab=—AB*PD,
2圧2
11
=—ACPE=—AB”PE,
22
111
得：
一ABCF=—AB”PD+—AB
222
即，PD+PE=CF（定值）.
图7
说明：
本例的结论可用文字语言叙述为:
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高
拓展：
如果点
P不是在边BC上,而是在
BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎
样的关系呢?
解：
连接AP,
过点C作CF丄AB于点F,
（如图8）
由S^BC
11
=严CF,Sm=严FD,
11
=-ACPE=—AB”PE,
22
=S^B—S虫AC,
11
得：
一ABCF=-ABPD
22
即，PD-PE=CF（定值）
-丄ABPE,
2
P
即，当点P在BC延长线上时,
PD与PE之差为一定值.
基础训练：
1、填空题：
（1）等腰三角形中，如果底边长为
（2）如果等腰三角形有一边长是边长分别是4、8,那么它的周长是
（3）等腰三角形的对称轴最多有
2、填空题：
（1）如果△ABC是等腰三角形，
A、三条边长分别是5,5,
6，一腰长为8,那么周长是__
6，另一边长是8,那么它的周长是
;如果等腰三角形的两
那么它的边长（或周长）可以是（
11
C、周长为14,其中两边长分别是
（2）等腰三角形一边长为2,周长为
D
A、3B、2C、1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的
4、已知：
如图，AD平分/BAC
B、三条边长分别是
4,5D、周长为24,
5，那么它的腰长为（
、2或1.5
）
4,4,8
其中两边长分别是6,12
）
3倍，周长为35cm求等腰三角形各边的长。
AB=AC请你说明^DBC是等腰三角形。
x+2y=4
{3x+y=7
5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组求这个三角形的各边长。
（1）
（2）
（3）
（4）
的解,
等腰三角形的顶角平分线、、
等腰三角形有一个角是120°,那么其他两个角的度数是
△ABC中，/A=/B=2/C,那么/C=O
在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y=;用含y的代
数式表示X,得x=
2、选择题：
（1）等腰三角形的一个外角为140°,那么底角等于（
Op."V/>>O
互相重合。
和
A、40°B、100°C、70°D、40°
（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（
A、顶角B、底角C、顶角的一半D
（3）在等腰三角形ABC中，/A与/B度数之比为
Op.—_OJ_O
A、100°B、75°C、150°D、75
或70°
）
、底角的一半
5:
2，则/A的度数是（
或100°
（4）等腰三角形
③/B=/C,
A、4B、
3、如图，已知△
ABC中，AB=ACAD是角平分线，则“①ADXBC,②BD=DC
④/BAD=/CAD中，结论正确的个数是（）
3C、2D
ABC中，D在BC上,AB=AD=DC/C=20°,求/BAD
D
ABC中，点DE在BC上,
4、如图，已知△
AB=ACAD=AE请说明BD=CE勺理由。
1、填空题:
（1）
（2）
（3）
（4）
在^ABC中,/A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则/B=—o在一个三角形中，等角对；等边对O
如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是
如图，AB=ACBD平分/ABC且/C=2ZA，则图中等腰三角形共有个。
2、选择题：
如图，在△
DE平分/ADB
A、3B
ABC中，AB=AC/BAC=108则图中等腰三角形的个数是（
、4C、5D
，/ADB=72,
）
3、如图,
在^ABC中，/B和/C的平分线相交于点0,且0B=0C请说明AB=AQ的理由。
4、如图,
5、如图,
已知/EAC>^ABC的外角，/
AB=AC/ABD=/ACD请你说明AD是BC的中垂线。
C
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