北京高考近5年三角数列考题.docx
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北京高考近5年三角数列考题
2017数列
（2017年文科数列1道大题）（2017年理科数列1小题、1大题）
2017年北京高考文科第15题
15.已知等差数列和等比数列；满足•.I-,—-•：
（1）求.的通项公式;
（2）求和：
/>1+卜乩丨■•■丨打比一1
15.
（1）等差数列込」，；一1，眾H心-川
可得：
1丨*•I•⑺J，解得，，
所以；...的通项公式：
■-i-仪—汶2—2■:
-I
（2）由（I）可得_■■--等比数列；扎》满足釦」1,•I■-,
可得込=玉噱（兰號（等比数列奇数项符号相同），
所以,=J是等比数列，公比为•，首项为，
2017年北京高考理科第10题
（10）若等差数列6｝和等比数列抵｝满足a1=b1=—,a4=b4=8，则亍=■
b2
【答案】1
【解析】
-13—卄=—2哺:
叮（;厂1
2017年北京高考理科第20题
L..-■--■■■■p.--I.2.5.■■I,
其中：
□：
；「_..「•-1,:
表示•.，•••，’，，••这、个数中最大的数.
（1）若*一界，•：
•一I,求■：
|,心，心的值，并证明-是等差数列;
（2）证明：
或者对任意正数■■■'，存在正整数川，当—时；
或者存在正整数”;，使得2,…是等差数列.
20.
（1）<—|•，⑺—；：
，心二只，I,V.」•匸，苗：
」：
当'I时,「—*.：
：
：
|—：
•：
1—m—，
当.■■■_2时，^|；，,^"•I■：
II:
，
当严—■?
：
时，「二I'：
：
-■•-■'.=:
「•：
':
'
下面证明：
对•「rv，且.：
：
，都有「•；rs，当、、'，且二€：
；：
'忑-时，
则
（加—nak）—（frj—wuj）
=[（2k—1）—nk]—1+«
=（2k-2｝-n（k-1）
=（k—1）（2—a）,
由卜一「-、，且--■<-，
则I，则卜！
心：
1'：
】心，
因此，对'X，且]：
£，1_「「一「J，八•_…一一：
，
所以'“•一；：
.-■对aw均成立，
所以数列：
•.是等差数列.
（2）设数列｛%｝和“*｝的公差分别为％，血，下面考虑Gt的取值,
由Z?
|—d\n现一吋h„-a„n
考虑其中任意林一⑷n（fwN"，且1墨iU,
b{—£jtn=|^i十（f一1）d』一[尙+（i—1）irf|]xn
=（”i—a^n）—（i-1）（di一£淇丹）・
F面分：
；：
：
_:
■,/1,1三种情况进行讨论，
①若山=0，则bt~Uit\=（加一ti\n）+（i—&
当吐笛。
，血一％冊一血一的冊=卩—】｝抡wo则对于给定的正整数"而言，5=打-a^n，此时—心=一叭
所以数列；.，是等差数列;
当爲a0,（冏-偽邛）-（如—坟诃）=Q-町亦冬0
则对于给定的正整数川而言，5=治-M诃=如-am
所以数列•；•，是等差数列;
此时取"，则，•，，是等差数列，命题成立;
②若右>0，则此时一如+此为一个关于曲的一次项系数为负数的一次函数,
故必存在宀-一卜；"，使得，麟•启，时，一”f「蠢<:
C
则当丹事协时，
（bf—0/H）—”巧—0［冷）
=（『「1）（—右冲+心｝
<0｛ieN*,l
因此当心憎时，5=办1一的專
此时“-」；，一心，故数列召二寫从第，项开始为等差数列，命题成立;
③若右c0，此时一乩打+必为一个关于ft的一次项系数为正数的一次函数,
则当M>.T时，
（bi一釦”）一｛如
=（i—n）（—djn+d2）
^0（ieN*,l/^/t）,
因此，当肝孑$时，心=£一砒刃
此时
A]—（^2
——djM[—Cl|+{^2}+令=A>0，讨i—叭+直工=R,b\—d2—C,
「LC
JL=An+B+-对任意正整数M,存在正整数小使得心「于"，
若匚事0，取申二
'\M-B
A
-+1
，M表示不大于耳的最大整数，
当•:
时,
—>4w+
n
玄Am+B
|耐-5|
.A
M-H>A+B
A
=M.
此时命题成立;
-C-B\
+1
A=
5
若：
「，取'
当.■'时,
—=AnH+—
nn
NAm+J?
+C
=|M—J£f||+*+
孑M—（J—B十B+C
=Af.
此时命题成立，
因此对任意正数'/,存在正整数■■-,使得当•；丿时，'■>;
n
综合以上三种情况，命题得证.
2017三角
（2017文科一小题一大题）（2017理科一小题一大题）
2017年北京高考文科第9题
:
轴对称，若
9.在平面直角坐标系''中，角与角匸均以匕：
为始边，它们的终边关于
1
I
9.
2017年北京高考文科第16题
16.已知函数
（1）求八的最小正周期；
（2）求证：
当工£一扌，时，/（A）事
2017年北京高考理科第12题
y轴对称若sin：
■
（12）在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关于
cos（a-P）=
2017年北京高考理科第15题
（15）（本小题13分）
3
在厶ABC中，必A=60°c=”a.
（I）求sinC的值;
（H）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】
（1）根据正弦定理
a
sinA
c
sinC
sinC
=CxsinA
a
3sin60。
=33=33
77214
3
（2）当a=7时c=—a=3,
sinC=—c14
cosC=1一sin2C
3
14
△ABC中siB=sin[（A+C）]=siA（C+si）A江cCs+AOsCsi
13.3
—
214214
33
14
二Saabc=1acxsinB=丄述7沢3沢-373=-V3
ABC22144
2016数列
（2016文科一大题）（2016理科一小题一大题）
2016年北京高考文科第15题
15.已知是等差数列，；是等比数列，且•■-=,:
，、：
-小
（1）求的通项公式;
（2）由
（1）知，血—程_•，乩二护一：
因此；、•’：
「.'』丨".
从而数列H的前■-项和
g=I+3斗…+（加一1）亠1亠3+…+3"】
N（1+2n_l）1一萨
=r+□
3"-1
=n.
2
2016年北京高考理科第12题
12.已知.，为等差数列，、为其前项和，若；.=（、，'、：
'.：
=订，则
Sg=.
12.
20.设数列」：
納，--,'，、・••■■:
i.如果对小于'的每个正整数.■'<都有
弘5，则称川是数列4的一个“时刻”记G⑷是数列川的所有“时刻”组成的集合.
（1）对数列」：
—二，2,—一，「匚写出：
的所有元素；
（2）证明：
若数列」中存在―使得■>■.,U
（3）证明：
若数列」满足----■!
-2.3..-，则的元素个数不小于
20.
（1）「I的元素为和.
（2）因为存在■'使得-■:
所以:
;M|-rI亍八
记附—曲.匚导©工貳；專.汛氏,
则M熬■＜，且对任意正整数*瞪沪：
，述槎呀i心沁
（3）当拓誇笳科时，结论成立.
以下设込用二-:
..
由
（2）知曲.
设IH'.:
r■/：
■|,；；母.
记“；=■-,
则■■■---:
、.
对II.■'，记..一•匕匚.几、N■■..■■■:
心•
如果％屛笑，取,
则对任何〔遽m化，…纭
从而宀沁3］且，I.
又因为：
*是匚；「:
中的最大兀素，
所以-.
从而对任意心•总；'■■农,•◎臥盂叼，特别地，—紇沁:
:
|
对：
「.【.■:
■-:
，总•：
I^^
因此■'■,■'.I'：
.',-■■:
-1
所以"扫…'fr.-/'
1=1
因此「I-的元素个数-不小于，’I.
2016三角
（2016文科一小题一大题）（2016理科一小题一大题）
2016年北京高考文科第13题
2丸b
13.在_亠卞中，，□'=•「U-一
3c
13.
【解析】在”中，由正弦定理知丁一，又•「一，•—「，所以
yficc1n"样
，解得W=_，又为锐角，所以£一笃一三迪-厶.--
血fS1■
bsinB
所以
.sinC
2016年北京高考文科第16题
的最小正周期为二.
16.已知函数/■:
=二Cl■'I：
.r，:
-：
：
：
.
（1）求小的值;
（2）求八的单调递增区间.
/（工）=2sin（k）xcosti>x+caslaix
“小/八=sin2n）x+cos2如
16.
（1）
=V^2sin（2ox+扌）L
2016年北京高考理科第7题
7.将函数：
——-图象上的点F
向左平移
—5个单位长度得到点F•若
的图象上，贝UI
1
A.'=.,：
•的最小值为
A打获\1
所以一-1'-
1
r/jt
所以亍=沁！
=COS25
.所以2$=吐〒+2上X（氐丘2）,
在■.-<.|.■的图象上,
所以，一厂—・■.又，所以'一.
2016年北京高考理科第15题
15.在△丸丑C中，沪十c2=b2—
（1）求二J的大小;
（2）求•-"的最大值.
15.
（1）因为I,
a1—b2yflff
所以，所以虫7.
（2）在△ABC中，Mf=打,
cosC=
—cos（A+B）
—
-晦（川+扌）
cosA+cosC
cosAsinA
2
所以当丄一.时，-般:
:
曲此八4厂的最大值为..
2015数列
（2015文科一大题）（2015理科一小题一大题）
2015年北京高考文科第16题
16.已知等差数列住：
；满足：
.‘：
一：
，‘一厂一】.
的第几项相等？
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列..，满足臥=心：
，I=I,问：
…与数列
16.
（1）设等差数列「：
的公差为.
因为宀—『一丄，所以,.
又因为-匸，所以.■'I,故一<■.
所以.“一7，「：
'：
:
.'一二'：
r（一：
；一1.A•）.
（2）设等比数列•的公比为，
因为加=旳=H，扒=S=,
所以T=•：
二—二，
所以■'
tx26-1=128.
由眩.=
<―2得-1、?
5
所以'与数列「；的第」项相等.
2015年北京高考理科第6题
6.设
■是等差数列,
下列结论中正确的是
A.
若
uia2>0
，则
1^2+白吕A0
B.
若
尙十<0
，则
“1十^2<0
C.
若
0，则
S>如的
D.
若
、•-:
（.1，则
仙-
町）（a2—如>0
6.C【解析】数列氐.]是等差数列，女口数列'<：
■-.i■，满足心：
沁：
：
，则--一、'
如数列•II，满足•：
，则；•：
；所以A,B不正确；对于等差数列
-;■i；-i=一严■>，所以D不正确；等差数列若■'■：
■-->•：
.：
■-,，则数列•.是单调递增
数列，有:
心—；：
-■-X..-777，所以C正确.
2015年北京高考理科第20题
[2%心冬1乱
20.已知数列满足:
小「*,*丨汁，且■…'
[2an-36,>IS
记集合一|m.
（1）若：
—“，写出集合的所有元素；
（2）若集合•存在一个元素是；的倍数，证明：
爲的所有元素都是：
;的倍数；
（3）求集合餐f的元素个数的最大值.
20.
（1）',\■■.
（2）因为集合1存在一个元素是•的倍数，所以不妨设，是的倍数.
I2収”*£in冬18・
由可归纳证明对任意’,，:
.是：
的倍数.
2an-36.>18
如果〔I，因为g;二飞I或：
:
飞】％.1—朋，所以乙=_|是■的倍数，于是乜是：
的倍数.
类似可得-,,都是的倍数.
从而对任意「，「是•的倍数，因此V的所有元素都是?
的倍数.
综上，若集合./存在一个元素是的倍数，则的所有元素都是的倍数.
（3）由號辽空：
，丄］可归纳证明：
.：
■•（“「•）.
I2afl_t-36.0*_|>18.
因为匚是正整数，
所以」是的倍数.
［加I一56,
知>18.
从而当'时，-是'的倍数.
如果丿是?
的倍数，由
（2）知对所有正整数•，是：
的倍数.
因此当，•时，I:
，这时的元素个数不超过.
如果•不是的倍数，由
（2）知对所有正整数•，•不是的倍数.
因此当」时i.m..匸；，这时T的元素个数不超过.
当门i时，加nt貼迂〉有•个元素.
综上可知，集合'/的元素个数的最大值为■.
2015三角
（2015文科一小题一大题）（2015理科一小题一大题）
2015年北京高考文科第11题
11.在中,=='；'—、、•，._一，贝y=
71
4
2015年北京高考文科第15题
15.已知函数■':
——.I—.
（1）求八的最小正周期；
'2*
（2）求/（aJ在区间［0.上的最小值.
15.
（1）因为一、—-■-:
所以•的最小正周期为
2/rx
（2）因为一，所以一’，一".
jr2tt
当'—，即—一时，-取得最小值.
所以/（X）在区间
2打l°T
上的最小值为.八
2015年北京高考理科第12题
sin2A
12.在"：
■中，订4,^",旺，则..
12.
【解析】因为中，处",=
2015年北京高考理科第15题
xX.X
15.已知函数，；*•-.
（1）求j|的最小正周期；
（2）求；I在区间|上的最小值.
r.y/2fJT\
15.
（1）由题意得'
所以；：
\:
的最小正周期为
37/打一吓
（2）因为一--|,所以—_.
当■'v，即时，…取得最小值.
所以•：
:
在区间…三'?
|上的最小值为：
一[…-：
.
2014数列
（2014文科一大题）（2015理科两小题一大题）
2014年北京高考文科第15题
15.已知技.仝是等差数列，满足：
：
-，二.一一,数列..满足6丄，-■'
且•—：
•是等比数列.
（1）求数列.■和「的通项公式；
（2）求数列；的前"项和.
15.
（1）设等差数列-的公差为，由题意得：
h二码「尙==3一$~3~\
所以
an=+復一=3/1（n■1*2.…）.
设等比数列.；•的公比为，由题意得：
t占斗—卩斗20—L2
7==—―=&
t）l—ay4—3
（2）由
（1）知，
bn-3n+2"-1（n■1諾…）,
3
数列J'的前•项和为i厂-'，数列騎j的前，项和为
所以数列：
.的前项和为
3
-n（n+1）-2n
z
2014年北京高考理科第5题
5.设是公比为讣的等比数列，贝U“厂-1”是”■为递增数列"的
A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.D
2014年北京高考理科第12题
12.若等差数列；心：
满足，一，：
一':
IJ,
则当帀=时，」的前厂项和最大.
12.
【解析】根据等差数列的性质，得「•■；*；•"'、々，门——心,
于是J：
>「，•丨丨；1，即代沖二，丨，
2014年北京高考理科第20题
20.对于数对序列P：
I-,记|-■■'|,
-.■:
■"--■■:
1'■^1--1,其中
-:
I--.+-\+'+表不1L_：
H：
和’.*'二I…丨■■-两个数中最大的
数.
C1）对于数对序列尸：
*0,：
*V，求匚：
，一厂的值；
（2）记小为」四个数中最小值，对于由两个数对吃花；，，组成的数对序列
厂，,-和厂［■:
…，试分别对小一'：
；和川一"时两种情况比较■■■_■：
■"
和二的大小；
（3）在由“个数对|,「「,'「，I：
组成的所有数对序列中，写出一
个数对序列尸使-.最小，并写出一的值•（只需写出结论）
20.
（1）
7^1（P）=2+5=7.
71（P）=L+max{Ti（尸），2+4}
—I+max{7,6}
=1{7=8.
（2）当小一•：
时，
Ti（P）=庙十此
（T）—dmax{u+b.口+r}=口+卅+iiiiix:
T\（F）■c+d.
T\lF、=b+max{£■+rf,r+a}=/?
+r+max佃，d}=方+芒+（/;
因为■-是」■中最小的数，所以花，从而
71（P）W71（F）；
当冷二：
J时，
珀（P）=a+b、
（T5）=d+max{a+a+c}=aid卜niax{Arc}；
{P）=h+max{c+#+f+甜}=占+『+max{“,d}=o+b+c：
因为■'是」■■中最小的数，所以/I1I"；■■:
八•■:
，从而
Ti（p））.
综上，这两种情况下都有.•二/I.".
（3）数对序列p-■'：
I■--：
'■:
'■'1：
、；弋’丨（不唯一）对应的「八最小，此时
右（P）=W,7j（?
）=26,Tj（F）=42,7；（P）=50,P5（P）=52
2014三角
2014年北京高考文科第12题
12.在△灵丑匚中，“=1，&=2，egC=-，则c=:
sinA=
16.
函数••i-的部分图象如图所示.
（1）写出「：
的最小正周期及图中•，.的值；
「幵打］
（2）求J（X）在区间［一亍一乔］上的最大值和最小值.
2014年北京高考理科第14题
14.
设函数■:
:
一.是常数，』＞，:
:
■卜'J）.若/1■在区间
14.7t
T7T7T71
【解析】记•的最小正周期为/.由题意知一；-,
又'i匚_--■，且亍送二卡，
可作出示意图如图所示（一种情况）：
C7t1tt{n2^\17/r
"__，一—-—
T7jr7T7/
所以一“一’，所以■"-.
2014年北京高考理科第15题
15•如图，在—一C中，—兴=：
，二；—？
、，点“在打：
上，且「「一】
1
cosZ.ADC=-
7
（1）求--.寸！
（2）求.■-的长.
15.
4x/3
~T~
（1）因为
siiiAADC=Vl-co^AADC=
所以
sin^BAD=sin（Zi4DC-Z£）
=sin/ADC•cos—cos.Z.ADC•sinZB
47511y/3
=XX
7272
="u-
（2）在•中，
AB
AD
RD
sin^ADB
一sinZJ?
sin/.BAD
解得
BD=3.AD=7.
在•一m中,
AC1=AD+DC1-2AD-DC*cgsZADC
=72+22—2x7x2x-
7
=49h
所以•.
2013数列
（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）
2013年北京高考文科第11题
11.若等比数列加爲满足•、、•.=【，，：
》=二，则公比y-；前"项
和•、.一.
11.2,2小-2
2013年北京高考文科第20题
20.给定数列•：
，心，…，…，对，；I,〜，"一I,该数列前■'项的最大值记为，后-■'项，「一',的最小值记为已，儿=•-一八.
（1）设数列.■
为：
，1,丁，1,写出』|,:
•一，心的值；
瓦'+[
因此，.〔■I且—.■-■—,即:
•,」、,,是等比数列.
（3）设为，■,，:
的公差.
对.，因为Y/|,；I,所以
乩+1=^+1+
玄站+击+讨
>B,+dt
=妇
又因为.：
，I；：
；:
，所以
4+1=浚峠】>Ajait
从而‘；•；〕，■，，归_j是递增数列.因此
At=Ui（f—1,2，N—1）,
又因为
月1=At—di=ai—
所以
Si<因此「一笛，所以
Q=B2=■■■=Bfl_i=g■
所以
他=且f=Rt+曲=+曲-
因此对：
=',',，"一工都有
创+1—at—di¥\—di—
即■-■,，心-i是等差数列.
2013年北京高考理科第
升级会员 