第二类时域离散信号是一种离散复读信号，其中x[n]只能取被定义的幅度。
一个幅度离散时间离散的信号也被称作数字信号。
一个复读离散时间离散信号的例子是一个数模转换器的输出。
（见表1.19）例如，如果数模转换器输出8位二进制，输出信号幅度只能为28=256个不同的值。
幅度离散时域离散信号的第二个例子是任何一个在数字计算机内部的信号。
总之，一个时间离散信号就是一个数字序列。
序列通常被表示为{f[n]}，这个符号代表序列…,f[-2],f[-1],f[0],f[1],f[2],…我们通常认为f[n]，其中n是一个整数，没有定义的。
一些工程师对时域离散信号感兴趣的原因有以下几个：
1.如果我们使用数字信号处理采样是必要的，这比模拟信号处理更有通用性。
2.许多通信系统出于各样的原因被设计成依离散时间信号为基础的。
3.采样一个信号允许我们存储信号到独立存储。
4.某些传感器的输出是测量物理变了的离散时间变量。
5.自动控制的物理系统需要数字计算机来实现复杂的控制策略。
控制信号源于计算机，是时域离散的。
6.许多消费品例如CD，DVD，数码相机还有MP3播放器都是使用数字信号的。
9.1时域离散信号与系统
在这一部分中，我们介绍了时域离散信号的例子。
我们用数值积分为例。
加入我们希望一个电压信号，x（t），使用一个数字计算机。
由数字计算机集成需要我们用一个数值算法。
在一半情况下，数值算法是基于近似一个信号与一个位置积分和一个信号有一个已知积分。
因此，所有的集成算法在本身是近似。
我们使用欧拉法则（在章节1.3中讨论过的），在图9.1中描绘的。
欧拉规则估算曲线x（t）下的面积由显示的矩形区域的和表示。
在图中步长H（每个矩形的宽）被称为数值积分增量。
该算法的实施要求x（t）在每H秒被采样，结果为数列x（nH），n为整数。
让y（t）作为下面x（t）的积分：
（9.2）
x（t）的积分从t=0到t=nH在图9.2中表示为可积的，对于t=0到t=（n-1）H加上积分（n-1）H到nH。
因此，在公式（9.2）中，
（9.3）
忽略锁设计的近似，我们把方程表示为
（9.4）
然而，y（nH）只是x（t）在t=nH时的一个近似的积分。
以前讨论的时域离散信号中的符号，（9.4）被解释为
（9.5）
这种类型的方程叫做差分方程。
一般的n阶常系数线性差分方程的形式为
（9.6）
其中常系数为ai和bi是常数，i=1,2,…,N。
把n替换为（n+N），我们也可以把差分方程表达为
（9.7）
（9.6）和（9.7）的格式被用于指定的差分方程。
在本章节，我们考虑的时域离散信号是在（9.6）和（9.7）中x[n]和y[n]的类型还有差分方程描述的离散系统。
但是，我们不限制差分方程是否为线性。
9.2时域离散信号的变换
在本节中，我们讲研究对于时域离散信号x[n]的6种变换。
其中3个变换是关于独立变量n和其他3个独立变量x[•]。
对于离散信号变化的命名，我们继续使用术语离散时间，或者单时间点，对于离散增量变了n，由于通常，我们考虑到采样信号。
对于采样信号，我们用n来表示时间t=nT，T为采样周期。
时间变换
首先，我们考虑3次变换。
在这些变换中，为了更清晰理解，我们用m来表示原始信号中的时间，用n来表示信号变换后的离散时间。
时间反转
对于时间反转信号x[m]，我们用-n来取代独立变量m。
这样，我们得到
（9.20）
其中y[n]表示变换后的信号。
这个操作可以得到x[m]关于坐标系垂直轴的镜像效果。
在第十章中我们将看到，时间反转的一个应用是在计算某些系统的响应。
时间标度
给定一个信号x[n]，时间缩放版本的这个信号为
（9.21）
这里我们只考虑在a=k或者a=1/k的情况下（k的值为整数）。
为了看起来更清晰，这里在此把原始信号的时间变量替换为m。
振幅变换
接下来我们考虑关于振幅的3个变换。
振幅变换也沿用与时间变换的相同的规则。
三种振幅变换的基本形式为
，（9.24）
其中A和B是常数，不一定是整数，例如：
值A=-3.1产生振幅反转（因为符号为负）还有幅度缩放（
），还有值B=-5.75给出了信号的振幅变化的直流电平移位（平均值）。
现在幅度缩放的一个例子已经给出了。
9.3时域离散信号的特征
在2.2章节中，我们定义了时域连续信号的一些有用的特性。
现在我们考虑时域离散信号的相同的特征。
奇偶信号
在本节中，我们定义了奇偶信号（函数）。
如果一个时域离散信号xe[n]是偶信号的话
xe[n]=xe[-n]（9.25）
如果xo[n]是奇信号的话
xo[n]=-xo[-n]（9.26）
任何时域离散信号x[n]都可以表示为一个奇信号与偶信号的总和：
x[n]=xe[n]+xo[n]（9.27）
为了证明这一点，我们用-n来替代变量n
x[-n]=xe[-n]+xo[-n]=xe[n]-xo[n]（9.28）
将式子（9.27）与式子（9.28）关于x[n]的部分相加
（9.29）
将式子（9.27）与式子（9.28）关于x[n]的部分相减
（9.30）
这两个方程通常用来寻找一个时域离散信号的奇部分和偶部分。
记住公式（9.29）和（9.30）还有（9.27）。
一个时域离散信号的平均值是有下面这个公式得来：
（9.31）
和时域连续信号的情况一样，一个时域离散信号的平均值包含在偶部分，奇信号的平均值总是为零。
（见习题9.11）
奇偶信号有一下几个特性：
1.两个偶信号的和是偶信号。
2.两个奇信号的和是奇信号。
3.一个奇信号与一个偶信号的和既不是奇信号也不是偶信号。
4.两个偶信号的乘积是偶信号。
5.两个奇信号的乘积是偶信号。
6.一个奇信号与一个偶信号的乘积是奇信号。
这些特性是很容易被证明的。
（见习题9.12。
）现在给出一个关于奇偶信号的例子。
9.4常见的时域离散信号
在2.3节中，我们定义了一些常见的发生在系统瞬踢响应的时域连续信号。
在本部分中，我们将介绍等效的时域离散信号，这些信号可以出现在一定的离散系统的瞬态响应中。
比如这个信号，正弦曲线，我们在第9.3节中提到过。
例如，一个数字计算机可编程输出一个离散正弦信号来产生可变频率的声音。
离散正弦信号传输到计算机数字模拟转换器（D/A），模数转换器是一个电子电路，它可以把二进制数转换为一个时间连续的电压信号。
（见1.3章）然后这个电压通过功率放大器到达扬声器。
计算机定时芯片用来确定采样周期T还有，音调的频率。
以我们现在使用一个系统为例，来介绍常见的时域离散信号。
本装置的例子是在数字计算机中的以为计算机或者内存的位置。
每隔T秒，我们改变储存在设备的数量。
然后一个不同的数字被转换到设备然后被存储下来。
如果我们用x[n]来表示转换到设备的数字，那么被转移出的数字一定是x[n-1]。
按这种方式使用的设备称作一个理想时间延迟。
长期的理想表明，数字不会有任何方式的改变，仅仅是被延迟。
9.5时域离散系统
在本节中，我们定义了时域离散系统的一些通用符号。
记住，我们定义的所有离散时间系统的信号是时间离散的。
这一部分紧跟着2.6节。
我们开始通过重复定义一个在2.6节中出现的系统。
系统：
一个系统是一种因果关系存在的过程。
我们的目的是找出系统输入信号与系统输出信号直接的关系。
同城，我们指的是输入信号和输出信号，简单些，输入和输出，这样分别。
在9.1节中描述的欧拉积分和差分方程是一个时间离散系统的例子。
[eq（9.5）]
在这个方程中，x[n]是数字积分器的输入信号，y[n]是输出信号。
一个数字控制系统是一个由数字计算机控制的系统，它没有人类的干预。
一个例子是商业飞机的自动着陆系统。
某些种类的数字滤波器的基础成分在数字控制系统被用于积分器。
欧拉积分是被用于这些滤波器中。
另一种流星的积分器是基于梯形规则。
（见习题9.22）
对于积分器（9.5），输入信号是x[n]和输出信号为y[n]。
我们也可以把这个积分器转化为：
（9.59）
这个符号代表一个变换而非一个函数；就是说，T（x[n]）不是一个来替代x[n]和直接计算y[n]的数学函数。
有关输入x[n]和输出y[n]的方程组被称为一个数学模型，或者简单来说，模型。
给定输入x[n]，就有对应的解y[n]。
时域离散系统的模型，通常是一组差分方程。
正如前面所述，我们常常说到的系统的粗心。
一般来说，当我们使用文字系统，我们指的是一个物理系统的数学模型，而不是物理系统本身。
这是在本书接下来常用的用法。
如果我们指的是一个物理系统，如果有混乱情况出现我们将它称为一个物理系统。
9.6时域离散系统的性质
在9.5章中，欧拉积分给出了离散时间系统的例子。
在本书中，我们提出了时域离散系统的性能和特点。
接下来，x[n]表示系统输入，y[n]表示系统输出。
我们用这种符号来表示他们的关系。
（9.63）
就像时域连续系统那样，我们把这种关系比作x[n]产生y[n]。
这和（9.63）关系式有相同的意义
[等式（9.59）]
这里给出的定义与在2.7章中对时域连续系统的定义相似。
有记忆系统
我们首先对有记忆系统一个定义：
记忆
一个有记忆的系统，它在n0时刻的输出取决于输入的值x[n0]。
否则，这个系统是无记忆的。
对于一个离散信号x[n]，时间是由离散增量n表示。
一个简单的无记忆的时域离散系统的例子为：
一个无记忆系统也被叫做静态系统。
一个有记忆的系统也被乘坐一个动态的系统。
一个有记忆系统的例子是欧拉积分（9.5）：
由第9.1章还有（9.8）这个等式也可以被表达成：
我们看到输出是取决于输入的过去的所有的值。
第二个有记忆离散系统的例子是，他的输出为输出的最近两个值的平均值。
描述这个系统的差分方程为
这个方程是平均滤波器；他是一个在电视画面生成图片时的应用程序。
（见参考文献，章节1.3）
第三个有记忆离散系统的例子是，计算琼斯工业指数在美国股市的20天的平均值。
这个系统的差分方程为
在这个等式中，x[n]是琼斯指数今天的平均值，x[n-1]是琼斯指数昨天的平均值，等等。
而y[n]是最近20天的平均值。
在数字计算机中实现该算法，延迟实现了19个记忆坐标。
方程（9.66）可以被认作一个数字滤波器，他的输出滤波为日平均。
所有数字滤波的重要理论都可以用来确定这个系统的特性。
例如，每日随机波动在20日平均值的作用是什么？
如果每日平均值发生一个显著的变化，那么有多少延迟在这个变化改变20日平均值之前？
本章中的定义允许我们把系统分类，以便于能够更好的回答这样的问题。
此外，离散傅立叶变换（本书12章中）将让我们能够确认这样的系统的特性。
可逆性
我们现在定义可逆性：
如果不同的输出将产生不同的输出，那么就说这个系统是可逆的。
因果性
所有物理系统都有因果性，无论是连续还是离散。
因果系统：
如果在任何时间的输出仅仅与当前和过去的输入有关，那么这个系统是因果的。
稳定性
如果输出是有界的，那么输入系统是稳定的。
时不变性
输入发生时移，输出只产生相同的时移，那么这个系统是时不变的。
总结
在本章介绍了时域离散信号与系统。
对于一个时域离散信号x[n]，离散增量n表示时间。
首先，3种对独立变量n的变换方式：
反转，缩放，偏移。
下一步，3种变换对信号幅度的定义是相同的。
一个普通流程被发展成来判断所有6种变换的影响。
这些转换对信号来说是非常重要的；他们就和频率的函数变换一样重要。
离散傅立叶变换在第十二章中定义，也包含了平率变换。
信号被定义的特性有：
平整度，奇偶性，和周期。
这三个特点，经常出现在信号与系统的研究中。
接下来是那些常见信号的模型出现在某些类型物理系统中。
这些信号包括指数信号和正弦信号，指数信号振幅将可能出现指数变化。
冲击函数被定义为最普通的离散时间信号。
结果表明，这些离散的信号可以被认为是由时域连续信号采样而生成的。
那些对于周期离散信号的研究被认为是比连续的周期信号更为复杂。
一个通用的技术来表示一个时域离散系统的输出是与其子系统互联的。
最后一个话题，一些时域离散系统的基础性质被定义：
存储，可逆性，因果性，稳定性，时间不变性，和线性。
这本书的其他部分，都是默认为研究线性时不变系统。
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