随机波浪的模拟1.docx
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随机波浪的模拟1
随机波数值模拟方法
1概述
研究海浪及其对工程的作用有三种途径：
一是现场观测研究；二是在实验室内进行
模拟研究；三是理论分析研究。
由于海浪的复杂多变性，加上现场环境恶劣，进行现场观测需花费大量的人力物力；理论研究目前也有较大的局限性，特别是对于不规则波浪，很多问题有赖于室内的模拟研究。
模拟研究的方法可分为两大类。
开始是在水槽或水池内利用风或造波机进行物理模
拟，亦即进行波浪模型试验。
在人们的精心设计下，可以把负责的现象分解为多个简单的模型，然后再把成果综合起来。
过去已取得了大量的研究成果，目前仍是主要的研究方法之一。
随着电子计算机的发展和普及，海浪的数值模拟得到迅速的发展，它具有经济方便等优点，日益受到人们的重视和广泛的应用。
天然海浪是很复杂的，人们对它的认识和研究过程是由简到繁，由浅入深，及即由单向规则波一斜向规则波一单向不规则波一多向不规则波。
2不规则波浪的数值模拟一模拟频谱
单向不规则波浪的数值模拟方法，大多建立在线性波浪理论的基础上。
本文主要介绍利用线性叠加法和线性过滤法进行二维不规则波的模拟。
2.1线性波浪叠加法
在工程中，如果已经得到了特征波的波参数如有效波高Hs、周期T等参数，如何得到一列不规则波面时间历程呢？
一般通过模拟靶谱法来完成。
将有效波高Hs、周期T等参数代入某波浪频谱形式中，得到的海浪谱即为靶谱。
现在要模拟某波面不规则波面时间历程，使得模拟的波谱同靶谱一致。
平稳海况下的海浪可视为平稳的具有各态历经性的随机过程，波动可以看作无限多个振幅不等、频率不等、初相位随机的简谐余弦波叠加而成，即
式中，1为波动水面相对于静水面的瞬时高度;
a为第i个组成波的振幅；
k,i为第i个组成波的波数和圆频率；
ki2LiJi2Ti
L，T分别为波长、周期；
X，t分别表示位置和时间，通常固定位置，可取x=o；
i为第i个组成波的初位相，此处取在（0,2兀）范围内均布的随机数。
通过频谱来模拟海浪，设欲模拟的对象谱（靶谱）S的能量绝大部分分布在L~H范围内其余部分可忽略不计。
把频率范围划分为M个区间，其间距
为订衬，取？
i心2，则第i个组成波的振幅为
aiJ2S?
'
（2）
则将代表M个区间内波能的M个余弦波动叠加起来，即得海浪的波面：
M
t2S?
iiCOS%iti/q\
式中，"为第i个组成波的代表频率。
用波浪叠加法模拟海浪时应注意以下几点：
2.1.1频谱范围l~h的选取
频谱范围L~H的选取，取决于所要求的精度。
设在频谱高低侧各允许略
去总能量的部分（例如取0.2%），对于可积分的谱，易于确定L和H
的方法计算波浪频谱的总能量E，然后计算对应每个频率i的累积能量E，则
Ei/E对应的频率即为下限l，Ei/E1对应的频率即为上限h应该看到，在M—定的情况下，不恰当地增大谱频范围，反而会使精度下降。
一般取谱峰频率的3~4倍作为h已足够O
M（0）
图1划分波谱的频率区间示意
2.1.2频率区间的划分
划分频率区间的方法，有等分频率和等分能量法。
2.1.2.1等分频率法
下面简要介绍下等分频率法。
取hlM（—般取M=50-100）o但若采用式?
iiii2中的？
作为i区间的代表频率，则由式（3）模拟所
得的波浪将以周期2重复出现，除非值足够小；否则与实际的海浪情况不符。
应在各区间内部随机选取频率作为该区间的代表频率”。
幷的选取方法
对模拟结果有相当的影响。
由于波能集中在谱峰部，如M值较小；只有少数位于谱峰处的组成波起主要作用，可能产生较大的误差。
2.1.2.2等分能量法
定义累积谱为
E
S
0
d
⑸
如果按照等分能量法分成
N份，
则分界频率
i可以用卜式来确定°
iE
imo
匚i
N
N
⑹
对P-M等分可积分的谱，
则
B
1/4
各组成波的振幅a相等
9
1
InN/i
⑺
3i2S?
ii
2moN
此时式t
ancos
?
it
（9）
（10）
2.1.3随机相位的选取
随机初位相i应在0〜2区间内均布。
如组成波数M不很大，则由计算机产生的随机数往往不够均布，影响模拟结果。
我们采用人造的比较均匀的随机数，模拟结果较好。
合田采用M=200，由
计算机产生随机数（每次不同）进行多次重复计算，对结果进行统计分析，取其特征值。
2.2线性过滤法
应用线性滤波法模拟海浪的基本思路是：
以白噪声为一线性系统的输入，通过选择适当的系统函数使该系统输出的谱恰恰等于靶谱
海浪等随机过程由多种不同频率的成分组成，他们可以通过不同的滤波器分离开
来。
如图2所示，只有高频信号能通过高通滤波器，通过低通滤波器的是低
频信号，允许一定频率范围内的信号通过的滤波器称做带通滤波器
图2滤波原理不意图
具有如图3中所示传递函数的滤波器称做成型滤波器。
这些滤波器可以是数
字式的，也可以由硬件组成。
线性系统的输入谱S*f和输出谱Sjf之间存在下列矢系:
SJTf^SJ（11）
白噪声的谱密度为常数，且可等于1，如将它作为输入，通过按靶谱设计的成型滤波器后，即可得到谱形符合靶谱的随机波浪。
因此线f生过滤法的尖键在于靶谱设计过滤器。
过滤器的选择。
输入白噪声的谱S*xxf1，要模拟的波浪靶谱为Sf（双^
侧谱），由上式得过滤器的传递函数为
TfS*fSf2（12）
在时域，线性系统的输入。
输出函数间有尖系即
txthd（13）
h是脉冲响应函数，也是过滤器的权函数，其傅里叶变换即为传递函数
T（f）^即
Tfei2fdf
ITeQT（14）
写成离散形式：
L
ajXtj110,t,2t,・・・，Ntjl
模拟不规则波浪。
将上式代入可得到所要的波面。
为便于计算，把它改写成
A0xLt
AjxLijxLij（i
|r（/）|
图3用过滤法模拟波浪示意图
式中，XLt相当于xtLt，可取L=20-30
白噪声X（t）可用一系列独立的正态分布的变量X1,X2,.„来接近，这些变量的均
值为零，方差为1。
可按下式得到：
Xk2RANi13；，k1,2,3,...N2L
i1
RANi为在（0,1）区间内均布的伪随机数，一般计算机可直接产生。
可取
n=30~50°
3程序实现
3-1程序一：
线性波浪叠加法模拟频谱
%%不规则波浪的数值模拟一模拟频谱
%%线性波浪叠加法t=0:
0.01:
1000;%时间间隔x=0;%初始尾椎
图5线性波浪叠加法模拟频谱图（N=10）
图6线性波浪叠加法模拟频谱图（N=50）
图7线性波浪叠加法模拟频谱图（N=200）
•«r•■恂
Em
图8线性波浪叠加法模拟频谱图（N=1000）
3.2程序二：
线性过滤法
%%随机脉冲函响应数num=[0,0,25];den=[1,4,25];[y,-]=impulse（num,den）;plot（randn
（1）*y,
Y:
1,linewidth1,1.5）;set（gca',xlim,,[0127]）;ylabelCXitAmplitude*）;
title（*\bfRandomImpulseResponcse）*gridon
T=fft（y,127）;plot（real（T）,'^'linewidth',!
.5）;
图9生成随机脉冲响应函数图%%生成传递函数
set（gca,,xlim,,[0127]）;ylabel（,\itAmplitude（Real/lmag）'）;holdon
plot（imag（T）,'r：
Tlinewidth；1.5）;title（*\bfTransfer
Function*）；gridon
怦2斗.■t-
l
图10生成传递函数实部、虚部图%%A（i）
M=127;dt=1/（127*2）;t=0:
dt:
1000;
F=1/（2*dt）;df=F/M;L=20;A=0;
forj=1:
L
fori=1:
M
A=A+1/M*real（T（i*df））*cos（1*pi*i/M）;B（j）=A;
A=0
end
endstem（B,'filled1）;ylabel（'\itAmplitude‘）;xlabel（'\itj‘）;titleC\bfA（j『）;
gridon
图11生成A（j）数值图
%%白噪声的模拟x=normrnd（031,13167）;
plot（x,'linewidth*,1.5）;
ylabelfNitAmplitude*）;title（'\bfWhiteGaussianNoise）';set（gca,'xlim,,[0167]）;gridon
图12模拟高斯白噪声图％%不规则波浪的模拟A0=randn
（1）;
N1=0;N2=0;
fori=1:
M
forj=1:
Lif（i-j<=0）N1=N1+A
（1）*（x（i+j））;elseN2=N2+A⑴*（x（（i+j））+x（（i-j）））;
end
end
end
N=N1+N2;t1=t+20*0.039;z=round（t1）;H=A0*x（z）+N;fori=1:
25400;
if（H（i+1）==H（i））
H（i+1）=H（i）;H（i）=0;
endendH=H（H〜=0）;plot（H,linewidth\1.5）;ylabelCXitAmplitude'）;xlabel（'\itTime1）;title（*\bf线性过滤法模拟频谱'）；set（gca,'xlim',[O100]）;gridon%%end
图13线性滤波法模拟频谱图
3线性海浪数值模拟的其他方法
除上述的海浪模拟的主要方法外，还有一些其他方法。
Hino等（1972）根据平稳过程线性预测的Wiener-Kolmogorov理论模拟海浪波面高度。
在海面微波散射的研究中，有些作者提出将分形理论应用于海面特征的模拟，如Lo.T（1993）分析了分形海面散射特性，并将其应用于海面目标探测，姚纪欢等（1999）从海面的功率谱出发，建立了海面的Weierstrass分形函数模型。
另外还有一些作者通过直接解算水动力学方程来对海浪进行数值模拟。
如JimX.Chen等通过解算二维Nevier・Stokes求得水面网格节点的离散速度场，根据无旋理想流体的Bernoulli方程将速度场与水面高度场联系起来，改变速度场结点上的值就可达到模拟波面起伏的三维动画效果，并具有实时性。
虽然这种方法是经人为处理用于视觉模拟的，但将流体动力学理论与随机海浪理论联系起来研究海浪的数值模拟是一个值得深入研究的方向。
在海岸工程问题上，基于缓坡方程或Boussinesq方程对近岸海浪及海浪传播变形的模拟一般均采用有限元或边界元直接数值计算的方法，本文对此不再赘述
4结果分析
利用线性波浪叠加法和线性过滤法都等实现对不规则波浪的数值模拟。
线性叠加法较线性过滤法简洁些，但是产生的波浪的波动性比较大。
线性过滤法相对复杂些，但是可以比较准确的模拟实际海浪。
因此,我们可以利用线性叠加法来进行具体工程问题的简要估计，而用线性过滤法来进行比较准确的数值模拟，使更接近于实际情况。
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