信号处理实验三报告.docx
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信号处理实验三报告
实验三抽样
3.3.1抽样引起的混叠
【实验内容】
f0=500HZ，fs分别取100HZ，1kHZ，10kHZ，绘出x[n]及其DTFT。
【程序】
%---文件exp331.m---
%问题3.3.1实验内容
closeall;clearall;
f0=500;
B=0.25*pi;%初相
n=0:
20;
fs1=100;%采样频率100HZ
t1=n/fs1;
x1=sin（2*pi*f0*t1+B）;
[X1,W1]=dtft（x1,1000）;%对采样信号做DTFT
fs2=1000;%采样频率1kHZ
t2=n/fs2;
x2=sin（2*pi*f0*t2+B）;
[X2,W2]=dtft（x2,1000）;%对采样信号做DTFT
fs3=10000;%采样频率10kHZ
t3=n/fs3;
x3=sin（2*pi*f0*t3+B）;
[X3,W3]=dtft（x3,1000）;%对采样信号做DTFT
hf=figure;%绘制x1时域采样结果
subplot（2,3,1）;stem（n,x1）;
title（'fs=100HZ时域采样结果'）;
xlabel（'n'）;ylabel（'x1[n]'）;
subplot（2,3,4）;%绘制x1频域解图
plot（W1,X1）;
gridon;
title（'fs=100HZ采样信号的DTFT'）;
xlabel（'W1'）;ylabel（'X1'）;
%绘制x2时域采样结果
subplot（2,3,2）;stem（n,x2）;
title（'fs=1kHZ时域采样结果'）;
xlabel（'n'）;ylabel（'x2[n]'）;
subplot（2,3,5）;%绘制x2频域解图plot（W2,X2）;gridon;
title（'fs=1kHZ采样信号的DTFT'）;
xlabel（'W2'）;ylabel（'X2'）;
%绘制x3时域采样结果
subplot（2,3,3）;stem（n,x3）;
title（'fs=10kHZ时域采样结果'）;
xlabel（'n'）;ylabel（'x3[n]'）;
%绘制x3频域解图subplot（2,3,6）;plot（W3,X3）;gridon;
title（'fs=10kHZ采样信号的DTFT'）;
xlabel（'W3'）;ylabel（'X3'）;
saveas（hf,'exp331.fig'）;
【结果及分析】
如图1.1所示，前三幅图分别为欠采样、临界采样和完全采样的结果，后三幅图为他们分别对应的DTFT。
图1.1正弦信号的不同频率采样及DTFT
3.3.2抽样的频域视图
【实验内容】
a.已知
求出并绘制其傅里叶变换xa（jΩ）
b.以5000HZ和1000Hz分别对其进行采样得到x1（n）,x2（n）；画出他们的DTFT并与xa（jΩ）。
【程序】
%---文件exp332.m---
%问题a
%傅里叶变换结果X（W）=2000/（1000000+W^2）
clearall;
Dt=0.00005;%模拟信号
t=-0.005:
Dt:
0.005;
xa=exp（-1000*abs（t））;
Wmax=2*pi*2000;
K=500;
k=0:
1:
K;
W=k*Wmax/K;
Xa=xa*exp（-j*t'*W）*Dt;
Xa=real（Xa）;%连续时间傅里叶变换
W=[-fliplr（W）,W（2:
501）];%频率介于-Wmax和Wamx之间
Xa=[fliplr（Xa）,Xa（2:
501）];%Xa介于-Wmax和Wamx之间
hf=figure;
subplot（2,2,1）;plot（t*1000,xa）;
xlabel（'t（ms）'）;ylabel（'xa（t）'）;
gridon;title（'模拟信号'）;
subplot（2,2,2）;plot（W/（2*pi*1000）,Xa*1000）;
xlabel（'f（kHZ）'）;ylabel（'Xa（jw）'）;
gridon;title（'连续时间傅里叶变换'）;
Ts1=0.0002;n=-25:
25;
x1=exp（-1000*abs（n*Ts1））;%离散信号
K=500;k=0:
K;w=pi*k/K;
X1=x1*exp（-j*n'*w）;X1=real（X1）;%离散时间傅里叶变换
w=[-fliplr（w）,w（2:
K+1）];
X1=[fliplr（X1）,X1（2:
K+1）];
subplot（2,2,3）;plot（w/pi,X1）;
xlabel（'w（rad/s）'）;ylabel（'X1（w）'）;
gridon;title（'Ts=5000HZ'）;
Ts2=0.001;n=-25:
25;
x2=exp（-1000*abs（n*Ts2））;%离散信号
K=500;k=0:
K;w=pi*k/K;
X2=x2*exp（-j*n'*w）;X2=real（X2）;%离散时间傅里叶变换
w=[-fliplr（w）,w（2:
K+1）];
X2=[fliplr（X2）,X2（2:
K+1）];
subplot（2,2,4）;plot（w/pi,X2）;
xlabel（'w（rad/s）'）;ylabel（'X2（w）'）;
gridon;title（'Ts=1000HZ'）;
saveas（hf,'exp332.fig'）;
【实验结果及分析】
如图1.2所示，第一幅图为模拟信号原型，第二幅图为他的连续时间傅里叶变换，第三四幅分别为采样周期5000HZ和1000Hz的DTFT。
5000HZ采样满足奈奎斯特定理，1000Hz不满足奈奎斯特定理。
图1.2实验3.3.2结果
3.3.3从样本重建信号
1、拟合正弦波
【实验内容】
假设三个样本符合正弦波，能不能确定其各个参数，w需要什么条件。
不能的话，给出理由。
选取几个样本绘制图像。
【程序】
%---文件exp333_1.m---
%问题1
%拟合正弦波
%不能确定。
t=0:
0.01:
2*pi;
x=2*cos（pi*t/3）;
closeall;
hf=figure;
plot（t,x）;gridon;
title（'解出频率w=pi/3的信号'）;
set（gca,'xtick',0:
0.01:
2*pi）;
xlabel（'t（s）'）;ylabel（'x（t）'）;
saveas（hf,'exp333.1.fig'）;
【结果及分析】
不能根据三点得到正弦信号各个量，由于Ts=1，由采样定理，当w>pi时才能基本确定重建信号。
程序产生正弦信号x（t）=2cos（pi*t/3）。
并绘制其图形进行展示。
图1.3计算正弦信号绘制
2、线性与多项式插值
【实验内容】
a.使用matlab用直线连接样本，解释plot如何绘制图像。
b.将三角形冲击与样本卷积。
证明假设t=-1和t=3的样本是0，上面结果与线性插值相同
c.使用matlab对上面样本拟合为二阶多项式。
绘制结果。
此信号是否能很好的在0~2区间以外拓展。
【程序】
%---exp333_2.m---
%问题2
%%
%a问
x=[21-1];
n=0:
2;
closeall;
hf=figure
（1）;
plot（n,x）;gridon;
set（gca,'xtick',0:
0.01:
2）;
saveas（hf,'exp333.2a.fig'）;
%%
%b问
%计算卷积
SJ=[0.20.40.60.81.00.80.60.40.2];
x0=[2000010000-1];
t=-4:
14;
Co=conv（SJ,x0）;
hf1=figure
（2）;
%计算线性插值
vv=[021-10];%插值点
xx=-1:
3;
xq=-1:
0.1:
3;%被插值点
vq=interp1（xx,vv,xq,'linear'）;%线性插值
subplot（2,2,1）;%绘制两图在同一个图中
%t/5因为卷积之前加了四个0
plot（t/5,Co,'.-r',xq,vq,'.g'）;xlabel（'t'）;ylabel（'x（t）'）;
hl1=legend（'冲击卷积结果','线性插值结果'）;set（hl1,'fontsize',5）;
%分别绘制两种结果在不同坐标中
subplot（2,2,3）;plot（t/5,Co,'.-r'）;
title（'冲击卷积结果'）;
xlabel（'t'）;ylabel（'x（t）'）;
subplot（2,2,4）;plot（xq,vq,'.-g'）;
title（'线性插值结果'）;
xlabel（'t'）;ylabel（'x（t）'）;
saveas（hf1,'exp333.2b.fig'）;%保存结果
%%
%问题c
p=polyfit（n,x,2）;
nn=-5:
0.5:
5;
f=polyval（p,nn）;
hf2=figure;
plot（n,x,'o',nn,f）;
hl2=legend（'样本点','二阶多项式拟合结果'）;
set（hl2,'fontsize',8）;
xlabel（'t'）;
gridon;set（gca,'xtick',-5:
0.1:
5）;
saveas（hf2,'exp333.2c.fig'）;
【结果及分析】
a.plot绘制的结果如图1.4所示，plot绘图的原理是在二维坐标系以直线顺序连接两详尽样本点。
图1.4plot绘制样本点
b.如图1.5所示，线性插值与冲击卷积得到得到结果相同，其中冲击卷积的结果在横坐标除以5。
图1.5冲击卷积与interp1线性插值结果
c.如图1.6所示，信号不能在0~2以外出无限拓展，因为二阶多项式不满足绝对可积条件，信号不是稳定信号。
图1.6二阶多项式拟合图
3、理想低通滤波器
【实验内容】
a.假设只有有限数量的样本信号是非0值，且秩序在有限时间区间上进行重建，写出基于3.18的sinc内插表达式。
b.对t=0处的数值为1的单样本进行插值，绘出结果。
c.对3.3.3中的样本进行插值。
【程序】
%文件---exp333_3.m---
%问题3
%理想低通滤波器
%b
clearall;clc;closeall;
t=-5:
0.05:
5;
%由内插公式，Ts=1s,易得内插表示为：
x0=1*sinc（（ones（length
（1）,1）*t-0*1*ones（1,length（t））））;
hf1=figure;
subplot（2,1,1）;plot（t,x0）;
gridon;
title（'内插计算结果'）;xlabel（'t'）;
subplot（2,1,2）;plot（t,sinc（t））;
gridon;
title（'辛格函数sinc（t）'）;xlabel（'t'）;
saveas（hf1,'exp333.3b.fig'）;
%c
t=-0.5:
0.05:
3;
xn=[2,1,-1];%样本点
M=0;N=2;%样本点起始和终止点
n=[M:
N];%n
Ts=1;%采样周期
t1=-1:
0.05:
2;%插值的点横坐标
xa=xn*sinc（1/Ts*（ones（length（n）,1）*t1-n'*Ts*ones（1,length（t1））））;%sinc插值结果
%-----------exp333_2.m部分内容------------
x=[21-1];
n=0:
2;
%计算卷积
SJ=[0.20.40.60.81.00.80.60.40.2];
x0=[2000010000-1];
tt=-4:
14;
Co=conv（SJ,x0）;
%计算线性插值
vv=[021-10];%插值点
xx=-1:
3;
xq=-1:
0.1:
3;%被插值点
vq=interp1（xx,vv,xq,'linear'）;%线性插值
%plot（xq,vq,'.-g'）
xlabel（'t'）;ylabel（'x（t）'）;
%----以上为拟合正弦波文件部分内容------
%绘制三次实验的结果在同一幅图上
hf2=figure;
plot（t1,xa,n,x,'o-g',tt/5,Co,'.-r'）;holdon;
stem（[M:
N],xn,'o'）;gridon;
hl=legend（'sinc内插','直线连接拟合','卷积/线性插值结果'）;
set（hl,'fontsize',8）;
saveas（hf2,'exp333.3c.fig'）
【结果及分析】
a．有限时间域插值函数如b和c问的程序所示：
xa=xn*sinc（1/Ts*（ones（length（n）,1）*t1-n'*Ts*ones（1,length（t1））））;
b．如图1.7所示，t=0处，样本为1的点sinc插值与辛格函数相同
图1.7sinc插值重建t=0样本
c．如图1.8所示，图上对比了sinc内插，直线卷积和线性内插重建信号。
Sinc内插的结果要比卷积或者线性内插得到的结果要圆滑。
图1.8内插重建3.3.3的样本对比
4、设定带宽的我选择
【实验内容】
能否用fb重建信号。
【程序】
%----文件exp333_4.m----
%问题4
%
%问题抽象为用大于信号本身频带宽度的重建滤波器能否恢复信号；
%不能
clearall;closeall;clc;
Ts=0.0002;
n=-25:
25;
nTs=n*Ts;
fs=5000;
x=exp（-1000*abs（nTs））;
%模拟信号的重构
Dt=0.00005;
t=-0.005:
Dt:
0.005;
xa=x*sinc（fs*（ones（length（n）,1）*t-nTs'*ones（1,length（t））））;
hf=figure;
holdon;%gridon;
xa2=x*sinc（1000/2/pi*（ones（length（n）,1）*tnTs'*fs/1000*2*pi*ones（1,length（t））））;
plot（t*5000,xa,t*5000,xa2,'.-r'）;
set（hl,'location','best'）;
legend（'以fs重建的信号','以fb重建的信号'）;
【结果及分析】
预判：
不能用截止频率为fb的理想低通重建滤波器冲击响应对带限于fb信号样本进行插值。
如图1.9所示，使用3.3.2中的带限信号
进行实验，采样频率50000HZ，fb=1000/2/pi；绘制使用截止频率为fs的理想低通重建滤波器冲击响应对带限于fb信号样本进行插值的图（蓝色），与使用截止频率为fb的理想低通重建滤波器冲击响应对带限于fb信号样本进行插值的图（红色）进行比较。
证明判断正确。
图1.9fb和fs滤波器重建结果
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