人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结完整版doc.docx

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必修四常考公式及高频考点

第一部分三角函数与三角恒等变换

考点一角的表示方法

L终边相同角的表示方法:

所有与角a终边相同的角，连同角a在内可以构成一个集合：

｛B丨0二k・360°+a,kwz｝

2.象限角的表示方法:

第一象限角的集合为｛aIk・360°第二象限角的集合为｛ci丨k・360°第三象限角的集合为｛a丨k・360°第四象限角的集合为2|k・360°

+90°

3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上（如轴线角）的表示方法：

（1）若所求角B的终边在某条射线上，其集合表示形式为｛B|B二k・360°+a,kez｝,其中a为射线与x轴非负半轴形成的夹角

（2）若所求角B的终边在某条直线上，其集合表示形式为｛3|P=k・180°+a,kGZ｝,其屮a为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角

（3）若所求角B的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为｛P|p=k・90°+a,kWZ｝，其中a为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角例：

终边在y轴非正半轴上的角的集合为｛«Ia=k・360°+270°,keZ｝终边在第二、第四象限角平分线上的集合为｛aW=k・180°+135°,keZ｝终边在四个象限角平分线上的角的集合为｛a|a=k-90°+45°,k£Z｝

易错提醒：

区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0〜90、小于180度的角考点二弧度制有关概念与公式

L弧度制与角度制互化

jT1QQO

180。

=龙，1。

=——，1弧度=——=57.3。

180兀

2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）

弧长公式：

l=^=\a\Rf其中a为弧所对圆心角的弧度数

扇形面积公式：

S=^^=-IR^R2|6T|,其中。

为弧所对圆心角的弧度数

36022

易错提醒：

利用s岂r2|°|求解扇形面积公式时，°为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结：

“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选収技巧

考点三任意角的三角函数

1.任意角的三角函数定义

设”是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么sin€r=—»cos6r=—»tan6r=2（r=\OP\=（分+于）；

.y

化简为sincr=y,cos<7=x,tana=—.

x

2.三角函数值符号

规律总结：

利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.

3.特殊角三角函数值

SlN15o=SIN（60o-45o）=SIN60oCOS45o-SIN45oCOS60°=（V6-72）/4

COS15°=COS（60°-45°）=COS60°COS45°+SIN60。

SIN45°=（J6+J2）/4

除此之外，还需记住150、75。

的正弦、余弦、正切值

4.三角函数线

经典结论：

JI

（1）若xw（0,—）,则sinx

2

（2）若xg»贝01

+cosx

⑶|sinx|+|cosx|>l

考点四三角函数图像与性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图彖

y

1

y

1

Y

W

0

14

0

M7*

定义域

R

R

[xk7V-\-—,kezl

I2J

值域

[-1,1]

[-M]

R

最值

刍.v=2«龙+彳（RwZ）时，）—=1;当*2炀丄*Z）时'ymin=-l-

2

当*2M（RgZ）时,ymax=1；当x=2炀+%“）时，儿肿T・

既无最大值也无最小值

周期性

2兀

71

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在「X兀］gz）上是增函数；在「九兀”3打（MZ）上是减函数.

在［加“2如（心）上是增函数；

在［2刼,2刼+刃（也Z）上是减函数.

122）

（展Z）上是增函数.

对称性

对称屮心（比龙,0）（£丘Z）对称轴x=k7T+^（kEZ）

对称中心你+呵（心）

<2丿

对称轴x=k7r（keZ）

对称中心俘,0）（心）

无对称轴

考点五正弦型（y二Asin（3x+*）\余弦型函数（y二Acos（3x+）'正切性函数（y=Atan（^x+））图像与性质

1.解析式求法

（1）y=Asin（3x+

（1））+B或y二Acos（3x+4））+B解析式确定方法

字母

确定途径

说明

A

由最值确定

.最大值一最小值

—2

B

由最值确定

门最大值+最小值B-2

CO

由函数的周期确定

相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点（或

最低点）的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期

e

由图象上的特殊点确定

可通过认定特殊点是五点中的第儿个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定

A、B通过图像易求，重点讲解4）、3求解思路:

1“求解思路：

代入图像的确定点的坐标.如带入最高点（兀］,『1）或最低点坐标（x2,y2），则“垢+0=兰+2£龙伙wZ）或

2

=——+2k7r（keZ）,求0值.

易错提醒：

y二Asin（3x+

（1））,当3>0,且x二0时的相位（cox+0,先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y-3sin（-2x+60°）的初相是-60°

23求解思路：

利用三角函数对称性与周期性的关系，解3•相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴Z间的距离是周期的四分之一.

2.“一图、两域、四性”

“一图”：

学好三角函数，图像是关键。

e向左9〉0）或向右（K0）./丄、

JJV=sin…八**v=sin（.r十®）

丿平移1卩|个单位丿*

横坐标变为原来的+倍

—5，"咖+0

槿坐标变为脈來的丄倍

②yw—站麻耘―

向左（e>o）或向右（^

y=sina）.i**j»=sin（©r十年）

纵坠标变为原来的，倍

横坐标不变

>v=/lsin（（o.r-r^）（A>0t«j>0）e

平移土个单位

纵坐标变为原来的用一•,,、…、c

二:

二,v=Asin（car+^）（/\>O・s>0）.

橫坐林不变°

易错提醒：

“左加右减、上加下减”中"左加右减"仅仅针对自变量x,不可针对・x或2x等.

例：

“两域”：

（1）定义域

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图彖或数轴法来求解.

（2）值域（最值）：

比直接法（有界法）：

利用sinx,cosx的值域.

b.化一法：

化为y二Asin（3x+e）+k的形式逐步分析3x+（i>的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域（最值）.

c.换元法：

把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域（最值）问题.

例：

2

1・y二asinx+bsinx+c

2.y二asinx'+bsinxcosx+ccosx~

3.y=（asinx+c）/（bcosx+d）

4.y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c“四性”：

（1）单调性

1函数y=Asin（wx+（i>）（A>0,3>0）图象的单调递增区间由2kn—<2kn+1.5,kWZ解彳呂；

2函数y二Acos（3x+“）（A>0,w>0）图象的单调递增区间由2kn+n

（1）<2kn+2n,keZ解得，单调递减区间由2kn<2kJi+Ji,kWZ解得；

3函数y=Atan（wx+（b）（A>0,3〉0）图彖的单调递增区间由k兀冷<3x+（b〈kn+*,kWZ解得，.

规律总结：

注意3、A为负数时的处理技巧.

⑵对称性

1函数y二Asin（3x+©）的图象的对称轴由^x+4>=kte+—（keZ）解得，对称中心的横坐标由3x+4>=kn（keZ）解得；

2函数y=Acos（wx+）的图象的对称轴由3x+e二k兀（kWZ）解得,对称中心的横坐标由3x+

3函数y=Atan（cox+4>）的图象的对称中心由3x+4）二kn（kez）解得.

规律总结：

“可以是单个角或多个角的代数式.无需区分3、A符号.

（3）奇偶性

1函数y=Asin（3x+d）,x^R是奇函数o4>=k兀（kez）,函数y=Asin（sx+）,x^R是偶函数od=kn+*（k

ez）;

_JI

2函数y=Acos（3x+e）,xWR是奇函数od）=kn+—（kEZ）:

函数y=Acos（ax+（!

））,xWR是偶函数=kn（k

ez）；

kji

3函数y=Atan（3x+"）,xWR是奇函数u>

（1）=j-（kwZ）.

规律总结：

4）可以是单个角或多个角的代数式.无需区分3、A符号.

（4）周期性

2ji

函数y=Asin（3x+“）或y=Acos（3x+"））的最小正周期T=,

I3|

y=Atan（a）x+（I））的最小正周期T=

I3|

考点六常见公式

常见公式要做到“三用”：

正用、逆用、变形用

1.同角三角函数的基本关系

sin2G+cos?

&=1；tan0二血&

COS&

2三角函数化简思路：

’去负、脱周、化锐〃

（1）去负，即负角化正角：

sin（-a）=-sina；cos（~a）二cosa；tan（-a）二-tana；

（2）脱周，即将不在（0,2it）的角化为（0,2兀）的角：

sin（2kJi+a）=sina；cos（2kn+a）=cosa；tan（2k+a）=~tana；

（3）化锐，即将在（0,2n）的角化为锐角：

6组诱导公式

（1）sin（2^+6Z）=sin6Z,cos（2^+

（2）sin（;r+a）=-sino,cos（;r+a）=-cosa,tan（;r+Q）=tana.

（3）sin（-a）=-sina,cos（—a）=cosa,tan（—a）=—tana・

（4）sin（;r-a）=sin6r,cos（;r-a）=-cosa,tan（^-6Z）=-tan6r.

（5）sin

——a

1.2

（兀\

cosa=sin^z.

71

（6）sin—+a=cosa,

7

（兀}cos—+a

（2丿

=-sina.

l2

口诀：

奇变偶不变，符号看象限.均化为“kn/2土a”，做到“两观熱一变”。

一观察：

k是奇数还是偶数；二观察:

1<11/2±3终边所在象限，再rtlkn/2±a终边所在彖限，确定原函数对应两数值的正负.一变：

正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换.其中公式

（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也对按照函数奇偶性理解

3•两角和差公式sin（a±/?

）=sinacos〃土cosasin0；cos（a±J3）=cosacos+sinsin0；

4•二倍角公式

sin2a=sinacosa；cos2a二cos2a-sin2a=2cos2^z-1=l-2sin2a:

小2tana

tan2a=,

1-tan"a

二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当a二［3时的特殊情况

倍角是相对的，如0.5a是0.25a的倍角，3a是1.5a的倍角

5•升降幕公式

cos2a=cos2sin2a=2cos2a-I=1-2sin2a（升幕缩角）•

cos2a-

1十cos2a

~~2

•2

sma-

1-cos2a

~~2

（降幕扩角）,

&辅助角公式

asinQ+bcosG二J/+b?

sin（a+0）（辅助角©所在象限由点（a,〃）的彖限决定，tm（p=—,--^

7.半角公式

.A,/1-cosA

sin—二土J

2V2

A,11+cosA

cos—=±J

2V2

A/1-cosAtan—=、I

2V1+cosA

A1一cosAsinA

tan—二——;=

2sinA1+cosA

&其它公式

1+sin

“（si吟+COS自

l-sina

/・aa（sin—一cos

-）

9.万能公式

ca

2tan—

sina二

l+（tan—）2

2

COS

a=

l-（tan^）2

l+（tan^）2

tana

2tan—

2

1-（吨尸

10和差化积

sin

a+sin

cos

a+cos

tan

a+tan

ci-b・]°a+b.a-b

；sina_sinb=2cossin

2222

、a+ba-b,.a+b.a-b

=2coscos；cosa-cosb=一2sinsin

2222_sin（a+b）

cosacosh

b二2sig

cos

IL积化和差

sinAsinB=-—[cos（A+B）-cos（A-B）]；cosAcosB=—[cos（A+B）+cos（A-B）]

22

sinAcosB=—[sin（A+B）+sin（A-B）]:

cosAsinB=—[sin（A+B）-sin（A-B）]

22

12.三倍角公式sin3&=3sin&-4sin'&=4sin&sin（y-0）sin（y+&）cos30=4cos3&一3cos&=4cos0cos（—-&）cos（—+&）；tan3&=彳"11。

_鸟“&=tan&tan（—一&）tan（—+&）

331—3tan^033

14•三角形中三角函数关系

/兀Ai_R

在AABC屮，有A+B+C二；roC=7T—（A+B）0匕=o2C=2;r—2（A+B）

sin（A+B）=sinC；

cos（A+B）=—cosC；tan（A+B）=-tanC;sin

=cos-等.

2

15.三角函数化简的常用技巧

1.三角函数化简要做到“pq看、四变”

（1）看角、做好角的变换：

观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等办法化简.

（2）看名、做好名的变换：

利用同角三角函数基本关系实现弦切互化，掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法

（3）看次数、做好次数的变换：

利用升降幕公式实现扩角降次、缩角升次

（4）看形、做好形的变换：

利用辅助角公式，统一函数形式

2.具体技巧

（1）遇分式通分、遇根式升幕.

（2）和积转换法

掌握sinQ土cosQ,sinacosa化简方法，利用（sina土cosa）1±2sinacosa,"知一求二

（3）巧用“]”的变换

l=sir?

（）+cos20==tan45°=sin—=cos0….

3.四种常见题型

给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式

若角的范围在（0,90）,选择正弦、余弦函数均可；若角的范围在（0,180）,选择余弦函数较好；若角的范围在（-90,90）,选择正眩函数较好

第二部分平面向量

考点一向量的有关概念

1•向量：

既有大小又有方向的量，用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示

2.向量的模：

有向线段的长度，|川

3.单位向量：

模为1的向量.与3平行的单位向量：

±a/|a|；与Q同向的单位向量：

a/|a|；单位向量有无数个

4.零向量：

模为0的向量，方向是任意的•注意实数0与向量0的区别

5.相等向量：

长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移

6.相反向量：

长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平血内任意平移

7.共线向量（平行向量）：

方向相同或相反的非零向量，对长度不作要求

易错提醒：

1.有向线段与向量的区别：

向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应看无数多条有向线段.向量只有两要素:

方向和大小;而有向线段有三要素:

起点、方向和大小

2.共线向量（平行向量）可重合，注意与直线平行的区别；不要单纯从字面上理解共线向量，注意与直线重合的区别

3.规定零向量与任意向量平行；不可说零向量与任意向量垂直

4.零向量与单位向量的特殊性：

长度确定、方向任意.a//b,b//c,不一定推出a//c;a二b,b=c,一定推出a=c

6.向量不可以比较大小，如不育呂得出3i>2i

考点二向量的线性运算

1.向量的加法法则

（1）平行四边形法则：

共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限

（2）三角形法则：

首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”

2.向量的减法原则：

起点相同、指向被减

=ab+bc=acoa+ob=ocoa-ob=ba-（a+b）=—0C,—（a~b）=—BA

两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零

3.向量的数乘运算

实数2与向量0的积叫做向量的数乘，记作Aa.其儿何意义就是将表示向量4的有向线段伸长或压缩

（1）|A5|=|2|\a\

（2）当2>0吋，的方向与万的方向相同；当吋，的方向与力的方向相反；当2=0吋，Aa=0

4」与b的数量积运算

a・b二|日||b|cos0=|a.||b|cos=xix2+yiy2

（1）|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影

（2）a•b的几何意义:

a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积

（3）（）为a与b的夹角，0W（）Wh

（4）零向量与任一向量的数量积为0

（5）a•b=-b・a

DA

（7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数

易错提醒：

向量的数量积与实数运算的区別：

（1）向量的数量积不满足结合律，即：

（a・b）・ua・（b・c）

（2）向量的数量积不满足消去律，即：

由a-b=a-c（a^O）,推不出b=c

（3）由|a|=|b|,推不出a二b或a二・b

（4）|a*b|<|a|*|b|

考点三向量的运算律

1•实数与向量的积的运算律

设入、u为实数，那么

（1）结合律：

入（ua）=（Da;

（2）第一分配律：

（X+u）a=Xa4-ya;

（3）第二分配律：

X（a+b）=Xa+Xb.

2.向量的数量积的运算律：

仃）a•b=b•a（交换律）；

（2）（2白）・b二2（&・b）二2自・b二自・（2b）;

（3）（时b）•c=a・c+b•c.

考点四向量的坐标表示及坐标运算

1.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数X、入2,使得a二入ie1+X2e2.不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）ei、e?

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.该定理作用：

证明三点共线、两直线平行或两个向量冬b共线.

解题思路：

可用两个不共线的向量e】、e2表示向量a、b,设b=Xa（a^O）,化成关于e】、「的方程，即f（X）ei+g（X）e2=0,由于e2不共线，则f（入）=0,g（入）=0

2.向量的坐标表示

7,了是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,称（x,y）为向量a>的坐标，记作：

a=（x,y）,即为向虽的坐标表示

⑴设a=,y1）,b=（x2,y2）,则a+b二（x（+x2,必+y2）

⑵设a=（%!

X）,b二（x2,旳），则a-b二（西一x2，开一y2）

—

⑶设九a=九（x「y.）=Xy.）

⑷设a=（xpy1）,b=（x2,y2）,则a・b=|^||b|cos0=x,x2+yiy2

（5）设A（x1?

B（x2,j2）,RiJAB=OB-OA=（x2-xl9y2-yx）

（6）|AB|=^/（x,-Xj）2+（y2-y1）2*A、B两点间距离公式

易错提醒：

公式

（2）与公式（5）的区别

向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关

考点四向量的常见公式

1.线段的定比分公式

（1）定比分点向量公式：

设片（知）1）,£区』2），户（无，刃是线段片出的分点，Q是实数，且戸戶=2戸可，则p的

_坷+恋

坐标是

厂壬+/1兀2）'1+兄歹2、

1+久1+2丿

V1+Q0丽=0片+久0£

刃+创1+Q

«OP=tOP^（\-t）OP^=.

（2）定比分点坐标公式：

设P|（X],yj,P2（x2,y2）,分点P（x,y）,设P】、P?

是直线/上两点，P点在

-»-》

/上且不同于P]、p2,若存在一实数九，使P}P=XPP2,则九叫做P分有向线段―》

P』2所成的比（九＞0,P在线段P』2内，入VO,P在PR外），且

X|+九X?

X=乙

＜1,，P为Pf2中点时，＜

ri+入

'1+2

X]+x2

X=

2

y=yr

2

如：

AABC,A（x,,yj,B（x