第十二章轴对称.docx

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第十二章轴对称

第十二章轴对称

【知识概念图表】

知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）

（一）轴对称

1.图形轴对称与轴对称图形

概念

定义

性质

轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

如果某个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

图形轴对称

把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。

2.线段的垂直平分线：

经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。

性质

在线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

判定

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

（二）作轴对称图形

1.轴对称变换：

由一个图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换。

2.利用轴对称变换作图的方法：

分别将原图形上的一些特殊点向对称轴引垂线段，并延长到使对称轴成为它们的公共中垂线，就得到这些点的对应点，因而就可以得到原图形的轴对称图形。

3.用坐标表示轴对称

（1）点（x，y）关于x轴对称的对称点的坐标为（x，－y）；

（2）点（x，y）关于y轴对称的对称点的坐标为（－x，y）；

（三）等腰三角形

概念

定义

性质

判定

等腰三角形

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形中相等的两边叫做腰，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

定理：

等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

推论：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（也叫“三线合一”性）

定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

等边三角形

三边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三形是特殊的等腰三角形。

等边三角形的各角都相等，并且每一个内角都等于60°

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

含30度锐角的直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。

深度理解

（1）图形轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形而言的。

当然，二者也是辩证的，若把两个图形看成是一个整体时，就是轴对称图形，若把一个轴对称图形看成是两个图形时，那它们的关系就是轴对称；

（2）不论是轴对称图形，还是图形轴对称，其对称轴都是直线。

方法指引

作轴对称图形关键是找特殊点的对称点。

深度理解

用坐标表示轴对称口诀：

对称点坐标要记牢，

相反数位置别混淆，

横轴对称纵标反，

纵轴对称横变号。

深度理解

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线、顶角平分线、底边上的高所在的直线是它的对称轴（即底边的中垂线）。

【易混易错剖析】

1.容易混淆图形轴对称和轴对称图形、轴对称图形和中心对称图形的概念。

图形轴对称和轴对称图形前面已辩，此处不再赘述。

而轴对称图形和中心对称图形都是具有特殊对称性的一个图形，二者的联系与区别既是中考常考考点，也是学生易错问题。

典型示例：

选择：

在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等边三角形，⑥线段，⑦等腰梯形，⑧扇形这八个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的共有（）种

A、3　B、4　　C、5　　　D、7

常见错误：

选D.

解析点评：

本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念。

轴对称图形和中心对称图形都是指一个具有特殊对称性的图形，如果将图形沿着某条直线对折，图形的一部分与另一部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，如果将一个图形绕着某一个点旋转，旋转前与旋转后的图形能够完全重合，那么我们就说这个图形是中心对称图形。

①平行四边形是找不到一条直线，使其沿着它折叠，能够让它两部分重合的，因而它不是轴对称图形，但是，将其绕着对角线交点旋转180度，旋转前与旋转后的图形是能够完全重合的，因而它只是中心对称图形；②矩形能沿着过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的，③菱形④正方形这三个图形都能够沿着对角线所在的直线折叠，两部分能够完全重合，所以②③④它们都是轴对称图形，并且矩形和菱形都有两条对称轴，正方形有四条对称轴，同时，将它们绕着对角线的交点旋转180度，旋转前与旋转后的图形是能够完全重合的，所以它们也是中心对称图形；⑤等边三角形⑦等腰梯形⑧扇形只是轴对称图形，其中等腰梯形和扇形只有一条对称轴，而等边三角形有三条对称轴；⑥线段比较特殊，因而许多同学都错在这里，线段既是轴对称图形也是中心对称图形，它有两条对称轴，一条是它的中垂线，另一条是它本身所在的直线，它的对称中心是它的中点。

综合上述分析，既是中心对称图形又是轴对称图形的有

“②矩形，③菱形，④正方形，⑥线段”这四个图形，因而正确的答案是：

选B.

本题启示：

判别一个图形是不是轴对称或中心对称图形，主要是根据概念的定义，要会大胆想像，必要时可画或剪出图形，动手操作。

2.在解已知条件不太明确的等腰三角形相关证明或计算问题时往往不进行分类讨论，导致结果出错。

我们在这一章经常会见到一些关于等腰三角形的题目，告诉了角，但不知道是什么角？

是底角还是顶角？

不明确！

告诉了边，但不知道是什么边？

没有明确的说是腰还是底边？

许多同学就“葫芦僧判糊涂案”，结果错得一塌糊涂。

典型示例：

①选择：

已知等腰三角形的一个外角是150°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（　　）

A、75°B、120°C、30°D、30°或120°

②填空：

等腰三角形的一条边为4，周长为10，则它的面积为________．

常见错误：

①选B或C的多；②选单独填

或者单独填

或单独填

。

解析点评：

①本题只告诉了：

等腰三角形的一个外角是150°，让求这个等腰三角形顶角的度数，显然，这里有不确定因素，这个外角是顶角的邻补角呢？

还是底角的邻补角呢？

因而，本题就要分类讨论。

如图，以下分两种情况讨论：

ⅰ当这个外角是顶角的邻补角时，其顶角就是300；ⅱ当这个外角是底角的邻补角时，其底角就为300，那么由“三角形内角和定理”及“等腰三角形的两个底角相等”性质可得，

，所以综上两种情况，这个等腰三角形顶角的度数为30°或120°，应选D。

本题启示：

当告诉了等腰三角形的某一个角（或外角）的度数而又不能确定这个角具体是什么角时，往往要分类讨论，分类时要不重不漏，讨论完后要综合回答问题。

②题目告诉了：

等腰三角形的一条边为4，周长为10，要让我们求它的面积。

首先我们就产生了疑问：

“一条边为4”这是一条什么边？

是腰还是底？

不确定，怎么办？

同样还是要分类讨论。

如图，以下分两种情况讨论：

ⅰ当长为4的边为腰时，则另一腰也是4，而周长为10，所以底只能是2，注意要根据三角形三边关系定理验证一下，我们发现此时能够满足三边关系定理，然后我们考虑要计算面积，需要知道高，为了计算简便，最好是求底上的高，由等腰三角形的“三线合一性”及“勾股定理”可得底上的高为

，那么由面积公式可得此时这个等腰三角形的面积为

；ⅱ当长为4的边为底时，则其腰就为

，显然这种情况也是满足三边关系定理的，由等腰三角形的“三线合一性”及“勾股定理”可得底上的高为

，所以此时这个等腰三角形的面积就为

，那么综合上述两种情况，这个等腰三角形的面积就为：

或者

。

本题启示：

当告诉了等腰三角形的某一条边及周长而又不能确定这条边具体是什么边时，往往要分类讨论，将其所有可能的情况逐一探讨并计算出来，讨论完后要作综合回答。

须注意的是：

在分类讨论时，一定不要忽视了三角形的三边关系定理，在确保三角形存在的前提下再去探讨。

3.受“用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等”思维定势的影响，不会很好地应用线段中垂线、角平分线、等腰三角形的性质与判定来简化证明过程。

如能够使用角的平分线性质和判定简化证题过程的，学生一时还真转不过弯儿，还要使用三角形全等的判定与性质去证明，既麻烦又容易出错。

典型示例：

如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D。

求证：

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OC=OD；

（3）OE是线段CD的垂直平分线。

常见问题：

（1）证明：

∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠EDO=∠ECO=900，又点E是∠AOB的平分线上一点，∴∠DOE=∠COE，在△DOE和△COE中，

，∴△DOE≌△COE,∴ED=EC,∠DEO=∠CEO,∴在△DEF和△CEF中，

∴△DFE≌△CFE,∴∠ECD=∠EDC；

（2）证明：

由

（1）得：

△DOE≌△COE,∴OC=OD；

（3）证明：

由

（2）得：

△DFE≌△CFE,∴DF=CF，∠DFC=∠CFE，而∠DFC+∠CFE=1800,∴∠DFC=∠CFE=900,∴EF⊥DC,∴OE是线段CD的垂直平分线。

解析点评：

其实本题是不需要证明三角形全等的，并且过程会更加简捷。

正确证明如下：

（1）证明：

∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，∴∠ECD=∠EDC；

（2）证明：

∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠EDO=∠ECO=900，又OE平分∠AOB，∴∠DOE=∠COE，∴由三角形内角和定理得：

∠DEO=∠CEO，而EC⊥OA，ED⊥OB，∴OC=OD；

（3）证明：

由

（1）得ED=EC，∴点E在线段DC的垂直平分线上，又由

（2）得OC=OD，∴点O也在线段DC的垂直平分线上，∴直线OE就是线段DC的垂直平分线。

（或者∵OC=OD且OE平分∠AOB，∴DF=CF，OF⊥DC，∴直线OE就是线段DC的垂直平分线。

）

本题启示：

在几何证明题中，虽然许多题都不止一种证明方法与途径，但是解答过程往往越简捷越理想，所以能够用线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等等的性质和判定来简化解题过程的，就尽量追求简捷，不要老是陷入全等三角形的性质与判定的泥沼里，什么都想用全等来证明，要善于拓展思维，积累方法，追求数学的简捷美。

【考点命题突破】

考点分析:

必考点：

对轴对称图形的识别，等腰三角形的性质与判定定理的综合运用；

常考点：

运用轴对称作图，用坐标表示轴对称并会在坐标平面内作轴对称变换，以及含30度锐角的直角三角形的性质的应用；

少考点：

作简单平面图形的多次轴反射图，利用轴对称进行图案设计，分析简单几何图形的对称关系等。

中考热点：

图形变换是近年中考必考题，将等腰三角形知识与分类讨论问题结合，与四边形、解直角三角形、圆以及函数问题结合在一起出难度较高的综合题。

考查方式：

对轴对称和轴对称图形的考查往往是填空题或选择题甚至于作图题，对等腰（等边）三角形的知识的考查往往是大型综合题，甚至于有些就是与函数结合进行分类讨论的压轴题。

考点1轴对称和中心对称概念

（2011江苏南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

解题思路：

轴对称图形和中心对称图形都是指一个具有特殊对称性的图形，如果将图形沿着某条直线对折，图形的一部分与另一部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，如果将一个图形绕着某一个点旋转，旋转前与旋转后的图形能够完全重合，那么我们就说这个图形是中心对称图形。

根据这两个定义，我们可以判定只有C才同时具备了这两个对称性。

答案：

C

考点2轴对称（折叠）、线段中垂线性质及含30度角的直角三角形性质和等腰三角形性质及勾股定理综合应用

（2011山东菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为

A．6B．3C．

D．

解题思路：

本题一是告诉了△ABC中的三个元素：

BC=3，AB=6，∠BCA=90°，二是告诉了折叠，即△ABE≌△DBE。

则马上就得到：

∠DBE=∠ABE，∠BDE=∠BAE，AB=DB=6，又BC=3，所以点C是线段BD的中点，而∠BCA=90°，即CE⊥BD，所以直线CE就是线段BD的中垂线，因而由线段中垂线的性质：

BE=DE，再由等腰三角形的性质得：

∠BDE=∠DBE，所以就得到：

∠DBE=∠ABE=∠BAE，而∠BCA=90°得∠DBE+∠ABE+∠BAE=90o,所以∠DBE=∠ABE=∠BAE=30o,在Rt△BCE中，设CE=x,则BE=2x,由勾股定理得：

解得

.所以BE=2x=

。

答案：

C

考点3轴对称、平移作图及坐标特征

（2011广东湛江）如图，在平面直角坐标系中，

的三个顶点的坐标分别为

．

（1）作出

向右平移5个单位的

；

（2）作出

关于

轴对称的

，并写出点

的坐标．

解题思路：

本题是一道作图题，向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标加5即可；作关于x轴的对称图形，横坐标不变，纵坐标变成相反数。

答案：

（1）

（2）

点

的坐标是

．

考点4等腰三角形的“三线合一”性，三角形中位线的性质定理，平行线的性质定理，勾股定理及三角形的面积计算公式

（原创题）如图，△ABC中，AC=AB=5cm,BC=6cm,D是BC边的中点，DE⊥BA，DF是△ABC的中位线。

求线段EF的长。

解题思路：

本题条件主要是知道一个等腰三角形，并告诉了三边长，还告诉了它的一条中位线，也告诉了底边中点，还从中点向一腰作了垂线等等，条件似乎繁杂了一点，要解决的问题是求EF的长。

下面让我们理一理头绪：

①知道等腰三角形及底边上的中点，你联想到了什么？

那自然是等腰三角形的“三线合一”性，所以就想把AD连起来试试，自然AD⊥CB及∠DAC=∠DAB；②知道了三边长，又知道DF是三角形的一条中位线，自然联想到三角形中位线定理，那么DF∥AB且DF=

AB=2.5cm；③有了AD⊥CB就有直角三角形：

Rt△ADB和Rt△ADC，而DB=DC=

BC=3cm，AB=AC=5cm，这就自然而然联想到勾股定理，所以就得到AD=4cm；④在Rt△ADB中，又已知DE⊥BA，那么由面积法就可求出DE=2.4cm，又DF∥AB，所以∠FDE=∠DEB=900，所以三角形DEF是直角三角形。

那么所要求的EF就是它的斜边，所以由勾股定理就可求出EF=

cm.

答案：

解：

连接AD。

∵AC=AB=5cm，D是BC边的中点，BC=6cm，∴AD⊥CB且DB=DC=

BC=3cm，又DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB且DF=

AB=

cm，在Rt△ADB中，∵DB=3cm，AB=5cm，由勾股定理得AD=4cm,又∵DE⊥BA，由面积公式：

，

∴

，又DF∥AB，DE⊥BA，

∴∠FDE=∠DEB=900，在Rt△DEF中，由勾股定理得：

EF=

cm.

答：

线段EF的长为

cm.

难点突破和易错警示

难点突破：

是不是轴对称图形，关键要看能不能找到对称轴？

是不是中心对称图形，那要看能否找到对称中心？

其实这类题应当算是实验操作题，因为如果你想像不到，完全可以画在纸上，动手去做一做就知道了。

难点突破：

本题的关键是要求出30度的锐角，然后在某一个三角形中由勾股定理建立方程。

当然，在学习了初三解直角三角形知识后，也可以直接解直角三角形更简便。

方法点拨：

可以先作图后用坐标规律去验证，也可以先用规律去求对应点的坐标后去描点作图。

知识链接：

本题主要考查三角形的相关知识，所要考查的定理有：

①等腰三角形的性质：

等腰三角形的底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线“三线合一”；②三角形的中位线的性质：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；③勾股定理：

直角三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方；④三角形的面积公式：

三角形的面积=底×高÷2；⑤平行线的性质：

两直线平行，内错角相等；

【中考典题回顾】

例1（2011广东株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36o，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

答案：

（1）解：

∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°.

（2）解：

∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.

例2（2011湖北黄冈）如图，在等腰三角

形ABC中，∠ABC=90o，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

答案：

连结BD，∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠A=∠C=45O,又D为AC边上中点，∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=45O,∴∠ABD=∠CBD=∠A=∠C=45O,∴AD=BD=CD，又∠EDB+∠BDF=∠BDF+∠CDF==90°，∴∠EDB=∠CDF，同理可得∠FDB=∠EDA，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF=3，同理得△AED≌△BFD，∴BF=AE=4，在Rt△BEF中，由勾股定理可得：

EF=5.

例3（2011山东东营第23题）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线

经过点B。

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：

解：

（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；

∴∠BCD=∠CAO；又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，

∴△BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为（3,1）

（2）抛物线

经过点B（3,1），则得

解得

，所以抛物线的解析式为

（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图

（1）。

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD

∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（－1，－1）；经检验点P1（－1，－1）在抛物线为

上；

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图

（2）。

同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（－2，1），；经检验点P2（－2，1）也在抛物线

上；

③若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），；经检验点P3（2，3）不抛物线

上；

故符合条件的点有P1（－1，－1），P2（－2，1）两个。

要点提示：

例1第一问运用线段中垂线的性质和等腰三角形的性质来解答；第二问运用等腰三角形的性质与判定及三角形内角和定理及推论来解答。

当然几何题往往方法是不唯一的，也可运用其他方法来解答。

例2

连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，从而将两个已知量转移到同一个直角三角形中，运用勾股定理求解，得EF=5。

例3

第一问构造三角形全等，从而计算出点B到x轴和到y轴的距离；第二问利用第一问的结论，将点B的坐标代入函数解析式，求出待定字母

的值即可；第三问运用分类讨论思想逐个讨论各种情况，并借助于全等三角形的性质求出相关的量，但要特别注意，所求出的点的坐标必须要代入函数的解析式进行验证，不合题意的结果要舍去。