初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧.docx

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初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧

初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧

行程问题

在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。

此类问题一般分为四类：

一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。

行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。

相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。

相遇问题

两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。

这类问题即为相遇问题。

相遇问题的模型为：

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：

A，B两地的路程＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间

基本公式有：

两地距离=速度和×相遇时间

相遇时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相遇时间

二次相遇问题的模型为：

甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

则有：

第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

相遇问题的核心是“速度和”问题。

利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。

相离问题

两个运动着的动体，从同一地点相背而行。

若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。

它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。

解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。

基本公式有：

两地距离=速度和×相离时间

相离时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相离时间

相遇（相离）问题的基本数量关系：

速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程

在相遇（相离）问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。

追及问题

两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。

慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。

有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。

解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

基本公式有：

追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间

速度差×追及时间=追及（或领先）的路程

追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差

要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。

如：

运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。

常用公式：

行程问题基本恒等关系式：

速度×时间=路程，即S=vt.

行程问题基本比例关系式：

路程一定的情况下，速度和时间成反比；

时间一定的情况下，路程和速度成正比；

速度一定的情况下，路程和时间成正比。

相遇追及问题中符号法则：

相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。

流水行船问题中符号法则：

促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。

行程问题常用比例关系式：

路程比=速度比×时间比，即S1/S2=v1/v2×t1/t2

电梯运行规律：

能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×顺电梯运动所需时间

能看到的电梯级数=（人速—电梯速度）×逆电梯运动所需时间

2v1v2

往返运动问题核心公式：

往返平均速度=-------（其中v1和v2分别表示往返的速度）

v1+v2

3S1+S2

两次相遇问题核心公式：

单岸型S=-------；两岸型S=3S1-S2（S表示两岸的距离）

2

相向而行：

相遇时间=距离÷速度之和

相背而行：

相背距离=速度之和×时间

注意：

同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。

在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。

环形运动的追击问题和相遇问题：

若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈；若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。

解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。

对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。

分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。

理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。

（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的

At+bt=st=s/a+bS甲=a*t=a*s/a+bS乙=b*t=b*s/a+b

封闭路线中的行程问题

解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。

封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。

在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。

直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。

每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。

流水行船问题

顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。

解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。

已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。

解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：

船速：

在静水中的速度

水速：

河流中水流动的速度

顺水船速：

船在顺水航行时的速度

逆水速度：

船在逆水航行时的速度

船速+水速=顺水船速

船速－水速=逆水船速

（顺水船速+逆水船速）÷2=船速

（顺水船速－逆水船速）÷2=水速

顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速×2

过桥问题

一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。

解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。

基本公式有：

桥长+车长=路程

平均速度×过桥时间=路程

过桥时间=路程÷平均速度

解行程问题的方法

已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。

解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。

行程问题的基本数量关系是：

速度×时间=路程

路程÷速度=时间

路程÷时间=速度

行程问题常见的类型是：

相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。

（一）相遇问题

两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。

它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。

相遇问题根据数量关系可分成三种类型：

求路程，求相遇时间，求速度。

它们的基本关系式如下：

总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

（二）追及问题

追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。

由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：

距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

*例1甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。

他们同时向同一个方向前进。

甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。

几小时后乙能追上甲？

解：

求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：

10-5=5（千米）

再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。

9÷5=1.8（小时）

*例2甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。

乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。

甲几小时才能追上乙？

解：

甲每小时行：

5×1.2=6（千米）

甲每小时能追上乙：

6-5=1（千米）

相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。

6÷1=6（小时）

*例3甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。

甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。

二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？

解：

此题的运动路线是环形的。

求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。

因此，甲追上乙的时间是：

400÷（350-250）=4（分钟）

*例4在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。

在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。

从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？

解：

敌我两军行进的速度差是：

8.5-5.5=3（千米/小时）

我军追上敌军用的时间是：

6÷3=2（小时）

从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：

2+0.5=2.5（小时）

*例5一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。

离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。

通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。

通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？

解：

通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。

通讯员的速度等于队伍的2倍（10÷5=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷2）千米。

这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。

根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。

（3+3÷2）÷（10-5）

=4.5÷5

=0.9（小时）

（三）相离问题

相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。

解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。

*例3东、西两镇相距69千米。

张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。

已知张每小时比王多行1.5千米。

二人每小时各行多少千米？

出发地距东镇有多少千米？

（适于高年级程度）

解：

由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是（69÷6）千米/小时。

张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。

从而可以分别求出二人的速度。

张每小时行：

（69÷6+1.5）÷2

=（11.5+1.5）÷2

=6.5（千米）

王每小时行：

6.5-1.5=5（千米）

出发地距东镇的距离是：

6.5×6=39（千米）

解流水问题的方法

流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。

在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。

这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。

流水问题有如下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速         

（1）

逆水速度=船速-水速         

（2）

这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。

公式

（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。

这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。

公式

（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。

根据加减互为逆运算的原理，由公式

（1）可得：

水速=顺水速度-船速         （3）

船速=顺水速度-水速         （4）

由公式

（2）可得：

水速=船速-逆水速度         （5）

船速=逆水速度+水速         （6）

这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。

另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。

因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2   （7）

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2   （8）

*例1一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。

此船在静水中的速度是多少？

（适于高年级程度）

解：

此船的顺水速度是：

25÷5=5（千米/小时）

因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。

5-1=4（千米/小时）

*例2一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。

水流的速度是每小时多少千米？

此船在逆水中的速度是：

12÷4=3（千米/小时）

因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：

4-3=1（千米/小时）

*例3一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。

这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？

解：

因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是：

（20+12）÷2=16（千米/小时）

因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：

（20-12）÷2=4（千米/小时）

*例4某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。

此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。

求甲、乙两地的路程是多少千米？

此船从乙地回到甲地需要多少小时？

解：

此船逆水航行的速度是：

18-2=16（千米/小时）

甲乙两地的路程是：

16×15=240（千米）

此船顺水航行的速度是：

18+2=20（千米/小时）

此船从乙地回到甲地需要的时间是：

240÷20=12（小时）

*例5某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。

已知水速为每小时3千米。

此船从乙港返回甲港需要多少小时？

解：

此船顺水的速度是：

15+3=18（千米/小时）

甲乙两港之间的路程是：

18×8=144（千米）

此船逆水航行的速度是：

15-3=12（千米/小时）

此船从乙港返回甲港需要的时间是：

144÷12=12（小时）

综合算式：

（15+3）×8÷（15-3）=12（时）

*例6甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。

求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？

解：

顺水而行的时间是：

144÷（20+4）=6（小时）

逆水而行的时间是：

144÷（20-4）=9（小时）

*例7一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。

一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。

求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？

解：

此船顺流而下的速度是：

260÷6.5=40（千米/小时）

此船在静水中的速度是：

40-8=32（千米/小时）

此船沿岸边逆水而行的速度是：

32-6=26（千米/小时）

此船沿岸边返回原地需要的时间是：

260÷26=10（小时）

*例8一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。

顺水行150千米需要多少小时？

解：

此船逆水航行的速度是：

120000÷24=5000（米/小时）

此船在静水中航行的速度是：

5000+2500=7500（米/小时）

此船顺水航行的速度是：

7500+2500=10000（米/小时）

顺水航行150千米需要的时间是：

150000÷10000=15（小时）

*例9一只轮船在208千米长的水路中航行。

顺水用8小时，逆水用13小时。

求船在静水中的速度及水流的速度。

解：

此船顺水航行的速度是：

208÷8=26（千米/小时）

此船逆水航行的速度是：

208÷13=16（千米/小时）

由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：

（26+16）÷2=21（千米/小时）

由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：

（26-16）÷2=5（千米/小时）

*例10A、B两个码头相距180千米。

甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。

甲船顺水行全程用10小时。

乙船顺水行全程用几小时？

解：

甲船逆水航行的速度是：

180÷18=10（千米/小时）

甲船顺水航行的速度是：

180÷10=18（千米/小时）

根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度：

（18-10）÷2=4（千米/小时）

乙船逆水航行的速度是：

80÷15=12（千米/小时）

乙船顺水航行的速度是：

12+4×2=20（千米/小时）

乙船顺水行全程要用的时间是：

180÷20=9（小时）