湖南省衡阳市届高三三校联考.docx
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湖南省衡阳市届高三三校联考
湖南省衡阳市2022届高三三校12月联考
数学试卷（理）
衡南县一中衡阳县一中衡阳市一中编审李晓平
时量：
120分钟满分：
150分
一．选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若
，则”的否命题为：
“若
，则”
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．命题“
，使得
”的否定是：
“
，均有
”
D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题
2．在等差数列中，已知
，那么（）
；；；
3．若
（为实常数）在区间
上的最小值为-4，
则a的值为
（A）4（B）-3
（C）-4（D）-6
4．设变量满足约束条件
，则
的最大值是（）
A．1B．
C．
D．2
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量
若
，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（A）
6．已知函数
的图像如图所示，那么（）
A．
B．
C．
D．
7．定义:
区间
的长度等于
.函数
的定义域为
值域为．若区间
的长度的最小值为
则实数的值为（）
A．
B．2C．
D．4
8．已知函数f（x）=
在[1,+∞]上为减函数，则a的取值范围是（）
A.
B.
C.D.
二．填空题：
本大题共7小题,每小题5分，共35分
9．设函数
的部分图象如右图所示，则f（x）的表达式。
10．若关于的不等式
的解集恰好是，则
_______．
11．已知函数
在x＝－1时有极值0，则m+n=--------------.
12．已知
的周长为6，三边长
构成等差数列，则
的取值范围为__________．
13．已知向量
，其中为坐标原点，若任意实数，使得
成立，则实数的取值范围是__________.
14．已知集合
，函数
的定义域为Q.
（I）若
，则实数a的值为；
（II）若
，则实数a的取值范围为.
15．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=6,AC=7,BC=8，如果跳蚤开始时在BC边的点P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，
且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；
第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；
跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），
则点P2022与P2022间的距离为．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分12分）在
中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
，
，且
。
（I）求锐角B的大小；
（II）如果，求
的面积的最大值。
17.已知集合是由满足下列性质的函数的全体所组成的集合：
在定义域内存在，使得
成立。
（1）指出函数
是否属于，并说明理由；
（2）设函数
属于，求实数的取值范围。
18.某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位:
千元）与市场供应量p（单位：
万件）之间近似满足关系式：
，其中k,b均为常数。
当关税税率为75﹪时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万元；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件。
（1）试确定k、b的值；
（2）市场需求量q（单位：
万件）与市场价格x近似满足关系式：
q==q时，市场价格称为市场平衡价格。
当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值。
19.已知二次函数
有最大值，且最大值为正实数，集合
，集合
（1）求集合A和B；
（2）定义：
“
”设
均为整数，且
。
记
为取自集合
的概率，
为取集合
的概率。
已知
。
记满足上述条件的所有的值从小到大排列构成的数列为，所有的值从小到大排列构成数列。
①求
和
；
②请写出数列和的通项公式（不必证明）；
③如果在函数中，
，记的最大值为，
，
，求证：
.
20.已知函数
设
．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（II）是否存在实数m,使得函数
的图像与函数
的图像恰有四个不同的交点？
若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。
21.已知函数
的图象按向量
平移后便得到函数的图象，数列满足
（n≥2，nÎN*）．
（Ⅰ）若
，数列满足
，求证：
数列是等差数列；
（Ⅱ）若
，数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若
，试证明：
．
三校联考数学（理）试卷答案
一：
选择题
3.C4.B5.A6.B7.D
二：
填空题
9、
10。
411。
1112。
[2,3）13。
14．
；
15。
3
三：
解答题
16．
（1）解：
m∥nÞ2sinB（2cos2B2－1）＝－cos2B
Þ2sinBcosB＝－cos2BÞtan2B＝－……4分
∵0＜2B＜π,∴2B＝2π3,∴锐角B＝π3……6分
（2）由tan2B＝－ÞB＝π3或5π6————————7分
①当B＝π3时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac（当且仅当a＝c＝2时等号成立）……9分
∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝34ac≤
∴△ABC的面积最大值为……10分
②当B＝5π6时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝（2＋）ac（当且仅当a＝c＝－时等号成立）
∴ac≤4（2－）……11分
∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝14ac≤2－
∴△ABC的面积最大值为2－……12分
17．解:
：
（1）若
属于，则存在
，使得
，
则
因为方程
无解，所以
不属于。
。
。
。
。
。
。
5分
（2）由
属于知，有
有解，
即
有解；。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
8分
当时，
；。
。
。
。
。
。
。
。
。
9分
当时，由
，得
，得
，。
。
。
11分
所以
。
。
。
。
。
。
。
。
12分
18．解：
（1）由已知，
解得b=5,k=1。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
5分
（2）当p=q时，
。
。
。
。
。
。
。
。
6分
。
。
。
。
。
。
。
9分
而
在上单调递减
∴当x=4时，f（x）有最大值
。
。
。
11分，此时t=5
故当x=4时，关税税率的最大值为500﹪……12分
19．解：
（1）∵f（t）有最大值，∴a<0.
由
得b>1，…………2分
故
…分………4
（2）①因为
，所以考虑一下情形：
当A中有3个整数时，A-B中有2个，
中有1个，则a=-4,b=2;
当A中有6个整数时，A-B中有4个，
中有2个，则a=-7,b=3;
当A中有9个整数时，A-B中有6个，
中有3个，则a=-10,b=4;
故a1=-4,a2=-7,a3=-10;b1=2,b2=3,b3=4............7分
②an=-3n-1,bn=n+1............9分
③
...13分
20．解：
（I）
，
…….2分
∵，由
，∴
在
上单调递增。
由
，∴
在
上单调递减.
∴
的单调递减区间为
，单调递增区间为
。
…..5分
（II）若
的图象与
的图象恰有四个不同得交点，即
有四个不同的根，亦即
有四个不同的根。
……….7分
令
，
则
……..9分
当x变化时，
、
的变化情况如下表：
x
的符号
＋
－
＋
－
的单调性
由表格知：
，
….11分
画出草图和验证
可知，当
时，
与
恰有四个不同的交点。
∴当
时，
的图象与
的图象恰有四个不同的交点。
…….13分
21．解:
，则
（n≥2，nÎN*）．
（Ⅰ）
，
，∴
（n≥2，nÎN*）．∴数列是等差数列．………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列是等差数列，首项
，公差为1，则其通项公式
，
由
得
，故
．……6分
构造函数
，则
．函数
在区间
，
上为减函数．
∴当
时，
，且在
上递减，故当时，取最小值
；当
时，
，且在
上递减，故当时，取最大值
．故存在．…………8分
（Ⅲ）先用数学归纳法证明
，再证明
．
①当n＝1时，
成立，
②假设n＝k时命题成立，即
，
则当n＝k+1时，
，
，则
，故当n＝k+1时也成立．
综合①②有，命题对任意nÎN*时成立，即
．…….11分
下证
．
∵
，∴
．
综上所述：
…13分
内容总结
（1）10．若关于的不等式的解集恰好是，则_______．
11．已知函数在x＝－1时有极值0，则m+n=--------------.
12．已知的周长为6，三边长构成等差数列，则的取值范围为__________．
13．已知向量，其中为坐标原点，若任意实数，使得成立，则实数的取值范围是__________.
14．已知集合，函数的定义域为Q.
（I）若，则实数a的值为
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