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知识要点
知识要点】
1、将实际问题转化为数学问题。
2、运用数学知识和方法解答转化成的数学问题。
3、将数学结论回归到实际问题去检验，以确定实际问题的解答。
4、数学应用的一般思路用框图为：
【知识讲解】
实际问题是多种多样的，它们有着不同的背景，在解决这些实际问题时，关键是正确地把它转化为数学问题。
因此，必须做到：
1、认真审题：
要认真阅读问题，抓住问题中的关键词语，理解题意。
题目可以多读几遍，做到熟悉问题的主要内容，胸中装着问题内容。
2、收集信息。
在认真审题的基础上，注意收集、分析处理数据，联系有关的数学知识，把握好其中的数形关系。
比如：
遇到长方形的问题就要联系到诸如长方形的周长、面积等之类的数学知识；再如：
某建筑物的顶棚形状或桥拱是抛物线形状，应立即联系到二次函数的许多性质等知识。
3、把实际问题转化为数学问题。
在前两步做好的情况下，就把实际问题的数形关系正确转化为数学问题。
比如：
转化为方程、不等式、函数、几何图形和统计、概率等数学问题。
4、解决数学问题回归实际得出解答。
当实际问题转化为数学问题以后，要用所掌握的数学知识、技能和方法，完成对数学问题的解答。
有时，数学问题的解答并不一定符合问题的实际意义，这时就要针对问题的实际，对解答进行分析、选择，得到实际问题的正确答案。
实际问题往往带有更强的综合性，解决它们需要具备扎实的数学基础知识和基本技能、较高的分析问题与解决问题的能力和勇于探索的精神。
【典型例题】
例1：
甲乙两城间的铁路长为1600km，经过技术改造，列车实施了提速，所提高的速度是原速度的
，提速后，列车从甲城到乙城的行驶时间减少了4h。
已知铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140km/h，请你用所学过的数学知识，判断在现有条件下是否可以再次提速？
分析：
甲、乙两地之间距离知道，提高的速度与原速度的关系也清楚，能否再提速关键要清楚要知道提速后的速度与限速140km/h是否有差距，本题主要求出提速后的速度，根据提速前后同段路程的时间差，可用数学中方程的知识求出提速后的速度。
解：
设原来的速度为xkm/h，则提速后的速度为
xkm/h，
根据题意，得：
＝4 解得：
x＝80（km/h），
经检验x＝80是原方程的根，
∵80＜140，
∴列车在现有条件下可以再次提速。
例2：
2006年8月份，某市受强台风的影响后，部分街道路面积水比较严重，为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200米排水工程承包给甲、乙两个工程队来施工。
若甲、乙两个队合做需12天完成此项工程；若甲队先做8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工。
问：
甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
又知，甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需费用1万元，要使完成后该工程所需费用不超过35万元，那乙工程队至少要施工多少天？
分析：
本题有两问，第1问比较简单，就是方程中常见的工作量问题，可转化分式方程组解决；第2问是使施工费用不超过某个上限，从题目要求观察，是两队合作，但合作的天数，由工程费用决定，可设出各自施工的天数，根据第一问的工效列出一个方程，由费用得出的是不等式关系，这样这个实际问题又转化为一个不等式组的数学问题。
解：
设甲、乙两队单独完成此项工程分别要x天、y天，
依题意，得：
解之得：
，
经检验知，它们适合方程组和题意，
则甲队每天施工1200÷20＝60（m），乙队每天施工1200÷30＝40（m），
设甲、乙两队实际完成此项工程各施工了a天、b天，
依题意，得：
解得：
b≥15，
答：
甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天、30天，要完成该项工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工15天。
例3：
一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器，经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20%；B型计算器单价为22元，150只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元，如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？
分析：
列不等式解应用题是不等式的一个重要应用，此类问题的关键是：
根据题意设出未知数，列出不等式组解出解集后，根据题意分析解集的可行性。
解：
设购进A型计算器x只，B型计算器y只，
则
即
解得：
≤x≤255，
设所需资金为p元，
则p＝2[100×50＋（x－100）×50×（1－20%）]＝80x＋2000，
因为，
≤x≤255且x为整数，而p随x的增大而增大，
所以，当x＝222时，p的最小值为19760元。
例4：
近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名的跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：
[信息一]招聘对象：
机械制造类和规划设计人员共150名。
[信息二]工资待遇：
机械类人员工资为600元/月，规划设计人员为1000元/月。
设公司招聘机械制造类和规划设计人员分别为x人、y人：
（1）用含x的代数式表示y。
（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求p的取值范围。
分析：
本题是一个函数问题，可根据题目中给出的数据将实际问题转化为一个一次函数问题；第2问是一个不等式问题，可用不等式的知识求出设计人员的招聘的名额（x）范围，再由x的范围即可确定工资总额P的范围。
解：
（1）y＝150－x。
（2）根据题意，得：
y≥2x，
∴150－x≥2x 解得：
x≤50，
又∵x＞0，
∴0＜x≤50，
∴p＝600x＋1000（150－x）＝－400x＋150000，
∴x＝
，
∴0＜
≤50 解得：
130000≤p＜150000。
例5：
如图，现有一截面是抛物线的水渠。
一次，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，发现标杆有1m浸没在水中，露出水面部分的标杆与水面成30°的夹角（标杆与抛物线的截面在同一平面内）：
（1）以水平面所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。
（2）在
（1）的条件下，当水面再上升0.3m时，水面宽约为多少？
（
取2.236，结果精确到0.1m）
分析：
由于截面是抛物线的水渠，因此，联想利用二次函数图象的知识来解决；标杆浸没1m说明AC＝1，CB＝0.5，再由标杆与水面成30°角，这样把问题转化为二次函数的问题，由刚才分析的数据就可以确定抛物线的两个点的坐标：
顶点A、点B，这样，所求水面宽度就转化为求抛物线与x轴两交点间的距离问题。
解：
（1）设AB与x轴交于点C，∠OCA＝30°，AC＝1m，
可知，BC＝0.5m，作BD⊥x轴于点D，
在RtΔCBD中，∠BCD＝30°，CB＝0.5m，
则CD＝
m，BD＝
m，
在RtΔACO中，则有OA＝0.5m，OC＝
m，
故A
，B
，
设抛物线解析式为：
y＝ax2－
，
将点B
代入得：
a＝
，
所以，y＝
。
（2）当水面上升0.3m时，
此时，y＝0.3代入抛物线解析式可得：
＝0.3 解得：
x＝±
，
故此时，水面宽为
≈2.7（m）。
答：
此时，水面宽约为2.7m。
例6：
如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物的一部分（把汽车看成一个点），这时，视线与公路夹角为α＝30°，乙建筑物的高度为15米，若汽车司机刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与公路的夹角为45°，请问他行驶了多少千米？
分析：
由题意可知，有两个直角三角形，这样实际问题就转化为解直角三角形问题了。
解：
过甲、乙建筑物顶端B、C两点作直线交地面于点D，
则汽车行至点D时刚好看不到点B，且∠BDE＝45°，
在RtΔACF中，∠A＝30°，CF＝15m，
∴AF＝
（m），
在RtΔCFD中，
∵∠BDE＝45°，
∴∠FCD＝45°，
∴FD＝CF＝15m，
∴DA＝AF－DF＝（
－15）（m）。
答：
他行驶了（
－15）米。
例7：
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。
如果转盘停止后，指针正好对准红、绿、黄、白区域，那么顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元的购物券，凭购物券仍然可以在商场购买商品，如果顾客不愿意转动转盘，那么，可以直接获得购物券10元：
红①获得80元购物券
绿②获得30元购物券
黄③获得10元购物券
白④没有购物券
（1）每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是多少？
（2）你若在此商场购买100元的货物，选择哪种方式？
（3）小明在家里也做了一个同样的转盘做实验，转10次后共得购物卷96元，他说还是不转转盘，直接领取购物券合算，你同意小明的说法吗？
分析：
这是一个可能性的问题，即要算出转动转盘获得金额多少的可能性与不转动转盘获得的购物券金额进行比较，该实际问题就转化为比较两个数据的大小的数学问题。
解：
（1）80×10%＋30×15%＋10×25%＋0×50%＝15（元）,
即每转动一次转盘平均获得购物券金额为15元。
（2）因为，转动一次转盘平均可获得购物券15元，大于直接购物券10元，
所以，参加转盘合算。
（3）不能同意小明的说法，实验次数很多时，实验结果才趋近于理论数据，但实验次数再多，结果也难等于理论数据。
例8：
如图，花丛中有路灯杆AB。
在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时，小明的影长GH＝5米。
如果，小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度。
（精确到0.1米）
分析：
小明身高不变，利用小明在不同位置处的影长不同，但每处的身高与路灯杆平行，因此，可利用相似三角形的知识得出灯杆AB的高度。
解：
根据题意，得：
AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，
在RtΔABE和RtΔCDE中，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，
∴CD∥AB，
∴ΔABE∽ΔCDE，
∴
①
同理，
②
又CD＝FG＝1.7m，
由①、②得：
即
解之得：
BD＝7.5（m），
将BD＝7.5代入①得：
AB＝5.95m≈6.0m。
答：
路灯杆AB的高度约为6.0m。
例9：
某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：
发果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：
yA＝kx，并且当投资5万元时，可获利2万元。
信息二：
如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：
yB＝ax2＋bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元：
（1）请分别求出上述正比例函数表达式与二次函数表达式。
（2）如果该企业同时对A、B两种产品投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得最大利润是多少？
分析：
（2）中的问题可转化为二次函数的最大值的数学问题。
解：
（1）当x＝5时，yA＝2，2＝5k，
∴k＝0.4，
∴yA＝0.4x，
当x＝2时，yB＝2.4；当x＝4时，yB＝3.2，
∴
解得：
，
∴yB＝－0.2x2＋1.6x。
（2）设投资B种产品x万元，则投资A种产品（10－x）万元，获得利润W万元，
根据题意，得：
W＝－0.2x2＋1.6x＋0.4（10－x）＝－0.2x2＋1.2x＋4，
∴W＝－0.2（x－3）2＋5.8，
当投资B种产品3万元时，可获得最大利润5.8万元，
所以，投资A种产品7万元，B种产品3万元，这样投资可获得最大利润5.8万元。
例10：
如图，是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数关系，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价听证会。
乘客代表认为：
公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏。
公交公司认为：
运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏。
（1）说明图
（1）中点A和点B的实际意义。
（2）你认为图
（2）和图（3）两个图象，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 。
（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为盈，请你在图（4）中画出符合这种办法的y与x的大致关系图象。
分析：
本题是关于一次函数的应用题，要求必须从图象的两个特殊点观察出实际意义，A点说明无乘客时，公交公司就有－1万元收入即成本，B点就说明有1.5万人次乘客时，公交公司无利，即收支平衡；关于（3）中应当是提价，就是逆时针旋转，减少成本应让A点上移。
解：
（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元，点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡。
（对点A和点B的实际意义的说明只要合理即可）
（2）反映乘客意见的是图（3）；反映公交公司意见的是图
（2）。
（3）将图
（1）中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移，如图A′B′。
（平移距离和旋转角度不可太大，点A平移到x轴或其上方为错误）
例11：
某商场在世界杯足球比赛期间举行促销活动，并设计两种方案：
一种是以商品价格的九五折优惠的方式进行销售；一种是采用有奖销售的方式，具体措施是：
①有奖销售自2006年6月9日起，发行奖券10000张，发完为止；②顾客累计购物400元，赠送奖券一张（假设每位顾客购物每次都恰好凑足400元）；③世界杯后，顾客持奖券参加投资；④奖项是：
特等奖2名，各奖3000元奖品；一等奖10名，各奖1000元奖品；二等奖20名，各奖300元奖品；三等奖100名，各奖100元奖品；四等奖200名；各奖50元奖品；纪念奖5000名，各奖10元奖品。
试就商场的收益而言，对两种促销方法进行评价，选用哪一种更为合算？
分析：
在定价销售额相同的情况下，实际销售额越大对于商场而言收益就越大，因此，该实际问题就比较打折的销售额与有奖销售额的大小问题，就需算出它们两种情况下的销售额。
解：
设在定价销售额为400×10000元的情况下，采用打折销售的实际销售金额为W1元，采用有奖销售的实际销售金额为W2，
由题意，有W1＝400×10000×95%＝3800000（元），
W2＝400×10000－（2×3000＋10×1000＋20×300＋100×100＋200×50＋5000×10）＝3908000（元），
所以，W2＞W1，
∵在定价销售额相同的情况下，实际销售额大收益就大，
∴就商场的收益而言，选用有奖销售的方式更为合算。
【过关练习】
1、某市在公路改速过程中，某段工程拟估30天内（含30天）完成，现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队的资质材料可知：
若两队合做24天恰好完成（同时施工即为合做）；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
（2）已知，甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲乙两队各做多少天？
最低施工费用多少万元？
2、某乡的运输公司用汽车装运A、B、C三种不同品牌的苹果到外地销售，按规定每辆汽车只能装同一种苹果，且必须装满，其中A、B、C三种苹果的重量及利润按下表提供信息：
（1）若用7辆汽车装运A、C两种苹果15吨到甲地销售，如何安排汽车装运A、C两种苹果？
（2）计划用20辆汽车装运A、B、C三种不同苹果42吨到乙地销售（每种苹果不小于2车），如何安排装运可使公司获得最大利润，最大利润是多少？
3、某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：
信息一：
可供选择树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。
信息二：
如下表：
设购买杨树、柳树分别为x株、y株：
（1）用含x的代数式表示y。
（2）若购买这三种树苗的总费用为W元，要使这500棵树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于120，试求W的取值范围。
4、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD＝68°，为防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长。
（精确到0.1m）
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米？
（精确到0.1m）
（参考数据：
sin68°＝0.9272，cos68°＝0.3746，tan68°＝2.4751，sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.1918）
5、在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度。
（参考值：
tan31°≈
，sin31°≈
）
6、某市体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元。
而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y＝ax2＋bx，若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的二次函数：
（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式。
（2）求纯收益g关于x的解析式。
（3）设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？
几个月后能收回投资？
7、如图，是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是抛物线的一部分。
经测量，隧道的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN为3m。
今有宽为2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应在0.6m左右，那么卡车载物后限高应是多少米？
【过关练习参考答案】
1、解：
（1）设甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，
由题意，得方程：
解之得：
x＝40，y＝60，
经检验x、y均为原方程的根。
（2）根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，
只需使乙工程队施工30天同时，其余工程由甲工程队也在此时间段内完成，
由
（1）知，乙工程队30天完成工程的
，
∴甲工程队需施工
＝20（天），
最低费用为：
0.6×20＋0.35×30＝22.5（万元）。
答：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天。
（2）要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做20天和30天；最低施工费用22.5万元。
2、解：
（1）设用x辆汽车装A种苹果，y辆汽车装C种苹果，
依题意，
解之得：
。
（2）设分别用x辆、y辆、z辆汽车分别装运A、B、C三种苹果，
依题意，有：
化简得：
z＝x，y＝20－2x，
则所获利润设为W，
所以，W＝6×2.2x＋8×2.1y＋5×2z＝13.2x＋16.8y＋10z，
把z＝x，y＝20－x代入得：
W＝336－10.4x，
因所获利润随x的增大而减小，而每种苹果不少于2车，
故当x＝2时，所获利润最大，
此时，z＝2，y＝20－2x＝16，W＝336－10.4×2＝315.2（万元）。
答：
（1）用5辆汽车装运A种苹果，2辆汽车装运C种苹果。
（2）安排2辆汽车装运A种苹果，16辆汽车装运B种苹果，2辆汽车装运C种苹果，可获得最大利润为315.2万元。
3、解：
（1）y＝500－2x。
（2）根据题意，得：
解这个不等式组得：
200≤x≤250，
∵W＝3x＋2x＋3（500－2x）＝1500－x，
∴x＝1500－W，
由200≤x≤250得：
200≤1500－W≤250，
∴1250≤W≤1300。
4、解：
（1）过点B作BE⊥AD于E，
则BE＝AB·sin68°＝22×0.9272≈20.4（m）。
（2）作FG⊥AD，G为垂足，连FA，则FG＝BE，
∵AG＝
≈17.12（m），AE＝AB·cos68°＝22×0.3746≈8.24（m），
∴BF＝AG－AE＝17.12－8.24＝8.88≈8.9（m）即BF至少是8.9m。
5、解：
过点C作CD⊥AB于D，
设CD＝x（m），
在RtΔBCD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x（m），
在RtΔACD中，∠DAC＝31°，AD＝AB＋BD＝（20＋x）m，
∵tan∠DAC＝
即
，
∴x＝30（m）。
答：
这条河的宽度为30m。
6、解：
（1）由题意，x＝1，y＝2；x＝2时，y＝2＋4＝6代入y＝ax2＋bx 解得：
a＝b＝1，
所以，y＝x2＋x。
（2）纯收益g＝33x－150－（x2＋x）＝－x2＋32x－150。
（3）∵g＝－x2＋32x－150＝－（x－16）2＋106，
即设施开放16个月后，游乐场纯收益达到最大，
又在0＜x≤16时，g随着x的增大而增大，
而当x≤5时，g＜0；而当x＝6时，g＞0，
所以，6个月后能收回投资。
7、解：
建立直角坐标系，如图所示：
抛物线解析式设为：
y＝ax2＋c，
根据题意，M、N、C三点的坐标分别为：
M（－2，3）、N（2，3）、C（0，4），点F的坐标为F（1.2，0），
由于点M、C在抛物线上，
所以，
解得：
，
所以，它的解析式为：
y＝－
＋4，
当点F的横坐标为1.2时，
设抛物线上和它对应的点D的纵坐标为yD，
所以，有yD＝－
＋4＝－
×1.44＋4＝3.64（m）
即DF＝3.64（m），
于是可知，卡车载物后限高EF应为：
EF＝DF－DE＝3.64－0.6＝3.04（m）。
答：
卡车载物后限高应是3.04米。
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