微分方程练习题.docx
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微分方程练习题
第7章微分方程练习题
习题7.1
1•选择题
（1）（
）是微分方程
（（A））
d=（4x-1）d.
（
（B））y=2x1.
（（C）
）y2一3y2=0.
（
（D））sinxdx=0.
（2）（
）不是微分方程
（（A））
y3y=0.
（（B））亠4=3X+SinX.dx
（（C））
3y2一2xy=0.
2222
（（D））（xy）dx（x-y）dy二0
（3）微分方程（y）23xy=4sinx的阶数为（）
（（A））2.（（B））3.（（C）1.（（D））0•
2•判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”）
⑵
（x_2y）y=2x
2
-y,x-xy
⑶
dx.-
siny=0,dy
y二arccosxC
⑷
井2丄2
y=Xy,
1
y-x
习题7.2
1.
解微分方程
2
二C
（
）
（1）
（1）xy=2y,y=5x.
dy1dxx
dy
dx
i-y2
1-x2
y=e2x_y
⑷y（l_x2）dyx（1
y2）dx=0.
（5）x2yxyyx=1_二4-
2•解微分方程
dy
xy-•
dx
（1）（xy）y（一八。
•⑵y2X2/
3.解微分方程
（1）yy=e
（2）ycosxysinx=1.
选择题
（1）（
）是微分方程
（（A））
=（4x-1）d.
（B））y=2x1.
（（C））
（D））sinxdx=0.
（2）（
）不是微分方程
（（A））y，+3y=0.
（（B））=3xsinx.
（（C））3y2-2xy=0
（（D））
dx2
（x2
y2）dx（x2-y2）dy=0.
（3）微分方程（y）23xy=4sinx的阶数为（
（（A））2.（（B））3.（
（C））1.
（D））0.
2•判断函数是否为所给微分方程的解（填
“是”或“否”
（1）
xy=2y,y=5x2.
（X_2y）y=2X_y,x2_X
鱼siny=0,dy
y二arccosxC
解微分方程
dxx
习题7.2
dy
dx
1-y2
1-x2
⑶y=e27
y2x2鱼二xy屯
dxdx
⑷y（1—x2）dyx（1y2）dx=0.
2
⑸xyxy二y,yxj=4•
2
2•解微分方程
（1）（xy）y（x-y）=0.
3.解微分方程
（1）yy=e
（2）ycosxysinx=1.
dyy_x1dx
yx
厂3.
dy_ydxxy2
⑸y=1i2
xcosy+sin2y
习题7.3
1.解卜列微分方程
2
（1）yx.
（2）y二3*、归=2
⑸yy-（y）_y".
⑹yy'y,Vx^=1，yxJ.
⑵y-9y=0.
2.解下列微分方程
（1）yy-2y=0.
⑷y_4y3y=0,丫乂』八2,g
-0.
⑸4yF4y+y=0,\fx^=2,y」=0.
3.解下列微分方程
⑵2y"-3y-y=2ex.
（1）y-2y-3y=3x1.
2x633
⑶y-10y9y=e,」=7yx=0~•
⑷y1；：
：
:
卜y_2y=8sin2x.
（5）yy=sinx.
⑹yysin2x=°,yx二「TyU.
习题7.4
2
1•一条曲线通过点P（0,1），且该曲线上任一点M（x,y）处的切线斜率为3x,求这曲线的方
程.
2.生物活体含有少量固定比的放射性14C,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速
率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含
量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.
已知物体在10s时与原点相距100m,
3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比,在20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.
4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，
污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q（0）=Q0，求
k
该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.
V
5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t的函数关系.
6•一弹簧挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数丄=24N/（m⑸•当弹簧受到强迫力f-100sin10t（N）的作用后，物体产生了振动.求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.
复习题七
一、选择题
1•微分方程f.yy3.乂丫4=0阶数是（）
（A）1；（B）2；（C）3;（D）4.
2•下列函数中，可以是微分方程y”•y=0的解的函数是（）
3.下列方程中是一阶线性方程的是（）
yx=0=10特解是（
4.方程y*_4y"+3y=0满足初始条件yx_^=6,
（A）y=3exe3x；（B）y=2ex3e3x；（C）y=4ex2e3x；（D）y=C1exC2e3x.
5.在下列微分方程中，其通解为y=C1cosx-C2sinx的是（）
（A）y_yJ0;（B）y八0;（C）yy=0;（D）y_y=0.
6•求微分方程<3/2^x2的一个特解时，应设特解的形式为（）
（A）ax2；（B）ax2bxc;（C）x（ax2bxc）；（D）x2（ax2bxc）.
7.求微分方程y"-3y'2y=sinx的一个特解时，应设特解的形式为（）
（A）bsinx；（B）acosx；（C）acosxbsinx；（D）x（acosxbsinx）.
二、填空题
9.微分方程x-dy=yx2sinx的通解是
dx
10.微分方程y”•3y=0的通解是
11.微分方程y”•4y'5y=0的通解是
12•以y=C!
xexC2ex为通解的二阶常数线性齐次分方程为
13.微分方程4y：
4y：
y=0满足初始条件yx=0=2,yx^=0的特解
是.
14.微分方程<-4<5y=0的特征根是.
2
15.
求微分方程y：
2y”』2x-1的一个特解时，应设特解的形式为
通解为
三、计算题
17.求下列微分方程的通解
（6）y5y4y=3-2x.
18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解
yx卫
（1）cosysinxdx-cosxsinydy=0,
11
2
⑵y“-5y*6y=0,y*卫=1,八±=2•
4y16y15y=4e
⑷2y“+5y'=29cosx,y*占=0』v"•
19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y）处的切线斜率等于2x・y.
20.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体
温度为31C，且周围气温保持20C不变.
（1）求尸体温度H与时间t（h）的函数关系，并作函数草图.
（2）最终尸体温度将如何？
（3）若发现尸体时其温度是25C，时间为下午4时，死者是何时被害的？
21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致.大小与时间成正比（比例系数为k1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的
阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.
⑶dy.1=2L^
dxxx
dy_y
dxxy2
1
xcosysin2y
习题7.3
1.解卜列微分方程
⑴y=x2.
⑵S、y^o=1,、心=2
⑶y-y=x.
⑸yy_（y）2一y=0.
⑹yy=y，Vx^1,—
=1.
⑵y-9y=0.
2.解下列微分方程
（1）yy-2y=0.
⑶y4y4y=0.
⑷y-4y3y=0,科
yx异0.
⑸4才+47*=°,yx出=Zy仁=0.
⑵2y"-3y-y=2ex.
3.解下列微分方程
（1）y-2y-3y=3x1.
⑶y-10y9y=e2x,
33
7
（5）yy=sinx.
⑷yy-2y二8sin2x.
⑹yysin2x=°,yxi-Ty=1-
习题7.4
1•一条曲线通过点P（0,1），且该曲线上任一点M（x,y）处的切线斜率为3x，求这曲线的方
程.
量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.
已知物体在10s时与原点相距100m,
3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比,在20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.
4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，
污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q（0）=Q0，求
k
该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.
V
5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t的函数关系.
规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.
复习题七
、选择题
1.微分方程y2■yy”'xy4=0阶数是（）
（a）1；（B）2；（C）3;（D）4.
2•下列函数中，可以是微分方程y”•y=0的解的函数是（）
（A）y=cosx;（B）y=x;
（C）y=sinx;（D）y=ex.
（A）（y-3）lnxdx-xdy=0；
（B）鱼=丄
dx1-2xy
22
（C）xy=yxsinx；
4.方程y"-4y"+3y=0满足初始条件yx4=6,yx^=10特解是（）
（A）y二3exe3x；（B）y二2ex3e3x；（C）y二4ex2e3x；（D）y二C®C2e3x.
5.在下列微分方程中，其通解为y=C!
cosxC2sinx的是（）
（A）y_y=0；（B）yy=0；（C）yy=0；（D）y—y=0.
2
6.求微分方程y”•3y'2y二x的一个特解时，应设特解的形式为（）
（A）ax；（b）axbxc；（C）x（axbxc）；（d）x（axbxc）.
7.求微分方程y"-3y'2y=sinx的一个特解时，应设特解的形式为（）
（A）bsinx；（B）acosx；（C）acosxbsinx；（D）x（acosxbsinx）.
二、填空题
9.微分方程x-d^=yx2sinx的通解是.
dx
10.微分方程y：
3y=0的通解是.
11.微分方程y”•4y：
5y=0的通解是.
12.以y=C1xex・C2ex为通解的二阶常数线性齐次分方程为
13.微分方程4y'4y：
y=0满足初始条件yx=0=2,/=0的特解
是.
14.微分方程y”-4y'5y=0的特征根是
15.求微分方程y：
2y'2x-1的一个特解时，应设特解的形式为
22
16.已知y1=ex及y2二xex都是微分方程y"-4xy'（4x2-2）y=0的解，则此方程的
通解为
三、计算题
17.求下列微分方程的通解
18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解
（1）cosysinxdx「cosxsinydy二0,
11
2
⑵y“-5y*6y=0,y*卫=1,y」=2.
4y16y15y=4e
⑷2y“+5y‘=29cosx,yx占=0，y"x占=1•
2xy•
19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y）处的切线斜率等于
20.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体
温度为31C，且周围气温保持20C不变.
（1）求尸体温度H与时间t（h）的函数关系，并作函数草图.
（2）最终尸体温度将如何？
（3）若发现尸体时其温度是25C，时间为下午4时，死者是何时被害的？
21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致.大
小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的
阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.
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