中考数学压轴题常见辅助线.docx

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中考数学压轴题常见辅助线

一、添辅助线有二种情况：

　1、按定义添辅助线:

　如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角得倍半关系也可类似添辅助线。

2、按基本图形添辅助线：

　每个几何定理都有与它相对应得几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形得性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！

这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

举例如下:

　（１）平行线就是个基本图形:

　　当几何中出现平行线时添辅助线得关键就是添与二条平行线都相交得等第三条直线

（2）等腰三角形就是个简单得基本图形:

　　当几何问题中出现一点发出得二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角得二边相交得等腰三角形。

　（3）等腰三角形中得重要线段就是个重要得基本图形:

　出现等腰三角形底边上得中点添底边上得中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角得二边相交得等腰三角形中得重要线段得基本图形。

　（4）直角三角形斜边上中线基本图形

　出现直角三角形斜边上得中点往往添斜边上得中线。

出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形得斜边则要添直角三角形斜边上得中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

　　（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点得线段带一个中点则可过这中点添倍线段得平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段得端点就是某线段得中点，则可过带中点线段得端点添半线段得平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形:

　全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:

或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法就是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

　（７）相似三角形：

　　相似三角形有平行线型（带平行线得相似三角形），相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可瞧成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

若平行线过端点添则可以分点或另一端点得线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

（8）特殊角直角三角形

　当出现30,45,60,135,１５0度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1:

1:

√2；30度角直角三角形三边比为1：

２:

√３进行证明

　　（9）半圆上得圆周角

出现直径与半圆上得点,添９0度得圆周角;出现90度得圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样。

二、基本图形得辅助线得画法

　1、三角形问题添加辅助线方法

　　方法1:

有关三角形中线得题目,常将中线加倍。

含有中点得题目,常常利用三角形得中位线,通过这种方法,把要证得结论恰当得转移,很容易地解决了问题。

　　方法2:

含有平分线得题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线得性质与题中得条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形得知识解决问题。

　　方法3:

结论就是两线段相等得题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段得一些定理。

　　方法４:

结论就是一条线段与另一条线段之与等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就就是把第三条线段分成两部分，证其中得一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。

　２、平行四边形中常用辅助线得添法

　平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）得两组对边、对角与对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目得都就是造就线段得平行、垂直,构成三角形得全等、相似,把平行四边形问题转化成常见得三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边得垂线构造直角三角形

　　（3）连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边得平行线,构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点得线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。

　（5）过顶点作对角线得垂线，构成线段平行或三角形全等、

3、梯形中常用辅助线得添法

　　梯形就是一种特殊得四边形。

它就是平行四边形、三角形知识得综合，通过添加适当得辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线得添加成为问题解决得桥梁,梯形中常用到得辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移两腰

　（４）延长两腰

　　（5）过梯形上底得两端点向下底作高

（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰得中点。

（8）过一腰得中点作另一腰得平行线。

　（9）作中位线

　　当然在梯形得有关证明与计算中，添加得辅助线并不一定就是固定不变得、单一得。

通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这就是解决问题得关键。

　　4、圆中常用辅助线得添法

　　在平面几何中,解决与圆有关得问题时,常常需要添加适当得辅助线,架起题设与结论间得桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决，因此,灵活掌握作辅助线得一般规律与常见方法,对提高学生分析问题与解决问题得能力就是大有帮助得。

　（１）见弦作弦心距

　有关弦得问题,常作其弦心距（有时还须作出相应得半径），通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间得联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆得直径,一般就是作直径所对得圆周角，利用"直径所对得圆周角就是直角＂这一特征来证明问题。

　　（3）见切线作半径

　　命题得条件中含有圆得切线,往往就是连结过切点得半径，利用＂切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

　　对两圆相切得问题，一般就是经过切点作两圆得公切线或作它们得连心线,通过公切线可以找到与圆有关得角得关系。

　（5）两圆相交作公共弦

　　对两圆相交得问题,通常就是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆得弦联系起来,又可以把两圆中得圆周角或圆心角联系起来。

三、作辅助线得方法

　1、中点、中位线,延线,平行线。

如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长得某一段等于中线或中位线;另一种辅助线就是过中点作已知边或线段得平行线,以达到应用某个定理或造成全等得目得。

　　2、垂线、分角线,翻转全等连。

　如遇条件中,有垂线或角得平分线,可以把图形按轴对称得方法,并借助其她条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线得做法就会应运而生。

其对称轴往往就是垂线或角得平分线。

　3、边边若相等,旋转做实验。

如遇条件中有多边形得两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定得角度,就可以得到全等形,这时辅助线得做法仍会应运而生。

其对称中心,因题而异,有时没有中心。

故可分“有心”与“无心”旋转两种。

　　4、造角、平、相似，与、差、积、商见。

　　如遇条件中有多边形得两边相等或两角相等,欲证线段或角得与差积商，往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法：

第一,造一个辅助角等于已知角;第二,就是把三角形中得某一线段进行平移。

故作歌诀:

“造角、平、相似,与差积商见。

”

　　托列米定理与梅叶劳定理得证明辅助线分别就是造角与平移得代表）

　5、两圆若相交，连心公共弦。

　　如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往就是连心线或公共弦。

　6、两圆相切、离，连心，公切线。

　如条件中出现两圆相切（外切,内切），或相离（内含、外离）,那么，辅助线往往就是连心线或内外公切线。

　7、切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆得切线，那么辅助线就是过切点得直径或半径使出现直角;相反，条件中就是圆得直径，半径,那么辅助线就是过直径（或半径）端点得切线。

即切线与直径互为辅助线。

　如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往就是斜边为直径作辅助圆,或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

　8、弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

　　如遇弧,则弧上得弦就是辅助线；如遇弦,则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间得距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。

如遇平行弦，则平行线间得距离相等,所夹得弦亦相等，距离与所夹得弦都可视为辅助线,反之,亦成立。

　有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角与圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

9、面积找底高,多边变三边。

　　如遇求面积，（在条件与结论中出现线段得平方、乘积,仍可视为求面积）,往往作底或高为辅助线,而两三角形得等底或等高就是思考得关键。

如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。

　另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线得做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高，多边变三边”。