版高考数学大一轮复习备考讲义浙江专用第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ24word版含答案.docx

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版高考数学大一轮复习备考讲义浙江专用第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ24word版含答案

§2.4　幂函数与二次函数

最新考纲

考情考向分析

1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝

的图象和性质.

2.了解幂函数的变化特征.

3.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.会解一元二次不等式.

以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.

1.幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.

（2）常见的5种幂函数的图象

（3）常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞）

{x|x∈R，且x≠0}

值域

R

[0，＋∞）

R

[0，＋∞）

{y|y∈R，且y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

2.二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.

顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为（m，n）.

零点式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的零点.

（2）二次函数的图象和性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0）

图象

定义域

（－∞，＋∞）

（－∞，＋∞）

值域

单调性

在x∈

上单调递减；

在x∈

上单调递增

在x∈

上单调递增；

在x∈

上单调递减

对称性

函数的图象关于直线x＝－

对称

知识拓展

1.幂函数的图象和性质

（1）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.

（2）幂函数的图象过定点（1,1），如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

（3）当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞）上为增函数；

当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上为减函数.

2.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当

时恒有f（x）>0，当

时，恒有f（x）<0.

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是

.（　×　）

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.（　×　）

（3）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.（　√　）

（4）函数y＝

是幂函数.（　×　）

（5）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（　√　）

（6）当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.（　×　）

题组二　教材改编

2.[P79T1]已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点

，则k＋α等于（　　）

A.

B.1C.

D.2

答案　C

解析　由幂函数的定义，知

∴k＝1，α＝

.∴k＋α＝

.

3.[P44A组T9]已知函数f（x）＝x2＋4ax在区间（－∞，6）内单调递减，则a的取值范围是（　　）

A.a≥3B.a≤3

C.a＜－3D.a≤－3

答案　D

解析　函数f（x）＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间（－∞，6）内单调递减可知，区间（－∞，6）应在直线x＝－2a的左侧，

∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.

题组三　易错自纠

4.幂函数

（a∈Z）为偶函数，且f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数，则a等于（　　）

A.3B.4C.5D.6

答案　C

解析　因为a2－10a＋23＝（a－5）2－2，

f（x）＝

（a∈Z）为偶函数，

且在区间（0，＋∞）上是减函数，

所以（a－5）2－2<0，从而a＝4,5,6，

又（a－5）2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.

5.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是（　　）

答案　D

解析　由a＋b＋c＝0和a>b>c知，a>0，c<0，

由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.

6.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.

答案　[1,2]

解析　如图，由图象可知m的取值范围是[1,2].

题型一　幂函数的图象和性质

1.已知幂函数f（x）的图象经过点

，则f（4）等于（　　）

A.16B.

C.2D.

答案　D

2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　）

A.d＞c＞b＞aB.a＞b＞c＞d

C.d＞c＞a＞bD.a＞b＞d＞c

答案　B

解析　由幂函数的图象可知，在（0,1）上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.

3.若a<0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是（　　）

A.5－a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5－a

C.0.5a<5－a<5aD.5a<5－a<0.5a

答案　B

解析　5－a＝

a，因为a<0时，函数y＝xa在（0，＋∞）上单调递减，且

<0.5<5，所以5a<0.5a<5－a.

思维升华

（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.

（2）在区间（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

题型二　求二次函数的解析式

典例

（1）已知二次函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（0）＝3，对任意x∈R，都有f（1＋x）＝f（1－x）成立，则f（x）的解析式为________________.

答案　f（x）＝x2－2x＋3

解析　由f（0）＝3，得c＝3，

又f（1＋x）＝f（1－x），

∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴

＝1，∴b＝2，

∴f（x）＝x2－2x＋3.

（2）已知二次函数f（x）与x轴的两个交点坐标为（0,0）和（－2,0）且有最小值－1，则f（x）＝________.

答案　x2＋2x

解析　设函数的解析式为f（x）＝ax（x＋2），

所以f（x）＝ax2＋2ax，由

＝－1，

得a＝1，所以f（x）＝x2＋2x.

思维升华求二次函数解析式的方法

跟踪训练

（1）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝________.

答案　x2＋2x＋1

解析　设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a，

由已知f（x）＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，

故f（x）＝x2＋2x＋1.

（2）若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________.

答案　－2x2＋4

解析　由f（x）是偶函数知f（x）图象关于y轴对称，

∴－a＝－

，即b＝－2，∴f（x）＝－2x2＋2a2，又f（x）的值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，故f（x）＝－2x2＋4.

题型三　二次函数的图象和性质

命题点1　二次函数的图象

典例对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一坐标系内的图象可能是（　　）

答案　A

解析　当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，y＝（a－1）x2－x开口向下，其对称轴为x＝

＜0，排除C，D；当a＞1时，y＝logax为增函数，y＝（a－1）x2－x开口向上，其对称轴为x＝

＞0，排除B.故选A.

命题点2　二次函数的单调性

典例函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（　　）

A.[－3,0）B.（－∞，－3]

C.[－2,0]D.[－3,0]

答案　D

解析　当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上递减，满足题意.当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝

，

由f（x）在[－1，＋∞）上递减知

解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0].

引申探究

若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调减区间是[－1，＋∞），则a＝________.

答案　－3

解析　由题意知f（x）必为二次函数且a<0，

又

＝－1，∴a＝－3.

命题点3　二次函数的最值

典例已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.

解　f（x）＝a（x＋1）2＋1－a.

（1）当a＝0时，函数f（x）在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；

（2）当a＞0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f

（2）＝8a＋1＝4，解得a＝

；

（3）当a＜0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f（－1）＝1－a＝4，解得a＝－3.

综上可知，a的值为

或－3.

引申探究

本题改为：

求函数f（x）＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值.

解　∵f（x）＝（x＋a）2＋1－a2，

∴f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.

（1）当－a＜

即a＞－

时，f（x）max＝f

（2）＝4a＋5，

（2）当－a≥

即a≤－

时，f（x）max＝f（－1）＝2－2a，

综上，f（x）max＝

命题点4　二次函数中的恒成立问题

典例

（1）已知函数f（x）＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f（x）>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________.

答案　（－∞，－1）

解析　f（x）>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，

即x2－3x＋1－m>0，令g（x）＝x2－3x＋1－m，

要使g（x）＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，

只需使函数g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可.

∵g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，

∴g（x）min＝g

（1）＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.

因此实数m的取值范围是（－∞，－1）.

（2）已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立.

当x＝0时，－3<0，成立；

当x≠0时，a<

2－

，

因为

∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），

当x＝1时，右边取最小值

，所以a<

.

综上，实数a的取值范围是

.

思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意

（1）抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.

（2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解），事半功倍.

（3）由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

①一般有两个解题思路：

一是分离参数；二是不分离参数；

②两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.

跟踪训练

（1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　）

答案　D

解析　由A，C，D知，f（0）＝c＜0，

从而由abc＞0，所以ab＜0，所以对称轴x＝－

＞0，

知A，C错误，D满足要求；由B知f（0）＝c＞0，

所以ab＞0，所以x＝－

＜0，B错误.

（2）（2018·浙江名校协作体联考）y＝

的值域为[0，＋∞），则a的取值范围是（　　）

A.（2，＋∞）B.（－∞，－1）∪（2，＋∞）

C.[－1,2]D.[0,2]

答案　D

解析　由已知，t＝2ax2＋4x＋a－1取遍[0，＋∞）上的所有实数，

当a＝0时，t＝4x－1能取遍[0，＋∞）上的所有实数，只需定义域满足

.

当a≠0时，只需

解得0＜a≤2.综上，0≤a≤2.

（3）设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　由题意得a＞

－

对1＜x＜4恒成立，

又

－

＝－2

2＋

，

＜

＜1，

∴

max＝

，

∴a＞

.

数形结合思想和分类讨论思想

在二次函数中的应用

典例（14分）设函数f（x）＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f（x）的最小值.

思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.

规范解答

解　f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.[2分]

当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图

（1）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为减函数，

所以最小值为f（t＋1）＝t2＋1；[6分]

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图

（2）所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f

（1）＝1；[9分]

当t＞1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为增函数，

所以最小值为f（t）＝t2－2t＋2.[12分]

综上可知，f（x）min＝

[14分]

1.若函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（－5，－3）上（　　）

A.先减后增B.先增后减

C.单调递减D.单调递增

答案　D

2.若幂函数f（x）＝（m2－4m＋4）·

在（0，＋∞）上为增函数，则m的值为（　　）

A.1或3B.1

C.3D.2

答案　B

解析　由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8＞0，

解得m＝1.

3.已知a，b，c∈R，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若f

（1）＝f（3）＞f（4），则（　　）

A.a>0,4a＋b＝0

B.a＜0,4a＋b＝0

C.a＞0,2a＋b＝0

D.a＜0,2a＋b＝0

答案　B

解析　由f

（1）＝f（3），

得二次函数f（x）的对称轴为x＝－

＝2，

4a＋b＝0，

又f（3）＞f（4），

故函数在（2，＋∞）上单调递减，故a＜0.

4.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0,2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）

A.[0，＋∞）B.（－∞，0]

C.[0,4]D.（－∞，0]∪[4，＋∞）

答案　C

解析　

由题意可知函数f（x）的图象开口向下，对称轴为x＝2（如图），

若f（a）≥f（0），从图象观察可知0≤a≤4.

5.已知二次函数f（x）＝2ax2－ax＋1（a<0），若x1

A.f（x1）＝f（x2）

B.f（x1）>f（x2）

C.f（x1）

D.与a值有关

答案　C

解析　该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝

，

又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，

∴当x1，x2在对称轴的两侧时，

－x1>x2－

，故f（x1）

当x1，x2都在对称轴的左侧时，

由单调性知f（x1）

综上，f（x1）

6.若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间（1,4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，－2）B.（－2，＋∞）

C.（－6，＋∞）D.（－∞，－6）

答案　A

解析　不等式x2－4x－2－a＞0在区间（1,4）内有解等价于a＜（x2－4x－2）max，

令f（x）＝x2－4x－2，x∈（1,4），

所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2.

7.已知P＝

，Q＝

3，R＝

3，则P，Q，R的大小关系是________.

答案　P＞R＞Q

解析　P＝

＝

3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且

＞

＞

，得

3＞

3＞

3，

即P＞R＞Q.

8.（2018届台州路桥中学检测）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，

），则f（9）＝________.

答案　3

解析　设f（x）＝xα，因为它过点（2，

），

所以

＝2α，

所以α＝

，所以f（x）＝

，

所以f（9）＝

＝3.

9.对于任意实数x，函数f（x）＝（5－a）x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是__________.

答案　（－4,4）

解析　由题意可得

解得－4

10.（2008·浙江）已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝________.

答案　1

解析　可分三种情况讨论，