高等数学函数与极限完全归纳笔记.docx

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高等数学函数与极限完全归纳笔记

目录：

函数与极限1

1、集合的概念1

2、常量与变量2

2、函数3

3、函数的简单性态4

4、反函数4

5、复合函数5

6、初等函数6

7、双曲函数及反双曲函数7

8、数列的极限8

9、函数的极限9

10、函数极限的运算规则11

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对線统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互界性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较商的人”不能构成集合•因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母爪B.C、……表示集合.用小写拉丁字母也b.c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A,记作：

aGA-否则就说a不属于A,记作：

a2

（IX全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N

（2）.所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N宇或N“

（3人全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

（4八全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

<5）.全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R,

集合的表示方法

（1八列举法：

把集合的元素一一列举出來，并用“”括起來表示集合

（2入描述法：

用集合所有元素的共同特征來表示集合。

集合间的基本关系

（1八子集：

一般地，对于两个集合A.B.如果集合A中的任总:

一个元素都是集合B的元素，我们就说A.B有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作AB（或BA）°。

⑵相等：

如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集.此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A=B.

（3人真子集：

如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

（4八空集：

我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

（5入由上述集合之间的基木关系，可以得到下面的结论

1.任何一个集合是它木身的子集。

即AA

2、对于集合A、B.C,如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

3.我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”o

集合的基本运算

（1）.并集：

一般地.由所有属干集合A或屈干集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。

记作AUBo（在求并集时•它们的公共元素在并集中只能出现一次。

）

即AUB={xlxGA,或xWB}。

（2人交集：

一般地.由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。

记作AnBo

即AQB={xlxGA,且xWB}。

似补集：

1全集：

一般地.如果一个集合含有我们所研尤问题中所涉及的所有元素.那么就称这个集合为全集。

通常记作Uo

2补集：

对于一个集合由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。

简称为集合A的补集，记作CuAc

即Cl・A={xlxGU.且xA）o

集合中元素的个数

（1）.有限集：

我们把含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集。

⑵、用card來表示有限集中元素的个数。

例如人={abc）,则card（A）=3.

（3八一般地，对任意两个集合A.B,有

card（A）+card（B）=card（AUB）+card（AHB）

我的问题：

1、学校里开运动会，设八={xlx是参加一百米跑的同学）•B={xlx是参加二百米跑的同学},C=（xlx是参加四百米跑的同学}o学校规定.每个参加上述比赛的同学锻多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定.并解释以下集合运算的含义。

（1）.AUB：

（2）.APBo

2、在平而直角坐标系中.集合C={（x.y）ly=x}表示直线『=乂,从这个角度看,集合D={（x・y）l方程组：

2x-y=l.x+4y=5）表示什么？

集合C、D之间有什么关系？

请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。

3、已知集合A={xllWxW3},B={xl（x-l）（x-a）=0}o试判断B是不是A的子集？

是否存在实数a使A=B成立？

4、对干有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集.并集元素个数之间的关系呢？

5、无限集合人={L2,3.4,・•・，】】，…）,B={2,4,6,8.…，2n,•・・}•你能设il•一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？

2、常址与变量

（1）S变童的定义：

我们在观察某一现歛的过程时・常常会遇到各种不同的虽，其中有的虽在过程中不起变化.我们把其称之为常量：

有的虽在过程中是变化的.也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变绘，注：

在过程中还有一种虽.它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对缺是极其微小的.我们则把它看作常虽。

⑵、变量的表示：

如果变虽的变化是连续的•则常用区间來表示其变化范困。

在数轴上來说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名称

区间的满足的不等式

区间的记号

区间在数轴上的表示

闭区间

aWxWb

[a.b]

Ub]

—t1►

abX

开区间

a

（a»b）

（db）

—iA►

abx

半开区间

a

（a,b]或[a,b）

（db]

—A；►

abX

®b）

—lA►

abX

以上我们所述的都是有限区间.除此之外，还有无限区间：

[a.+8）:

表示不小于a的实数的全体.也可记为：

a^X<+«>：

（・8,b）：

表示小于b的实数的全体•也可记为：

・8

（-8,+8）：

表示全体实数，也可记为：

-8<$<+8

注：

其中・8和+8,分别读作•负无穷大■和”正无穷大：

它们不是数，仅仅是记号。

⑶、邻域：

设a与6是两个实数.且5>0.满足不等式lx-CI|<6的实数x的全体称为点a的6邻域•点a称为此邻域的中心.6称为此邻域的半径。

2x函数

（1）.函数的定义：

如果为变虽k在其变化范困内任帝取定一个数值时・：

Sy按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数变量k的变化范碉叫做这个函数的定义域。

通常X叫做自变量.y叫做函数值（或因变量），变虽y的变化范困叫做这个歯数的值域：

注：

为了表明y是x的函数.我们用记号y=f（x）.y=F（x）等等來表示。

这里的字母了、『"表示y与x之间的对应法则即函数关系，它们是可以任总采用不同的字母來表示的。

如果自变址在定义域内任取一个确定的值时.函数只有一个确定的值和它对应.这种函数叫做氓值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只讨论讥值函数。

⑵.函数相等

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：

定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的.所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等，

⑶.域函数的表示方法

a）：

解析法：

用数学式子表示自变虽和因变虽之间的对应关系的方法即是解析法。

例：

直角坐标系中.半径为"圆心在原点的圆的方程是：

x2V=r：

b）：

表格法：

将一系列的自变虽值与对应的函数值列成表來表示函数关系的方法即是表格法。

例：

在实际应用中.我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c）：

图示法：

用坐标平面上曲线來表示函数的方法即是图示法。

一般用横坐标表示自变址，纵坐标表示因变虽。

例：

直角坐标系中•半径为r、恻心在原点的闘用图示法表示为：

3、函数的简单性直

（1）.函数的有界性：

如果对属于某一区间/的所有x值总有|f（x）|WM成立.其中M是一个与K无关的常数，那么我们就称f（K）在区间I有界，否则便称无界。

注：

一个函数.如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数

例题：

函数COSX在（-8,+8）内是有界的.

⑵、函数的单调性：

如果函数/（X）在区间（a,b）内随着x增大而増大，即：

对于（餌b）内任意网r•：

•及烁怙严心时，有?

E

如果函数了仗）

在区间（a,b）内随肴x増大而减小，即：

对于（a,b）内任总两点口及也x；

时.有』"八F、则称函数/（力在区间（ab）内是单调减小的。

例题：

函数/（X）*在区间（-8,0）上是笊调减小的.在区间（0,十8）上是収调增加的’

⑶、函数的奇偶性

如果函数/（X）对于定义域内的任虑X都满足了（—X）J（R，则/（力叫做偶函数：

如果函数/（X）对于定义域内的任危x都满足/Lx）a/（力，则/（R叫做奇函数。

注：

偶函数的图形关于y轴对称.奇函数的图形关于原点对称。

（4〉、函数的周期性

对于函数畑、若存在一个不为零的数〔使得关系式对于定义域内任何X值都成立.则了〔切叫做周期函数，［是的周期。

注：

我们说的周期函数的周期是指昴小正周期。

例题：

函数是以2开为周期的周期函数：

函数tgx是以H为周期的周期函数c

4、反函数

⑴、反函数的定义：

设有函数y二jS、若变址y在函数的值域内任取一值M时，变址X在函数的定义域内必有一值&与之对应，即，（工0）二几，那末变址X是变量y的函数这个函数川兀二卩（»來表示.称为函数卩=/匚）的反函数.

注：

由此定义可知，函数y=^）也是函数兀=卩（0的反函数。

⑵.反函数的存在定理：

若$二jg在Q，b）上严格増（减几其值域为R,则它的反函数必然在R上确定.且严格增（减）・

注：

严格增（减）即是单调増（减）

例题：

y=x\其定义域为（-8,+8）.值域为［0,+8）.对于y収定的非负值，可求得沪•若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间（-8,+8）上，函数不是严格增（减几故其没有反函数。

如果我们加上条件，要求x>0,则对疗0、x就是尸X在要求矗0时的反函数。

即是：

函数在此要求下严格增（减）・

（3）、反函数的性质：

在同一坐标平面内，==的图形是关于直线尸X对称的。

例题：

函数，=彳*与函数口=log2X互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y二x对称的。

如右图所示：

5>复合函数

复合函数的定义：

若y是U的函数：

y=J^\而U又是X的函数：

且0（R的函数值的全部或部分在/仗）的定义域内，那末，y通过u的联系也是$的函数，我们称后一个函数是由函数y=^）及优=叭入）复合而成的函数，简称复合函数，记作ji：

中u叫做中间变量。

注：

并不是任总两个函数就能复合：

复合函数还可以由更多函数构成。

例题：

函数y^Mcsin"与函数u=2-kx是不能复合成一个函数的。

因为对于肚=2+X的定义域（-8,+8）中的任何X值所对应的U值（都大于或等于2）,使八远如“都没有定义。

6.初等函数

（1）、基本初等函数：

我们最常用的有五种基本初等函数.分别是：

抬数函数、对数函数.幕函数.三

角函数及反三角函数。

下面我们用表格來把它们总结一下:

Fh数名称

函数的记号

函数的图形

函数的性质

指数函

数

y=（3^1）

|oX*-

a）：

不论x为何值,y总为正数；

b）:

当x=0时,y=l.

对数函数

=kgaa任1）

F怎＞1

小：

其图形总位于y轴右侧，并过（1,0）点

b）:

当a>l时,在区间（0,1）的值为负：

在区间卜,+8）的值为正；在定义域内单调増.

¥

函

数

A=为任总实数

这里只画出部分函数图形的一

部分。

令a=m./n

a）:

Um为偶数n为奇数时,y是偶函

数；

b）:

'l|m,n都是奇数时,y是奇函数；

c）:

当m奇n偶时,y在go）无意

义.

角函数

八池乳（正弦函数）

这里只写出了正弦函数

-1

y

y=srnx右7亍5叭..丿2说k

Q：

正弦函数是以2只为周期的周期函数

b）：

正弦函数是奇函数且

|sma|<1

反

三

厂ar*（反正弦函数）

1-1兀

a）：

由于此函数为多值函数,因此我

角

们此函数值限制在［・八/2」/2］上，

函

这里只写出了反正弦函数

¥

并称其为反正弦函数的主值.

数

⑵、初等函数：

由基木初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一

个解析式表出的函数称为初等函数.

例题：

"2神+呻陌书+沁阴是初等函数。

7.双曲函数及反双曲函数

（l）x双曲函数：

在应用中我们经常遇到的双曲函数是：

（用表格來描述）

函数的名称

函数的表达式

函数的图形

函数的性质

双曲正弦

『一八

Sf2X=

2

1

■y

^^y=shj/

a）：

其定义域为:

（-8,+8）：

b）：

是奇函数：

c）：

在定义域内是单调増

Z

双曲余弦

?

『十尹

chx=

2

疗y=chx

1l

a）：

其定义域为：

（-8,+8）s

b）：

是偶函数：

c）：

其图像过点（0,1）：

双曲正切

『一尹thx=—

沪十尸

II

a）：

其定义域为：

（-8,+8）：

b）：

是奇函数：

c）：

其图形夹在水平直线y=l及

之间：

在定域内单调増：

我们再來看一下双曲函数与三角函数的区别:

双曲函数的性质

三角函数的性质

ff/sO=O,cZfO=1母0=0

sin0=0,cqs0=1,tan0=0

shx与thx是奇函数.chx是偶函数

sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数

必2兀一前％=1

sin2x+cos2z=1

它们都不是周期函数

都是周期函数

双曲函数也有和差公式:

土y）=shxchyhch^shy

ch（x+y）=ckxchy+shxshy

T）击

、反双曲函数：

双曲函数的反函数称为反双曲函数.

a）：

反双曲正弦函数

a喩"lnO+JX+1）其定义域为：

（_8,+8）：

b）：

反双曲余弦函数

am滋=ln（H+jF—1）其定义域为：

［】,+8）：

.1.1+A

arlhn=—In

C）：

反双曲正切函数

2l—x其定义域为：

（-i,+i）：

8.数列的极限

我们先來回忆一下初等数学中学习的数列的概念。

（1）、数列：

若按照一定的法则.有第一个数亠・第二个数迦，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数那末,我们称这列有次序的数址.a：

.…，g…为数列•数列中的每一个数叫做数列的项。

第“项爼叫做数列的一般项或通项.

注：

我们也可以把数列爲看作自变址为正整数"的函数.即：

它的龙义域是全体正整数

（2）、极限：

极限的概念是求实际问題的精确解答而产生的。

例：

我们可通过作圆的内接正多边形.近似求出恻的血积。

设有一恻，首先作圆内接正八边形，把它的血积记为再作圆的内接正十二边形.其面积记为圧；再作圆的内接正二十四边形.其面积记为心依次循下去（一般把内接正6X2^边形的而枳记为AJ可得一系列内接正多边形的而积：

A：

A：

A3,…，An.….它们就构成一列有序数列。

我们可以发现.十内接正多边形的边数无限増加时，An也无限接近某一确定的数值（圆的面枳），这个确定的数值在数学上被称为数列品4An…，An.・・・、"|n-8（读作n趋近于无穷大）的极限。

注：

上面这个例子就是我国古代数学家刘徽（公元三世纪）的割圆术c

⑶、数列的极限：

一般地.对于数列來说.若存在任慰给定的正数£（不论其多么小），总存在正整数N,使得对于n>N时的一切不等式X"~aKS都成立，那末就称常数a是数列X"的极限，或者称数列X"收敛于a.

记作：

观兀或心—a©T8）

注：

此定义中的正数£只有任总给定，不等式才能表达出心与a无限接近的意思。

且定义中的正整数N与任总给定的正数e是有关的.它是随肴e的给定而选定的°

（4）、数列的极限的几何解释：

在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解禅•以使我们能理解它。

数列兀”极限为a的一个几何解释：

将常数a及数列%1?

X2?

"，，?

%帕…在数轴上用它们的对应点表示出來.再在数轴上作点a的€邻域即开区间（a-e,a+e）,如下图所示：

亠8尹-二:

譎"“二〜~r黑&‘‘p

绚XN41^+3^4-2x2x3r

因不等与不等式a-QQ+E等价，故、”|n>N时，所有的点耳都落在开区

间屮£）内.而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。

注：

至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到.这里我们不作讨论。

⑸、数列的有界性：

对于数列X”，若存在肴正数M.使得一切X”都满足不等式|g|则称数列兀”是有界的，若正数'（不存在，则可说数列兀3是无界的。

定理：

若数列兀”收敛，那末数列X”一定有界。

注：

有界的数列不一定收敛，即：

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

例：

数列1>-1,1,-1,•••・（・1）巴…是有界的，但它是发散的。

9.函数的极限

前而我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数.即自变虽取1一8内的正整数.若自变虽不再限干正整数的顺序，而是连续变化的.就成J'函数。

下面我们來学习函数的极限.

函数的极值有两种情况：

a）：

自变址无限増大：

b）：

自变址无限接近某一定点如果在这时，函数值无限接近干某一常数A.就叫做函数存在极值。

我们已知道函数的极值的情况.那么函数的极限如何呢？

下面我们结合若数列的极限來学习一下函数极限的概念！

（l）x函数的极限（分两种情况）

a）:

自变址趋向无穷大时函数的极限

定义：

设函数y二js,右对于任意给定的正数（不论其多么小），总存在着正数x,使得对于适合不等式kN的一切x,所对应的函数值/（X）都满足不等式

那末常数A就叫做函数》=/（初、仆一8时的极限，记作：

曲'（力一"

下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下:

数列的极限的定义

函数的极限的定义

存在数列=’3）与常数A,任给一正数e>0,总可找到一正整数N,对于n>N的所有以花都满足

_j4l

lima力=乂

O

存在函数卩二$（工）与常数A,任给一正数€>0,总可找到一正数x,对于适合的

-切x,都满足"⑴一來1函数

歹=/（入）、”]L8时的极限为A,记：

lim/（x）=j4

宀9o

1P叱11」Ih-

0A—

£

0X*-

从上表我们发现J'什么？

？

试思考之

b）:

自变虽趋向有限值时函数的极限。

我们先來看一个例子.

來讲，在数轴上任何一个有限的范鬧内•都有无穷多个点.为此我们把时函数值的变化趋势用表列出,如下图：

X

•••O.g0.990.999…

1

1.0011.011.1…

偸）

•••1.91.991.999…

2

・・・2.0012.012.1•…

从中我们可以看出时.了5）-2・而且只要x与1冇女接近./（方就与2有第接近•或说：

只

函数/（X）在某点X。

的某个去心邻域内有定义.且存在数A,如果对任意给定的E（不论其多么小）•总存

lim/（x）=A

i£：

宀心o

注：

在定义中为什么是在去心邻域内呢？

这是因为我们只讨论x-xo的过程.与XF出的悄况无关。

此

定义的核心问题是：

对给出的E，是否存在正数6,使其在去心邻域内的/均满足不等式。

有些时候，我们要用此极限的定义來证明函数的极限为A.其证明方法是怎样的呢？

a）：

先任取e>0：

b）:

写出不等式应）F

c）:

解不等式能否得出去心邻域0一叼<6.若能:

lim./（x）=A

10、函数极限的运算规则

前面已经学习了数列极限的运算规则.我们知道数列可作为一类特殊的函数.故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则

若已知XF（或L8）时,/S）T凡旨⑴一>'.

lim（/（x）±g（x））=A±Blim/（x）・g（x）=B心血KT尚

lim=

2心g（x）B

lim4畑二煜仗为常数）Hm[/（x）]w=屮为正整数）

推论：

XfXf

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复朵的函数化为若干个简啟的函数來求极限。

r3x2-l-x-1

lim—亍——5

例题：

求宀+x-x+3

o,.2丄十1lim3a*2+lim3：

-lim1q.iiq

曲Ja“1siz二3+1-】二£

4a3+/一石+3一lim4a3十lima2-limz+lim3"4+1-1+3"7

21y-41

r3x5-4x2+2

lim—.5——

例题：

求”+5x-3

此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在•我们通过观察可以发现此分式的分子和分母

都没有极限.像这种情况怎么办呢？

下啲我们把它解出來。

解答:

r3宀4护+2lim—.a"9+5z一3

注：

通过此例题我们可以发现：

十分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则「应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形.然后运用规则求之。

函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前.我们先來学习一下左.右的概念。

我们先來看一个例子：

-1*0

sgn=个

0,x=0

例：

符号函数为

1?

Q0

对干这个分段函数,X从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的•为此我们定义J'左.右极限的概念。

定义:

如果X仅从左侧（x

时，函数/S）与常虽A无限接近，则称A为函数畑、屮T%limf（_x）=A

时的左极限•记：

"

如果x仅从右侧（x>x0）趋近x。

时，函数/W与常虽A无限接近，则称A为函数/Ww/TX；时応丿（力=A

的右极限•记：

"T%

注：

只有出时，丙数/（入）的左、右极限存在且相等.方称在时有极限

函数极限的存在准则

准则一，对于点心的某一邻域内的一切X.X。

点木身可以除外（或绝对值大于某一正数的一切X）有

lim/W

那末KT知67i-.且等于a

注：

此准则也就是夹逼准则.

准则二：

讥调有界的函数必有极限.

注：

有极限的函数不一定单调有界

两个垂要的极限

曲（1+丄）才=0

一."9x

注：

其中e为无理数，它的值为:

e=2.718281828459045

「sinxr

lim=1

•・zx

■■・■■

注：

在此我们对这两个重要极限不加以证明.

注：

我们要牢记这两个重婆极限.在今后的解题中会经常用到它们.

例题：

求"T9X

f二二

解答：

令2,则x=-2t,坎|为x-*8.故t-*8.

p111

二+二岛（1+_）一2,二岛［（］+_）丁2二异

则29X39了