幂级数概念.docx
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幂级数概念
§11．1常数项级数的概念和性质
§113幂级数
一、函数项级数的概念
由这函数列构成的表达式
函数项级数给定一个定义在区间I上的函数列{un（x）}u1（x）u2（x）u3（x）un（x）
称为定义在区间I上的（函数项）级数记为un（x）
n1收敛点与发散点
则称
则称
对于区间I内的一定点x0若常数项级数un（x0）收敛
n1
点x0是级数un（x）的收敛点若常数项级数un（x0）发散
n1n1
点x0是级数un（x）的发散点
n1
收敛域与发散域
函数项级数un（x）的所有收敛点的全体称为它的收敛域n1
有发散点的全体称为它的发散域
和函数
在收敛域上函数项级数un（x）的和是x的函数s（x）
n1
s（x）称为函数项级数un（x）的和函数并写成s（x）un（x）
n1n1
∑un（x）是un（x）的简便记法以下不再重述
n1
在收敛域上函数项级数∑un（x）的和是x的函数s（x）s（x）称为函数项级数∑un（x）的和函数并写成s（x）∑un（x）这函数的定义就是级数的收敛域
部分和
函数项级数un（x）的前n项的部分和记作sn（x）
n1
函数项级数∑un（x）的前n项的部分和记作sn（x）即
sn（x）u1（x）u2（x）u3（x）
un（x）
§11．1常数项级数的概念和性质
在收敛域上有limsn（x）s（x）或sn（x）s（x）（n）n
余项
函数项级数un（x）的和函数s（x）与部分和sn（x）的差
n1
rn（x）s（x）sn（x）叫做函数项级数un（x）的余项
n1
函数项级数∑un（x）的余项记为rn（x）它是和函数s（x）与部分和sn（x）的差rn（x）s（x）sn（x）
在收敛域上有limrn（x）0
n
二、幂级数及其收敛性
幂级数
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数
项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是
注幂级数的一般形式是
an（xx0）nantn
a0a1（xx0）a2（xx0）2经变换txx0就得a0a1ta2t2
幂级数
1xx2x3xn
可以看成是公比为x的几何级数当|x|1时它是收敛的当|x|1时它是发散的因此它的收敛域为（11）在收敛域内有
1x1xx2x3
定理1（阿贝尔定理）如果级数anxn当xx0（x00）时收敛则适合不等式
n0
§11．1常数项级数的概念和性质
|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛反之如果级数anxn当
n0
xx0时发散则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散
定理1（阿贝尔定理）如果级数∑anxn当xx0（x00）时收敛则适合不等式
|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛反之如果级数∑anxn当
xx0时发散则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散
提示∑anxn是anxn的简记形式
n0
证先设x0是幂级数anxn的收敛点即级数anxn收敛根据级数收敛的必要条件有
n0n0
limanx0n0于是存在一个常数M使n
|anx0n|M（n0,1,2,）
这样级数anxn的的一般项的绝对值
n0
因为
|anxn||anx0nxn||anx0n||x|nM|x|n
因为当|x||x0|时
等比级数M|x
n收敛所以级数
|anxn|收敛也就是级数
anxn绝对
n0x0
n0
n0
收敛
简要证明
设∑anxn在点x0收敛
则有anx0n0（n
）于是数列{anx0n}有界
即存在一个常
数M使|anx0n|
M（n0,1,2,）
x0nx0x0
|anxn||anx0nxxn|
|anx0n||xx0|nM|xx0|n
而当|x||x0|时等比级数M|x|n收敛所以级数∑
n0x0
定理的第二部分可用反证法证明倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛则根据本定理的第一部分级数当xx0时应收敛这与所设矛盾定理得证
§11．1常数项级数的概念和性质
推论如果级数anxn不是仅在点x0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有
n0
个完全确定的正数R存在使得
当|x|R时幂级数绝对收敛
当|x|R时幂级数发散
当xR与xR时幂级数可能收敛也可能发散
收敛半径与收敛区间正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径开区间（RR）叫做幂级
n0
数anxn的收敛区间再由幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数anxnn0n0
的收敛域是（R,R）（或［R,R）、（R,R］、［R,R］之一
规定若幂级数anxn只在x0收敛则规定收敛半径R0若幂级数anxn对一切x都
n0n0
收敛则规定收敛半径R这时收敛域为（,）
定理2
如果lim|an1|
其中an、an1是幂级数
anxn的相邻两项的系数则这幂级数的收敛n0
nan
半径
0
R1
0
0
定理
2
如果幂级数
anxn
系数满足lim
|aan1|
则这幂级数的收敛半径
n0
n
an
0
R1
0
0
定理2
§11．1常数项级数的概念和性质
例1求幂级数
（1）n1x的收敛半径与收敛域
n1n
所以收敛半径为R11
§11．1常数项级数的概念和性质
解因为
解级数缺少奇次幂的项定理2不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径
幂级数的一般项记为un（x）（（2n!
n））2!
x2n
因为nlim|uunn（1（xx））|4|x|2
111当4|x|21即|x|12时级数收敛当4|x|21即|x|12时级数发散所以收敛半径为R12
提示
[2（n1）]!
x2（n1）un1（x）[（n1）!
]2（2n2）（2n1）x2
un（x）（2n）!
x2n（n1）2
（n!
）2
§11．1常数项级数的概念和性质
所以收敛半径R2当t2时级数成为1此级数发散当t2时级数成为
（1）此级数收敛因此级
n1nn1n
tn
数tn的收敛域为2t2因为2x12即1x3所以原级数的收敛域为[1,3）
n12nn
三、幂级数的运算
设幂级数
anxn及
bnxn
分别在区间（R,R）及（R,R）内收敛则在（R,R）与（
R,R）中
n
0
n0
较小的区间内有
加法anxn
bnxn
（an
bn）xn
n0
n0
n0
减法anxn
bnxn
（an
bn）xn
n0
n0
n0
设幂级数∑
anxn及∑bnxn分别在区间（R,R）及（R,R）内收敛则在（R,R）与（R,
R）中较小
的区间内有
加法∑anxn∑bnxn∑（anbn）xn减法∑anxn∑bnxn∑（anbn）xn
乘法（anxn）（bnxn）a0b0（a0b1a1b0）x（a0b2a1b1a2b0）x2
n0n0
（a0bna1bn1anb0）xn
性质1幂级数anxn的和函数s（x）在其收敛域I上连续
n0
如果幂级数在xR（或xR）也收敛则和函数s（x）在（R,R]（或[R,R））连续
性质2幂级数anxn的和函数s（x）在其收敛域I上可积并且有逐项积分公式
n0
xxnxnann1
0s（x）dx0（anxn）dx0anxndxnxn1（xI）
00n0n00n0n1
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质3幂级数anxn的和函数s（x）在其收敛区间（RR）内可导并且有逐项求导公式n0
s（x）（anxn）（anxn）nanxn1（|x|R）
n0n0n1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
§11．1常数项级数的概念和性质
并且有逐项积分公式
性质1幂级数∑anxn的和函数s（x）在其收敛域I上连续
x
0s（x）dx
性质2幂级数∑anxn的和函数s（x）在其收敛域I上可积
0x（n0anxn）dxn00xanxndxn0nan1xn1（xI）
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质3幂级数∑anxn的和函数s（x）在其收敛区间（RR）内可导并且有逐项求导公式
s（x）（anxn）（anxn）nanxn1（|x|R）
n0n0n0
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
1
例6求幂级数xn的和函数
n0n1解求得幂级数的收敛域为[11）
1n
设和函数为s（x）即s（x）xnx[11）显然s（0）1
n0n1
在xs（x）1xn1的两边求导得
n0n1
[xs（x）]n0（n11
对上式从0到x积分得
xn1）
xn
n0
1
1x
xs（x）
x1
0x11xdx
ln（1
x）
是当x0时
有s（x）
1ln（1
x
x）从而s（x）
1
1xln（1x）
x
1
0|x|1
x0
因为xs（x）
1xn
0n1
xndx
0
1x[
0
n
x1
01dx
01x
0n
11xn1]dx
ln（1x）
所以当x0时
有s（x）
1ln（1x）
x
1
从而s（x）xln（1
1
§11．1常数项级数的概念和性质
例6求幂级数
n0n
1xn的和函数
解求得幂级数的收敛域为[11）
设幂级数的和函数为
s（x）即s（x）
显然S（0）1因为
1
n0n11xn
x[11）
xs（x）1xn
n0n1
0x[n0n1
n0n
1]dx
0xxndx
0n0
11xdx
ln（1
x）（
1x
1）
所以当0|x|1时有s（x）1ln（1
x
x）
1
从而s（x）1xln（1x）0|x|1
1x0
由和函数在收敛域上的连续性
S（
1）
lim1S（x）
ln2
综合起来得
1
s（x）1xln（1
1
x）
1,0）（0,1）
提示应用公式
0xF（x）dxF（x）F（0）
即F（x）F（0）
x
0F（x）dx
11x1
x2
x3
求级数
n
（1）n的和
0n1
考虑幂级数
1
xn此级数在[1,1）上收敛n0n1
设其和
函数为s（x）则s
（1）
（1）n
§11．1常数项级数的概念和性质
ln12
在例6中已得到xs（x）ln（1x）于是s
（1）ln2s
（1）ln1即
（1）
2n0n1
10
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