高中数学人教版A版必修一配套课时作业第三章 函数的应用 322.docx
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高中数学人教版A版必修一配套课时作业第三章函数的应用322
3．2.2 函数模型的应用实例
课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型
（1）一次函数：
y＝______________________
（2）二次函数：
y＝______________________
（3）指数函数：
y＝______________________
（4）对数函数：
y＝______________________
（5）幂函数：
y＝________________________
（6）指数型函数：
y＝pqx＋r
（7）分段函数
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
（1）________________；
（2）________________；
（3）________________；
（4）________________；
（5）______；
（6）__________________________．
一、选择题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x（h）
0
1
2
3
细菌数
300
600
1200
2400
据此表可推测实验开始前2h的细菌数为（ ）
A．75B．100C．150D．200
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元B．300元
C．290元D．280元
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ）
A．减少7.84%B．增加7.84%
C．减少9.5%D．不增不减
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：
前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（ ）
5．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A.
cm2B．4cm2
C．3
cm2D．2
cm2
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为（ ）
A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y（头）与时间x（年）的关系可以近似地由关系式y＝alog2（x＋1）给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：
小时，y表示病毒个数），则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
三、解答题
10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位为：
元/10kg）与上市时间t（单位：
天）的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
能力提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量（千件）
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b（a，b为常数，且a>0）来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：
用以上哪个模拟函数较好？
说明理由．
13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
，
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
（1）利用给定的函数模型解决实际问题；
（2）建立确定性的函数模型解决问题；
（3）建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
（1）能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
（2）通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
3．2.2 函数模型的应用实例
知识梳理
1．
（1）kx＋b（k≠0）
（2）ax2＋bx＋c（a≠0） （3）ax（a>0且a≠1）
（4）logax（a>0且a≠1） （5）xα（α∈R） 2.
（1）收集数据
（2）画散点图 （3）选择函数模型
（4）求函数模型 （5）检验 （6）用函数模型解释实际问题
作业设计
1．A [由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为
y＝300·2x（x∈Z）．
当x＝－2时，y＝300×2－2＝
＝75.]
2．B [由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将（1,800），（2,1300）代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.]
3．A [设某商品价格为a，依题意得：
a（1＋0.2）2（1－0.2）2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以四年后的价格与原来价格比较（0.9216－1）a＝－0.0784a，即减少7.84%.]
4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，故选A.]
5．D [设一段长为xcm，则另一段长为（12－x）cm.
∴S＝
（
）2＋
（4－
）2＝
（x－6）2＋2
≥2
.]
6．A [由三角形相似得
＝
，得x＝
（24－y），
∴S＝xy＝－
（y－12）2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
7．2250
解析 设每台彩电的原价为x元，则x（1＋40%）×0.8－x＝270，解得x＝2250（元）．
8．400
解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.
9．2ln2 1024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝
，
∴k＝2ln2，
∴y＝e2tln2，当t＝5时，
∴y＝e10ln2＝210＝1024.
10．解 设每床每夜租金为10＋2n（n∈N），则租出的床位为
100－10n（n∈N且n<10）
租金f（n）＝（10＋2n）（100－10n）
＝20[－（n－
）2＋
]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80（张）；
若n＝3，则租出床位100－30＝70（张）；
综合考虑，n应当取3，
即每床每夜租金选择10＋2×3＝16（元）．
11．解
（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝
，b＝－
，c＝
.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为
Q＝
t2－
t＋
.
（2）当t＝－
＝150（天）时，芦荟种植成本最低为
Q＝
×1502－
×150＋
＝100（元/10kg）．
12．解 将（1,50）、（2,52）分别代入两解析式得：
或
（a>0）
解得
（两方程组的解相同）．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解
（1）设每年砍伐面积的百分比为x（0a（1－x）10＝
a，即（1－x）10＝
，
解得x＝1－
.
（2）设经过m年剩余面积为原来的
，则
a（1－x）m＝
a，即
，
＝
，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
（3）设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为
a（1－x）n.
令
a（1－x）n≥
a，即（1－x）n≥
，
，
≤
，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
小课堂：
如何培养中学生的自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
在中学阶段，至关重要！
！
以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。
如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。
2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。
4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。
6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找（课外题）习题做。
8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。
9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。
10、自己不感兴趣的学科也好好学。
11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。
12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。
02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。
14、为准备考试，会制定一个详细的计划。
15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。
16、常自己寻找没有干扰的地方学习。
17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。
18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。
19、作业总是在自己规定的时间内完成。
20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。
03学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。
22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。
23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。
24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。
25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。
26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。
27、常寻找同一道题的几种解法。
28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。
29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。
30、常对学过的知识进行分类、比较。
31、常回忆当天学过的东西。
32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。
33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。
34、注意学习别人的解题方法。
35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。
36、留意别人好的学习方法，学来用用。
37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。
38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。
04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。
40、在学习时很少烦躁不安。
41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。
42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。
43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。
44、解决问题时，要检验每一步的合理性。
45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。
05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。
47、常让同学提问自己学过的知识。
48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。
49、常常对一天的学习内容进行回顾。
50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。
51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。
52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。
53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。
54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。
06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。
56、常和别人一起讨论问题。
57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。
58、自己到书店选择适合自己的参考书。
59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。
60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。
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