北师大版七年级数学下册教案第五章三角形.docx

北师大版七年级数学下册教案第五章三角形.docx

《北师大版七年级数学下册教案第五章三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版七年级数学下册教案第五章三角形.docx（43页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

北师大版七年级数学下册教案第五章三角形

第五章三角形

5.1认识三角形

（1）

教学过程：

一、新课：

1、在右下图中你能用符号表示上面的三角形吗？

2、它的三个顶点分别是，三条边分别是，三个内角分别是。

3、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边

之和以及任意两边之差。

你发现了什么？

结论：

三角形任意两边之和大于第三边

三角形任意两边之差小于第三边

例：

有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？

为什么？

长度为13cm的木棒呢？

长度为7cm的木棒呢？

二、巩固练习：

1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？

为什么？

（单位：

cm）

（1）1，3，3

（2）3，4，7

（3）5，9，13

（4）11，12，22

（5）14，15，30

2、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是。

若X是奇数，则X的值是。

这样的三角形有个；若X是偶数，则X的值是，

这样的三角形又有个

3、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm,则这个三角形的周长是cm

4、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm,则这个三角形的周长是cm

小结：

掌握三角形三边关系：

“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

5.1认识三角形

（2）

教学过程：

一、复习：

1、填空：

（1）当0°＜

＜90°时，

是角；

（2）当

＝°时，

是直角；

（3）当90°＜

＜180°时，

是角；

（4）当

＝°时，

是平角。

2、如右图，

∵AB∥CE，（已知）

∴∠A＝，（）

∴∠B＝，（）（第2题）

二、探索练习：

根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？

（提出问题，激发学生的兴趣）

结论：

三角形三个内角和等于180°（几何表示）

练习1：

1、判断：

（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°；（）

（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；（）

2、在△ABC中，

（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B=度；

（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C=度；

（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A=度。

3、如右图，在△ABC中，∠A＝

°∠＝

°∠＝

°求三个内角的度数。

解：

∵∠A+∠B+∠C=180°，（）

∴

∴

=

∴

=

从而，∠A=，∠B=，∠C=

三、猜一猜：

（第3题）

练习1：

一个三角形中三个内角可以是什么角？

（提醒：

一个三角形中能否有两个直角？

钝角呢？

）小组讨论。

★按三角形内角的大小把三角形分为三类

练习2：

1、观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：

锐角三角形（）

直角三角形（）

钝角三角形（）

2、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？

（1）30°和60°（）

（2）40°和70°（）

（3）50°和30°（）

（4）45°和45°（）

四、猜想结论：

简单介绍直角三角形，和表示方法，Rt△

思考：

直角三角形中的两个锐角有什么关系？

结论：

直角三角形的两个锐角互余

练习3：

1、观察下列的直角三角形，分别写出它们符号表示、直角边和斜边。

（图1）（图2）

（1）图1中的直角三角形用符号写成，直角边是和，斜边是；

（2）图2中的直角三角形用符号写成，直角边是和，斜边是；

2、如下图，在Rt△CDE,∠C和∠E的关系是，其中∠C=55°，则∠E=度

3、如上图，在Rt△ABC中，∠A=2∠B，则∠A=度，∠B=度；

小结：

1、三角形的三个内角的和等于180°；

2、三角形按角分为三类：

（1）锐角三角形

（2）直角三角形（3）钝角三角形

3、直角三角形的两个锐角互余

检测练习：

1、选择：

三角形三个内角中，锐角最多可以是（）

A、0个B、1个C、2个

2、如下图，△ABC中，∠A=60°，∠C=80°，∠B=度；

（第2题）（第3题）

3、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A=度；

4、如右图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，则∠B=度，∠C=度

5、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”：

如果三角形的三个内角都相等，

那么这个三角形是三角形；（第4题）

如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是三角形。

提高练习：

1、已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A、∠B和∠C的度数，

它是什么三角形？

2、如右图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，

∠3=38°求∠4的度数

3、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应该等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°，李叔叔量得∠BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出其中的理由吗？

5.1认识三角形（3）

教学过程：

一、探索练习：

1、任意画一个三角形，设法画出它的一个内角的平分线。

1、你能通过折纸的方法得到它吗？

（可以用量角器来量出这个角的大小的方法画出这个角的平分线。

也可以用折纸的方法得到角平分线）。

结论：

三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。

简称三角形的角平分线。

A

如图：

∵AD是三角形ABC的角平分线。

12

∴∠1＝∠2＝∠BAC

或：

∠BAC＝2∠1＝2∠2

BDC

问题：

三角形有几条角平分线？

（三条）

下面看看三角形的三条角平分线有怎样的位置关系？

动手操作：

请画出△ABC（锐角三角形）的所有角平分线，并且观察这些角平分线有什么规律？

对于钝角三角形呢?

直角三角形呢?

它们的角平分线也有这样的规律吗?

结论：

一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。

例题：

△ABC中,∠B=80°∠C=40°,BO、CO平分∠B、∠C，则∠BOC=______.

O

B

练习：

1、任意画一个三角形，设法画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？

2、你能通过折纸的方法得到它吗？

画中线时，学生可以用刻度尺通过测量的方法来得一边的中点。

也可以用折纸的方法得到一边的中点。

连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。

简称三角形的中线。

注：

规范书面表达，按下面的示范书写：

如图：

∵AD是三角形ABC的中线。

A

∴BD＝DC＝

BC

或：

BC＝2BD＝2DC

BDC

问题：

三角形有几条中线？

下面看看三角形的三条中线有怎样的位置关系？

动手操作：

请画出△ABC（锐角三角形）的所有中线，并且观察这些中线有什么规律？

对于钝角三角形呢?

直角三角形呢?

它们的中线也有这样的规律吗?

结论：

一个三角形共有三条中线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。

例题：

如图,已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm,AD=4cm,▲ABD的周长是

12cm,求BC的长.

巩固练习：

1、AD是△ABC的角平分线（D在BC所在直线上），那么∠BAD=_______=

______.

AE是△ABC的中线（E在BC所在直线上），那么BE=___________=_______BC.

2、如右图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD是△ABC的一条角平分线，

求∠ADB的度数.

小结：

（1）三角形的角平分线的定义;

（2）三角形的中线定义.

（3）三角形的角平分线、中线是线段.

5.1认识三角形（4）

教学过程：

过三角形的一个顶点A，能画出它的对边BC的垂线吗？

从而引出新课：

1、★三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

如图，线段AM是BC边上的高。

∵AM是BC边上的高

∴AM⊥BC

2、做一做：

准备一个锐角三角形纸片

（1）能画出这个三角形的高吗？

能用折纸的方法得到它吗？

（2）这三条高之间有怎样的位置关系呢？

结论：

锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点。

3、议一议：

画出一个直角三角形和一个钝角三角形

（1）画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系？

（2）能折出钝角三角形的三条高吗？

能画出它们吗？

（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？

它们所在的直线交于一点吗？

结论：

1、直角三角形的三条高交于直角顶点处。

2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部。

4、小结：

（1）锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点。

（2）直角三角形的三条高交于直角顶点处。

（3）钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部。

5、2图形的全等

教学过程：

一、看一看

1．观察课本两组图形。

2．多举一些比较熟悉的能全等或不全等图形的实例，进行想象全等力形与不全等图形的区别。

例如：

（1）同一张底片冲印出两张相同尺寸的相片与两张不同尺寸的相片。

（2）同一人的两只手掌与一大人左手掌和一小孩的左手掌。

（3）一个三角形和一个四边形

3．把下列两组图形投影出来：

（1）

（2）

通过观察，说出两组图形中上、下两个图形的异同之处，与同学交流你的看法。

一、做一做

1.用复写纸印出任一封闭图形。

2.把两张纸叠在一起，用剪子随意剪出一个图形。

二、议一议

1.从“做一做”中得到的两个图形有什么特征？

这两个图形能够重合，它们的形状和大小都相同。

2.在看一看中，你的看法如何？

形状相同且大小也相同的两个图形能够重合，反之亦然。

形状不同或大小不同的两个图形不能重合，不能重合的两个图形大小一定不相同。

3.能够重合的两个图形称为全等图形。

全等图形的形状和大小都相同

小结：

本节课学习了能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同。

5、3图案设计

教学过程：

1、在生活中，我们经常看到由全等图形拼成的美丽图案．例如在给定的三角形上，画出小鱼形状的图形，利用它就可以拼成下面这个美丽的图案．

2、根据课本中的图形设计出相应的图案：

3、试一试：

从正方形出发，按下面步骤设计图案。

按上述步骤，得到一个“箭头”，剪出若干个同样的“箭头”，拼出一个美丽的图案．

小结：

本节课利用全等图形设计了一些美丽的图案。

5.4全等三角形

教学过程：

（1）课前复习三角形的有关知识：

一个三角形共有______个顶点,_________个角,_______条边.

（2）已知△ABC,它的顶点是_________,它的角是______________,它的边是____________

（3）两个图形完全重合指的是它们的形状___________,大小___________.

（4）完全重合的两条线段_________（填“相等”或“不相等”）

（5）完全重合的两个角_________（填“相等”或“不相等”）

一、实验活动：

找出图画中全等的图形，从而引出全等三角形的定义及性质

1．全等三角形的定义及有关概念和性质．

（1）定义：

全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．

（2）反例：

举出不全等的三角形的例子，利用教师和学生手中的含30°角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等形，强调定义的条件．

（3）对应元素及性质：

说明对应元素（顶点、边、角）的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等．教师启发学生根据“重合”来说明道理．

2．学习全等三角形的符号表示及读法和写法：

解释“≌”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位置上．

举例说明：

如图，∵△ABC≌DFE，（已知）

∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，（全等三角形的对应边相等）

∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．（全等三角形的对应角相等）

小结：

在书写全等三角形时，如果将对应顶点写在对应位置上，那么，将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间．

二、总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想

（1）全等用符号_________表示.读作__________.

（2）三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为______________

（3）已知△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′∠C=∠C′;

AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.则△ABC_______△A′B′C′.

（4）如右图△ABC≌△BCD,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则

∠C与____是对应角;AB与_____是对应边,BC与_____是对应边,

AC与____是对应边.

（5）判断题:

①全等三角形的对应边相等,对应角相等.（）

②全等三角形的周长相等.（）

③面积相等的三角形是全等三角形.（）

④全等三角形的面积相等.（）

三、性质应用举例

1．性质的基本应用．

例1已知：

△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm．求∠E的度数及AB的长．

例2如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C=20°，AB=10，AD=4，G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．

分析：

（1）图中可分解出四组基本图形：

有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．

（2）利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识，求得∠EBG等于160°．

（3）利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得：

CE=CA-AE=BA-AD=6．

小结：

1．学生回忆这节课：

在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？

（1）全等三角形的定义、判断方法、性质．

（2）找全等三角形对应元素的方法．注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点．

2．在运用全等三角形的定义和性质时应注意什么问题？

教师应强调全等三角形及性质的规范书写格式．

3．了解全等变换的思想，更好地识别全等三角形及对应元素．

5.5探索三角形全等的条件

（1）

1、全等三角形的相等，相等。

2、如图1，已知△AOC≌△BOD，则∠A=∠B，∠C=，=∠2，对应边有AC=，=OB，=OD。

3、如图2，已知△AOC≌△DOB，则∠A=∠D，∠C=，=∠2，对应边有AC=，OC=，AO=。

4、如图3，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4，AB=CD，AD=CB，AC=CA。

则△≌△

5、判定两个三角形全等，依定义必须满足（）

（A）三边对应相等（B）三角对应相等

（C）三边对应相等和三角对应相等（D）不能确定

教学过程：

一、实验操作

1.画出一个三角形，使它的三个内角分别为40°，60°，80°，把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？

结论：

2、画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm4cm7cm,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？

结论：

二、巩固练习：

1、下列三角形全等的是

2、三边对应相等的两个三角形例全等，简写为或

3、如图，AB=AC，BD=DC4、如图，AM=AN，BM=BN

求证：

△ABD≌△ACD求证：

△AMB≌△ANB

证明：

在△ABD和△ACD中证明：

在△AMB和△ANB中

∴△ABD△ACD（）∴≌（）

5、如图，AD=CB，AB=CD6、如图，PA=PB，PC是△PAB的

中线，∠A=55°

求证：

∠B=∠D求：

∠B的度数

证明：

在中解：

∵PC是AB边上的中线，

∴AC=（中线的定义）

在中

∴△≌△（）∴≌（）

∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）

∴∠A=∠B（）

∵∠A=55°（已知）

∴∠B=∠A=55°（等量代换）

提高练习：

1、如图，AB=DC，BF=CE，AE=DF，你能找到一对全等的三角形吗？

说明你的理由。

2、如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF

你能找到哪两个三角形全等？

说明你的理由。

3、如图，已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有对，

并说明全等的理由。

5.5探索三角形全等的条件

（2）

准备活动：

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为或

2、如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AD能平

分∠BAC吗？

你能说明理由吗？

解：

AD平分∠BAC。

∵AD是BC边上的中线（已知）

∴＝（中线的定义）

在中

（图1）

∴≌（）

∴∠BAD＝∠CAD（）

∴AD平分∠BAC（）

3、如图2，（图2）

（1）∵AC∥BD（已知）

∴∠＝∠（）

（2）∵AD∥BC（已知）

∴∠＝∠（）

4、如图3，

∵EA⊥AD，FD⊥AD（已知）

∴∠＝∠＝90°（）

（图3）

教学过程：

一、探索练习：

1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？

你画的三角形与同伴画的一定全等吗？

结论：

2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形两个内角分别是60°和45°，一条边长为3cm。

你画的三角形与同伴画的一定全等吗？

结论：

二、巩固练习：

1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成或

2、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成或

3、如图，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？

证明：

△ABD和△ACE中

∴≌（）

4、如图，已知AC与BD交于点O，AD∥BC，且AD＝BC，你能说明BO=DO吗？

证明：

∵AD∥BC（已知）

∴∠A=，（）

∠D=，（）

在中，

∴≌（）

∴BO=DO（）

5、如图，∠B＝∠C，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？

若BD＝3cm，则CD有多长？

证明：

∵AD平分∠BAC（）

∴∠＝∠（角平分线的定义）

在△ABD和△ACD中

∴△ABD△ACD（）

∴BD＝CD（）

∵BD＝3cm（已知）

∴CD＝＝（等量代换）

6、如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？

你能说明理由吗？

解：

BD＝DC。

∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F

∴∠＝∠＝90°（垂直的定义）

在中，

∴≌（）

∴BD＝DC（）（第6题）

7、如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，你能说明△ABO≌△DCO吗？

三、提高练习：

1、如图，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB＝110°，求∠DCF的度数。

2、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE是角平分线，ED⊥AB于D，

且BD＝AD，试确定∠A的度数。

小结：

掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

5．5边角边（3）

教学过程：

一、复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，

并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图

（1）中：

△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；

图

（2）中：

△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．

二、新课

1．三角形全等的判定Ⅰ

（1）全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？

也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？

是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？

现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝∠COD，

BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．（附注：

此外，还可以图1

（1）中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1

（2）中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE（AB）翻折180°．两个三角形也可重合）

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3．边角边公理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

三、三角形全等判定Ⅰ的应用

1．填空：

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是（）＝（）；还需要一个条件（）＝（）（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

（）＝（），（）＝（）（这个条件可以证得吗？

）．

2．例题

例1已知：

AD∥BC，AD＝CB（图3）．

求证：

△ADC≌△CBA．

问题：

如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（AF＝CE或AE＝CF）？

怎样证明呢？

例2已知：

AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：

△ABD≌△ACE．

小结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

3．证明的书写格式：

（1）通