西城区学习探究诊断四边形.docx

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西城区学习探究诊断四边形

第十九章四边形

测试1平行四边形的性质

（一）

学习要求

1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。

2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．

3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．

4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．

5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．

6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．

6题图

7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．

7题图

8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．

二、选择题

9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（）．

（A）AF＝EF

（B）AB＝EF

（C）AE＝AF

（D）AF＝BE

10．如图，下列推理不正确的是（）．

（A）∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°

（B）∵∠1＝∠2∴AD∥BC

（C）∵AD∥BC∴∠3＝∠4

（D）∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD

11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为（）．

（A）5（B）6

（C）8（D）12

综合、运用、诊断

一、解答题

12．已知：

如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：

DE＝BF．

13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．

14．已知：

如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．

（1）求证：

DE＝FB；

（2）若DE、CB的延长线交于G点，求证：

CB＝BG．

15．已知：

如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．

求证：

（1）BE＝DF；

（2）BE∥DF．

拓展、探究、思考

16．已知：

□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．

17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：

方案

（1）：

如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；

图1

方案

（2）：

如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．

图2

测试2平行四边形的性质

（二）

学习要求

能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．

2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是

______．

3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．

4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．

5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．

6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．

7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．

8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．

二、选择题

9．有下列说法：

①平行四边形具有四边形的所有性质；

②平行四边形是中心对称图形；

③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；

④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．

其中正确说法的序号是（）．

（A）①②④（B）①③④（C）①②③（D）①②③④

10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．

（A）8cm和16cm（B）10cm和16cm（C）8cm和14cm（D）8cm和12cm

11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（）个．

（A）1（B）2（C）3（D）无数

12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为（）

（A）2（B）

（C）

（D）15

13．根据如图所示的

（1），

（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）

……

（1）

（2）（3）

（A）3n（B）3n（n＋1）（C）6n（D）6n（n＋1）

综合、运用、诊断

一、解答题

14．已知：

如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．

15．已知：

如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．

拓展、探究、思考

16．已知：

如图，O为□ABCD的对角线AC的串点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF．

（1）图中共有几对全等三角形?

请把它们都写出来；

（2）求证：

∠MAE＝∠NCF．

17．已知：

如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．

测试3平行四边形的判定

（一）

学习要求

初步掌握平行四边形的判定定理．

课堂学习检测

一、填空题

1．平行四边形的判定方法有：

从边的条件有：

①两组对边__________的四边形是平行四边形；

②两组对边__________的四边形是平行四边形；

③一组对边__________的四边形是平行四边形．

从对角线的条件有：

④两条对角线__________的四边形是平行四边形．

从角的条件有：

⑤两组对角______的四边形是平行四边形．

注意：

一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．（填“一定”或“不一定”）

2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______（填

“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形．

3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．

4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．

5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．

二、选择题

6．下列命题中，正确的是（）．

（A）两组角相等的四边形是平行四边形

（B）一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形

（C）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形

（D）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7．已知：

园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：

①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是（）．

（A）①②（B）①③④（C）②③（D）②③④

8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（）．

（A）已知平行四边形的两邻边

（B）已知平行四边形的相邻两角

（C）已知平行四边形的两对角线

（D）已知平行四边形的一边、一对角线和周长

综合、运用、诊断

一、解答题

9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：

四边形ENFM是平行四边形．

10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：

四边形EGFH是平行四边形．

11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：

四边形EQFP是平行四边形．

12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，FA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：

四边形RESF是平行四边形．

13．已知：

如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：

O是BD的中点．

14．已知：

如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：

CF∥AE.

拓展、探究、思考

15．已知：

如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．

（1）猜想DF与AE的关系；

（2）证明你的猜想．

16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′（如图），可以拼成几个不同的四边形?

其中有几个是平行四边形?

请分别画出相应的图形加以说明．

测试4平行四边形的判定

（二）

学习要求

进一步掌握平行四边形的判定方法．

课堂学习检测

一、填空题

1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________．

1题图

2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．

2题图

3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出

______个平行四边形．

4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出

______个平行四边形．

5．已知：

如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．

5题图

二、选择题

6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）．

（A）一组对边平行，另一组对边相等（B）一组对边平行，一组对角互补

（C）一组对角相等，一组邻角互补（D）一组对角相等，另一组对角互补

7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．

（A）AD＝BC，AB∥CD（B）∠A＝∠B，∠C＝∠D

（C）AB＝BC，AD＝DC（D）AB∥CD，CD＝AB

8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：

∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为（）．

（A）1∶2∶3∶4（B）1∶4∶2∶3

（C）1∶2∶2∶1（D）1∶2∶1∶2

9．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有（）．

（A）2个（B）3个

（C）4个（D）5个

10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为（－1，2），则C点的坐标为（）．

（A）（1，－2）（B）（2，－1）（C）（1，－3）（D）（2，－3）

11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）．

（A）1条（B）2条

（C）3条（D）4条

综合、运用、诊断

一、解答题

12．已知：

如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）．

（1）连结______；

（2）猜想：

______＝______；

（3）证明：

13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．（只添加一个条件）

证明：

14．已知：

如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．

15．已知：

如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．

求证：

（1）△ACD≌△CBF；

（2）四边形CDEF为平行四边形．

拓展、探究、思考

16．若一次函数y＝2x－1和反比例函数

的图象都经过点（1，1）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A的坐标；

（3）利用

（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．

17．如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）在反比例函数

的图象上．

（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

测试5平行四边形的性质与判定

学习要求

能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．

课堂学习检测

一、填空题：

1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．

2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．

3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．

4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．

5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB的周长为______cm．

6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．

7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD的面积为______．

8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，

，则△CEF的周长为______．

9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC______

S△BNC．（填“＜”、“＝”或“＞”）

综合、运用、诊断

一、解答题

10．已知：

如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．

（1）求证：

△EFC是等腰三角形；

（2）求EC＋FC．

11．已知：

如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：

BE＝FC．

12．已知：

如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：

∠F＝∠BCF．

13．如图，已知：

在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：

BF∶BD＝

∶3．

拓展、探究、思考

14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

图1

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?

如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

图2

测试6三角形的中位线

学习要求

理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

课堂学习检测

一、填空题：

1．

（1）三角形的中位线的定义：

连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．

（2）三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________

________________________．

2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、

△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．

3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．

二、解答题

4．已知：

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

5．已知：

△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．

求证：

四边形DEFG是平行四边形．

综合、运用、诊断

6．已知：

如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：

AB＝2OF．

7．已知：

如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：

GF＝GC．

8．已知：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．

求证：

∠AHF＝∠BGF．

拓展、探究、思考

9．已知：

如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．

10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?

为什么?

测试7矩形

学习要求

理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．

课堂学习检测

一、填空题

1．

（1）矩形的定义：

__________________的平行四边形叫做矩形．

（2）矩形的性质：

矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：

矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．

（3）矩形的判定：

一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．

2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．

3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．

4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。

5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．

二、选择题

6．下列命题中不正确的是（）．

（A）直角三角形斜边中线等于斜边的一半

（B）矩形的对角线相等

（C）矩形的对角线互相垂直

（D）矩形是轴对称图形

7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为（）．

（A）3.6cm（B）7.2cm（C）1.8cm（D）14.4cm

8．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为（）．

（A）14cm（B）28cm（C）20cm（D）22cm

9．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）

（A）（B）（C）（D）

综合、运用、诊断

一、解答题

10．已知：

如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．

（1）求证：

四边形ABCD为矩形；

（2）作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：

BE＝CF．

11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．

（1）求证：

D是BC的中点；

（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。

13．已知：

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．

求证：

AE平分∠BAD．

拓展、探究、思考

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，

．

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；

（2）若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连结EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：

AB＝BF；

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?

若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。

测试8菱形

学习要求

理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．

课堂学习检测

一、填空题：

1．菱形的定义：

__________________的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质：

菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：

还有：

菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是__________________