河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案.doc
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2012年河北省普通高等学校对口招生考试
数学
说明：
一、本试卷共6页，包括三道大题36道小题，共120分。
二、所有试题均须在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效。
答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。
四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1.集合，，若，则------------------------------------（）
A．B．C．D．
2.下列命题正确的是------------------------------------------------------------------------------------------（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3.偶函数在上是增函数，且有最大值，则在上是-------------------（）
A．增函数且有最大值7B．减函数且有最大值7
C．增函数且有最小值7D．减函数且有最小值7
4.“”是“”的-----------------------------------------------------------------------------（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
A
C
D
B
5.若时，则与在同一坐标系中的图像大致是---------------------（）
6.函数的图像，可由函数的图像（）而得到.
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
7.在等差数列中，和是方程的两根，则前14项之和为---------------（）
A．B．C．D．
8.在△中，三内角、、成等差数列，且，则△的形状是------------------------------------------------------------------------------------------------------------（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
9.设，，则下列结论中，正确的是-------------------------------------------------（）
A．B．
C．与垂直D．∥
10.过点，的直线与直线平行，则----------------------------（）
A．B．C．D．
11.直线与圆的位置关系是-------------------------------（）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
12.若抛物线方程是，则其准线的方程为----------------------------------------------------------（）
A．B．C．D．
13.两个平面、互相平行，直线与平面相交于点，与平面相交于点，，点到平面的距离是，则直线与平面所成的角是--------------------------------------------------（）
A．B．C．D．
14.有名男生名女生，从中选人去敬老院打扫卫生，要求必须有男生，则不同的选法有（）种.
A．B．C．D．
15.如图所示，一个正方形及其内切圆，随机向正方形内抛一颗豆子，假设豆子落到正方形内，则豆子落到内切圆内的概率为（）-------------------------------------------------------------------------------（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题有15个空，每空2分，共30分）
16.若，则_____________.
17.计算：
____________.
18.函数的定义域为_________________________________.
19.若函数为偶函数，则常数_______________________，此函数的单调递增区间为________________________________.
20.直线经过两点，，则该直线的倾斜角为________________.
21.等差数列中，公差，，则______.
22.正弦型函数在一个最小正周期内的图像中，最高点为，最低点为，则___________.
23.在一个的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是，则它到此二面角的另一个面的距离是____________________.
24.渐近线方程为的双曲线，经过点，则该双曲线的标准方程为__________________.
25.已知，，则_________.
26.设向量，向量，若，则_____________.
27.二项式展开式中的系数是__________________.
28.，，，可以组成______________个无重复数字的四位数.
29.冰箱里放了大小形状相同的3罐可乐，2罐橙汁，4罐冰茶，小明从中任意取出1罐饮用，取出可乐或橙汁的概率为_______________.
三、解答题（本大题共7个小题，共45分。
请在答题卡中对应题号下面指定位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
30.（5分）已知集合，，若，求的取值范围
31.（5分）数列、中，为等比数列，且公比为，首项为，，
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和公式.
32.（7分）函数，.
（1）求此函数的最小正周期；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
33.（6分）某种商品每件成本为5元，经市场调查发现，若售价定为15元/件，可以卖出100件，单价每提高1元，则销售量减少4件。
问当售价定为多少元时投资少且利润最大?
最大利润为多少元？
（为了结算方便，该商场的所有商品售价为整数）
34.（6分）从3名女生，2名男生中，选出3人组成志愿者小分队，
（1）求所选3个人中，女生人数的概率分布；
（2）求选出的3个人中有女生的概率.
35.（8分）已知圆的标准方程为，一个椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且以圆的直径为长轴，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点，斜率为的直线，分别与椭圆和圆交于、、、四点（如图所示），求的大小.
36.（8分）已知：
正方形所在的平面垂直于以为直径的半圆所在的平面，是半圆上一点，
（1）求证：
平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
2012年河北省普通高等学校对口招生考试
数学试题参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可以根据试题的主要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题不给中间分。
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
B
D
B
B
A
C
C
C
B
A
B
A
A
C
D
二、填空题（本大题共15空，每空2分，共30分）
16.17.18.19.，
20.（或）21.22.23.
24.25.（或）26.或27.
28.29.
三、解答题
30.（5分）
解：
因为或
所以或
因为
所以
若，则需且
即
31.（5分）
解
（1）解法一：
因为为等比数列
32.（7分）解：
（1）
（2）当，即时，有最大值，最大值为.
33.（6分）
解法一：
设售价提高了元，则销售量为件，可获得利润为元，
由题意可知，即
也即
所以当或时，有最大值为
当时，销售量为件；当时，销售量为件.
所以当时的投资小于时的投资，即售价定为元时，投资少且获得的利润最高，最高利润为元.
解法二：
设售价为元，利润为元，
则
所以当或时，有最大值，最大值为
当时，销售量为件，时，销售量为件，所以当时的投资小于时的投资，即售价定为元时，投资少且获得的利润最高，最高利润为元.
34.（6分）
解：
（1）设随机变量表示选出的女生的人数，则的取值为：
，
则
所以，选出女生数的概率分布为：
解法一：
由上表可知，所以出现女生的概率是
解法二：
此题中“选出的人中有女生”是个必然事件，所以概率为.
35.（8分）
2012河北省普通高等学校对口招生考试数学试题第10页共6页
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