18版高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积学案(含解析)新人教B版必修2.doc
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1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.（重点）
2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.（重点）
3.台体的体积及简单几何体的体积计算.（难点）
[基础·初探]
教材整理1 祖暅原理
阅读教材P28～P29“中间”以上内容，完成下列问题.
1.“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.
2.作用：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等.（ ）
（2）锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关.（ ）
（3）由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面.（ ）
【答案】
（1）×
（2）√ （3）√
教材整理2 柱体、锥体、台体和球的体积公式
阅读教材P29～P31“第2行”以上内容，完成下列问题.
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径.
名称
体积（V）
柱体
棱柱
Sh
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
Sh
圆锥
πr2h
台体
棱台
h（S＋＋S′）
圆台
πh（r2＋rr′＋r′2）
球
πR3
圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为（ ）
A.15π B.30
C.12π D.36π
【解析】 圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.
【答案】 C
[小组合作型]
求柱体的体积
某几何体的三视图（单位：
cm）如图11100所示，则该几何体的体积是（ ）
图11100
A.72cm3B.90cm3C.108cm3D.138cm3
【精彩点拨】
【自主解答】 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90（cm3）.
【答案】 B
1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.
2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.
[再练一题]
1.一个几何体的三视图如图11101所示，该几何体的体积是（ ）
图11101
A.16＋4B.12＋4C.8D.4
【解析】 由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为×2×2×2＝4，选D.
【答案】 D
求锥体的体积
如图11102三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.
图11102
【精彩点拨】 ―→―→
―→―→
【自主解答】 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S＝4S.
∴V＝S△ABC·h＝Sh，
V＝S·h＝Sh.
又V台＝h（S＋4S＋2S）＝Sh，
∴V＝V台－V－V
＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.
[再练一题]
2.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（ ）
【导学号：
45722032】
A.B. C. D.
【解析】 如图，去掉的一个棱锥的体积是××＝，
剩余几何体的体积是1－8×＝.
【答案】 D
求台体的体积
已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2.求正四棱台的体积.
【精彩点拨】 可以尝试借助四棱台内的直角梯形.求出棱台底面积和高，从而求出体积.
【自主解答】 如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形.
由S侧＝4×（10＋20）·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，
OE＝AB＝10，
∴O1O＝＝12，
V正四棱台＝×12×（102＋202＋10×20）＝2800（cm3）.
故正四棱台的体积为2800cm3.
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.
[再练一题]
3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积.”
【解】 如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2cm和4cm，
则O1B1＝cm，
OB＝2cm，
过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，
BB1＝2cm，MB＝（2－）＝（cm）.
根据勾股定理
MB1＝
＝＝（cm）.
S上＝22＝4（cm2），
S下＝42＝16（cm2），
∴V正四棱台＝××（4＋＋16）
＝××28＝（cm3）.
求球的体积
过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积和表面积.
【精彩点拨】 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形.
【自主解答】 如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.
∵AB＝BC＝CA＝3cm，
∴O′为正三角形ABC的中心，
∴AO′＝AB＝（cm）.
设OA＝R，则OO′＝R，
∵OO′⊥截面ABC，
∴OO′⊥AO′，
∴AO′＝R＝（cm），∴R＝2cm，
∴V球＝πR3＝π（cm3），S球＝4πR2＝16π（cm2）.
即球的体积为πcm3，表面积为16πcm2.
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
[再练一题]
4.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（ ）
A.1倍B.2倍 C.3倍 D.4倍
【解析】 半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×（3x）3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×（2x）3，
∴π×（3x）3÷＝3.
【答案】 C
[探究共研型]
空间几何体的体积
探究1 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，求的值.
【提示】 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则＝，所以＝＝.
探究2 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.
【提示】 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，
当2πr＝6时，r＝，l＝3，
所以V圆柱＝πr2·l＝π··3＝.
当2πr＝3时，r＝，l＝6，
所以V圆柱＝πr2·l＝π··6＝.
所以这个圆柱的体积为或.
如图11103所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥CA′DD′，求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
【导学号：
45722033】
图11103
【精彩点拨】 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比.
【自主解答】 法一 设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，
则长方体ABCDA′B′C′D′的体积V＝abc，
又S△A′DD′＝bc，
且三棱锥CA′DD′的高为CD＝a.
∴V三棱锥CA′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.
则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc.
故V棱锥CA′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.
法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
而棱锥CA′DD′的底面面积为S，高为h，
因此棱锥CA′DD′的体积VCA′DD′＝×Sh＝Sh.
剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5.
1.常见的求几何体体积的方法
（1）公式法：
直接代入公式求解.
（2）等积法：
如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
（3）分割法：
将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2.求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.
[再练一题]
5.如图11104所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.
图11104
（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥AA1BD的高.
【解】
（1）V＝S△ABD·A1A
＝×·AB·AD·A1A＝a3.
故剩余部分的体积
V＝V正方体－V
＝a3－a3＝a3.
（2）由
（1）知V＝V＝a3，
设三棱锥AA1BD的高为h，
则V＝·S·h
＝××（a）2h＝a2h，
故a2h＝a3，解得h＝a.
1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（ ）
A.π B.2π
C.4π D.8π
【解析】 设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2.
又∵S侧＝4π，∴a＝2.
∴V圆柱＝π×2＝2π.
【答案】 B
2.如图11105，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
图11105
【解析】 由三视图的概念可知，此几何体高为1，其体积V＝Sh＝S＝，即底面积S＝，结合选项可知，俯视图为三角形.
【答案】 C
3.已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
【解析】 由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.
【答案】
4.一个几何体的三视图如图11106所示（单位：
m），则该几何体的体积为________m3.
图11106
【解析】 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋π×12×3＝（6＋π）m3.
【答案】 6＋π
5.一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积.
【解析】 如图所示，正三棱锥SABC.
设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝.
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.
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